2022年高考函数专题复习教师版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数与基本初等函数函数的概念（1）函数的概念设 A、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就的数 f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合记作 f : A B 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就f ,对于集合 A中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数,且 a b,满意a x b的实数x的集合叫做闭区间,记做 , a b ；满意 a x b的实数x的集合叫做开区间,记做 , a b ；满意 a x b,或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做 , a b , , a b ；满意 x a x a x b x b 的实数 x 的集合分别记做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需 a b（3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1 y tan x中,x k k Z 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知 f x 的定义域为 , a b ,其复合函数 f g x 的定义域应由不等式 a g x b 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数y f x 可以化成一个系数含有,x y为实数,故必需有 b 2 y的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y 0,就在a y 0时,由于4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,问题三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A中任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合 A, B 以及 A到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A到 B 的映射,记作 f : A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象函数的基本性质一、单调性与最大（小）值名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）函数的单调性 定义及判定方法函数的定义y图象xx判定方法性 质函数的假如对于属于定义域I 内y=fXfx （1）利用定义某个区间上的任意两个自（2 ）利用已知函数变量的值x1、x2, 当 x1< x2的单调性（3 ）利用函数图象fx 时,都有fx1<fx2,那o（在某个区间图么就说fx在这个区间上x 1x2象上升为增）是增函数（ 4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内yy=fX（1）利用定义某个区间上的任意两个自（2 ）利用已知函数ofx 的单调性变量的值x1、x2,当 x1< x（3 ）利用函数图象时,都有fx1>fx2,那fx （在某个区间图么就说fx在这个区间上象下降为减）是减函数x1x 2（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数yf u 为增,ug x 为增,就yf g x 为增；如yf u 对于复合函数yf g x ,令ug x ,如为减,ug x 为减,就yf g x 为增； 如yf u 为增,ug x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减yox（2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质xf x 分别在 ,a 、 a,上为增函数,分别在a,0、 0,a 上为减函数（3）最大（小）值定义一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：（1）对于任意的xI ,都有f x M ；（2）存在0xI ,使得f x m；（2）f x 0M 那么,我们称M 是函数f x 的最大值,记作fmax M 一般地,设函数yf x 的定义域为I ,假如存在实数m 满意：（1）对于任意的xI ,都有存在0xI ,使得f x 0m 那么,我们称m 是函数f x 的最小值,记作fmax m 二、奇偶性（4）函数的奇偶性 定义及判定方法名师归纳总结 函数的定义图象判定方法第 2 页,共 11 页性 质函数的假如对于函数fx定义域（1 ）利用定义（要内任意一个x,都有 fx=先判定定义域是否关于原点对称）fx,那么函数fx叫（2 ）利用图象（图奇偶性做奇函数象关于原点对称）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载假如对于函数 fx 定义域（1 ）利用定义（要内任意一个 x,都有 f先判定 定义域是否fx,那么函数 fx 叫 关于原点对称）（2 ）利用图象（图做偶函数象关于 y 轴对称）如函数 f x 为奇函数,且在 x 0 处有定义,就 f 0 0奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yf xh yf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf x khk伸缩变换yf 01, 伸1, 缩yfxyf 0A A1, 缩1, 伸yAf 对称变换yf x x轴yf x yf x y 轴yfx 1 yf x 原点yfxyf x 直线yxyfyf 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 yy轴对称图象yf|x|yf 保留 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f x |（2）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法求值域的几种常用方法（ 1 ）配方法：对于（可化为）“ 二次函数型” 的函数常用配方法,如求函数ysin2x2cosx4,可变为ysin2x2cosx4cosx1 22解决y2x3 就是log1x2如函数（2）基本函数法： 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,2利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求；2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域；如求函数y0yx2x12的值域y0是函数值域中的一个值；22x由yx22xx12得yx22y1 x2y10,如1x,所以y,就得22如y0, 就 由2 y1 24y2y1 0得313y3213且0, 故 所 求 值 域 是23213,3213第 3 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载上递增、在；（4）分别常数法：常用来求“ 分式型 ” 函数的值域；如求函数y2cosx3的值域,由于cosx1y2cosx3251,而cosx102,所以51,5,故cosx1cosxcosx2y,12（5）利用基本不等式求值域：如求函数yx3x4的值域2当x0时,y0；当x0时,yx34,如x0,就x42x44xxx如x0,就x4x42x 44,从而得所求值域是3,3xxx44（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22 x,12 的值域因y8x32x2x4x21 ,故函数y2x4x22 x,12 在,11上递减、在1,0220 ,1上递减、在1,2上递增,从而可得所求值域为15,30228（7）图象法：假如函数的图象比较简洁作出,就可依据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）函数与映射的概念考点一：判定两函数是否为同一个函数 例 1 试判定以下各组函数是否表示同一函数？（1）fx x2,gx3x3；,0n1（ n N*）；（2）xx,gx 1fx x1x;0（3）fx 2n1x2n1,gx 2n1x2（4）gx t2x2x；fxxx1,x22x1,（5）fx gt2t1 解题思路 要判定两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素；解析 （1）由于fxx2x,gx3x3x,故它们的值域及对应法就都不相同,所以它们不是同一函数. （2）由于函数fxx,而gx 11x0 ,的定义域为R,所以它们不是同的定义域为,00,xx0 ;一函数 . （3）由于当nN*时, 2n±1 为奇数,fx2n1x2n1x,gx22n1x2n1x,它们的定义域、值域及gx . xx的定义域为xx0 或x1,它们对应法就都相同,所以它们是同一函数. （4）由于函数fxxx1的定义域为xx0,而的定义域不同,所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法就都相同,所以它们是同一函数答案 （1）、（2）、（ 4）不是；（3）、（5）是同一函数 考点二：求函数的定义域、值域；题型 2：求抽象函数的定义域 例 3 设fxlg2fx x,就f,1xf2的定义域为（）,2 4第 4 页,共 11 页22xA. 4 , 0,0 4；B. ,41f4；C. 2 ,1,1 2；D. ,42x2解题思路 要求复合函数的定义域,应先求f x的定义域；2x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 由2 2x0得,f x 的定义域为学习必备欢迎下载,1 4.选 B. axg x b2x2,故2x2,2x222.解得x4, 11,4；故fx 2xf2的定义域为4 ,1x【名师指引】 求复合函数定义域, 即已知函数f x 的定义为 , a b ,就函数的定义域是 , a b ,指的是 65 xf g x 的定义域是满意不等式的 x 的取值范畴；一般地,如函数 g x 的值域；12f g x , a b ,要求f x 的定义域就是 , a b 时题型 3；求函数的值域2例 4 已知函数 0 1 y时间 x 4 ax解题思路 应先由已知条件确定02 a 1 6 a R时间 ,如a 取值范畴,然后再将yf0 恒成立,求 0 3 4 f 6 a 时间 2 a aa 中的肯定值化去之后求值域3的值域解析 依题意,y0恒成立,就16a242a60,解得1a3,f319,所以fa的2所以fa2aa3a3217,从而famaxf1 4,famin2424值域是19,4 4明文（解密） ,已知加密规章 5, 7,18,16. 