2022年高考数学公式定理规律汇总.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考数学公式定理规律汇总 精编版 集合1元素与集合的关系, . 2德摩根公式. 3包含关系4容斥原理. 5集合 的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有1 个；非空的真子集有2 个. 6集合 A 中有 M 个元素,集合 B 中有 N 个元素,就可以构造 M*N 个从集合 A 到集合 B 的映射 . 二次函数,二次方程7二次函数的解析式的三种形式名师归纳总结 1一般式; 第 1 页,共 41 页2顶点式; 3零点式. 8解连不等式常有以下转化形式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. 9方程在上有且只有一个实根,与不等价 ,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特殊地 , 方程且有且只有一个实根在内 ,等价于,或,或且. 10区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,详细如下：1当 a>0 时,如,就,. ；2当 a<0 时,如,就,如,就,. 11一元二次方程的实根分布依据：如,就方程在区间内至少有一个实根. ；设,就内有根的充要条件为或（1）方程在区间名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）方程在区间学习必备欢迎下载或或内有根的充要条件为或；（3）方程在区间内有根的充要条件为或. 12定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1在给定区间的子区间（形如,或,不同）上含参数的二次不