当 接收方收到密文考点三：映射的概念例 5为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文（加密） ,接收方由密文为：明文a b c d 对应密文a2 , 2bc , 2 c3 ,4 . d 例如,明文1, 2, 3, 4对应密文14, 9, 23, 28时,就解密得到的明文为（）A 7,6,1, 4 ；B 6, 4,1,7 ；C 4,6,1,7 ；D 1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规章的,只要依据对应规章进行对应即可；解析 当接收方收到密文14,9,23 ,28 时,Ca2b14a6有22bc9,解得b4,解密得到的明文为c3 d23c14d28d7【名师指引】懂得映射的概念,应留意以下几点：（1）集合 A、B 及对应法就 f 是确定的,是一个整体系统；（2）对应法就有“方向性 ” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；（3）集合 A 中每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的,这是映射区分于一般对应的本质特点；（4）集合 A 中不同元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 . 函数的表示方法考点 1：用图像法表示函数例 1 一水池有 2 个进水口 , 1个出水口 , 一个口的进、出水的速度如图甲、丙所示给出以下 3 个论断：进水量 出水量 蓄水量乙所示 . 某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图甲 乙 丙（1） 0 点到 3点只进水不出水； （2） 3点到 4 点不进水只出水； （3） 4 点到 6点不进水不出水就肯定不正确的论断是 把你认为是符合题意的论断序号都填上 . 解题思路 依据题意和所给出的图象,对三个论断进行确认即可；解析 由图甲知,每个进水口进水速度为每小时 1 个单位,两个进水口 1 个小时共进水 2 个单位, 3 个小时共进水 6 个单位,由图丙知正确；而由图丙知,3 点到 4 点应当是有一个进水口进水,出水口出水,故错误；由图丙知,4 点到 6点可能是不进水不出水,也可能是两个进水口都进水,同时出水口也出水,故不肯定正确；从而肯定不正确的论断是名师归纳总结 第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象猎取信息的问题是目前高考的一个热点,它要求考生熟识基本的函数图 象特点,善于从图象中发觉其性质；高考中的热点题型是“ 知式选图” 和“ 知图选式”；考点 2：用列表法表示函数例 2 已知函数f x ,g x 分别由下表给出x1 2 3 x1 2 3 f x 11 3 1 f g x g x 3 2 1 就f g的值为；满意g f x 的 x 的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数,就依照表中的对应关系解决问题；解析 由表中对应值知f g 1=f31；3,不满意条件当x1时,f g11, g f1g1当x2时,f g 2f23, g f2g31,满意条件,当x3时,f g3f11, g f3g13,不满意条件,满意f g x g f x 的 x 的值是x2【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系,解决问题的关键是从表格发觉对应关系,用好对应关系即可；考点 3：用解析法表示函数 题型 1：由复合函数的解析式求原先函数的解析式 例 3 已知 f 11 xx = 11 xx 22,就 f x 的解析式可取为 解题思路 这是复合函数的解析式求原先函数的解析式,应当首选换元法 x 解析 令1xt,就xt1,ft2t1. fxx2x1. 1xt12t2故应填12x2x【名师指引】求函数解析式的常用方法有：换元法（留意新元的取值范畴）；待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；整体代换（配凑法） ；构造方程组（如自变量互为倒数、已知fx为奇函数且g为偶函数等） ；题型 2：求二次函数的解析式例 4次函数fx满意fx1 fx 2x,且f01；2xmfx对求f x的解析式；在区间1,1 上,yfx的图象恒在y2xm的图象上方,试确定实数m 的范畴； 解题思路 （1）由于已知fx是二次函数,故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形,可得求于x1,1恒成立,从而通过分别参数,求函数的最值即可；c 解析 设f x 2 axbxc a0,就f x1af x a x2 1b x1cax2bx2 axb与已知条件比较得：2 ab2,0解之得,a1,又f0c1,ab1f x x2x1由题意得：x2x12xm即mx23x1对x1,1恒成立,易得mx23x1 min1【名师指引】假如已知函数的类型,就可利用待定系数法求解；通过分别参数求函数的最值来获得参数的取值范畴是一 种常用方法；考点 4：分段函数 题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 6设函数fxx24x5,在区间,26上画出函数fx的图像；第 6 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 思路点拨 需将来肯定值符号0,打开,即先解x24x5然后依分界点将函数分段表示,再画出图象；f x x2解5x2x2析55 x51 或5x6,如右上图 . 4x4x24x1x【名师指引】分段函数的解决方法是分段处理,要留意分段函数的表示方法,它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来,同时附上自变量的各取值范畴；函数的单调性与最值考点 1 函数的单调性. fx,f00,当 x0 时,fx1,且对任意的a、b R,有 f（a+b）=f（a）·f题型 2：争论抽象函数的单调性 例 2 定义在 R 上的函数y（b）. （1）求证： f（ 0）=1；（2）求证：对任意的 xR,恒有 f（x） 0；（3）求证： f（ x）是 R 上的增函数；（4）如 f （x）· f（2xx 2） 1,求 x 的取值范畴 . 解题思路 抽象函数问题要充分利用“ 恒成立 ”进行 “赋值 ” ,从关键等式和不等式的特点入手； 解析 （1）证明：令 a=b=0,就 f（0）=f 2（0）. 又 f（0） 0, f（0）=1. （2）证明：当 x0 时, x0,f （0）=f（x）·f（ x）=1. f （ x）= 10.又 x0时 f（x） 10,f x xR 时,恒有 f（x） 0. （3）证明：设 x1 x2,就 x2x10. f （x2）=f （x2x1+x1）=f（x2x1）·f（x1）. x2x10, f（x2x1） 1. 又 f（x1） 0, f（x2x1）· f（x1） f（x1）. f （x2） f（x1）.f（x）是 R 上的增函数 . （4）解：由 f（x） ·f（2xx2） 1,f（0）=1 得 f（3xx2） f（0）.又 f（ x）是 R 上的增函数,3x x 20.0x 3. 【名师指引】解此题的关键是敏捷应用题目条件,特别是（表达了向条件化归的策略 . 考点 2 函数的值域（最值）的求法 题型 1：求分式函数的最值3）中 “f（x2）=f（x2 x1）+x1”是证明单调性的关键,这里例 3 已知函数fx x22xa, x1 ,.当a1时,求函数fx的最小值；x2 解题思路 当a1时,fxx12,这是典型的“ 对钩函数 ” ,欲求其最小值,可以考虑均值不等式或导数；22x解析 当a1时,fxxf12,f'x1122 f2 xx 2xx1 x ,0；在区间,1上为增函数；上的最小值为f1 7；f x在区间1 ,2【名师指引】对于函数fx x12,如x0,就优先考虑用均值不等式求最小值,但要留意等号是否成立,否2x名师归纳总结 第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x1 , 2, 不等式恒成立问题常转化为求函数就会得到fxx122x12222x2x而认为其最小值为22,但实际上,要取得等号,必需使得x1,这时2x所以,用均值不等式来求最值时,必需留意：一正、二定、三相等,缺一不行；其次的最值；此题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式,利用函数单调性,二次函数的配方法,考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型 2：利用函数的最值求参数的取值范畴函数的奇偶性和周期性考点 1 判定函数的奇偶性及其应用题型 1：判定有解析式的函数的奇偶性 例 1 判定以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x 1|；（2）f（x）=（x1）·1 x；1 x（3）f x 1 x 2；（4）f x x 1 x x 0 ,| x 2 | 2 x 1 x x 0 .思路点拨 判定函数的奇偶性应依照定义解决,但都要先考查函数的定义域； 解析 （1）函数的定义域 x（ ,+）,对称于原点 . f （ x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（ |x+1|x1|）=f（x）,f （x）=|x+1|x1|是奇函数 . （ 2）先确定函数的定义域.由1x0,得 1x1,其定义域不对称于原点,所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. 1x（3）去掉肯定值符号,依据定义判定. 由1x2|0,0,得x1x,14.|x220 且x故 f（x）的定义域为1,0）（ 0,1,关于原点对称,且有x+20. 从而有 f（x）= x12x2=1xx2, f（ x） =1xx2=1xx2=f（x）2故 f（x）为奇函数 . （4）函数 f （x）的定义域是（,0）（ 0,+）,并且当x0 时, x0,f（ x）=（ x）1（ x）=x（1+x）=f（x）（x0） . 当 x0 时, x0, f（ x） =x（1x）=f（x）（x0）. 故函数 f（x）为奇函数 . 【名师指引】 1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 即如奇函数或偶函数的定义域为D, 就xD时xD 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件2 分段函数的奇偶性一般要分段证明.判定函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 3 已知奇函数fx 是定义在,22 上的减函数,如fm1 f2m1 0,求实数 m 的取值范畴；第 8 页,共 11 页思路点拨 欲求 m 的取值范畴,就要建立关于m 的不等式,可见,只有从f x 的奇偶性和单调性将外衣“f ” 脱去；fm1 f2m1 0动身,所以应当利用解析 fx是定义在2 ,2上奇函数对任意 x2 ,2有 fxfx由条件fm1 f2m1 0得f m1f2m1=f12mf x是定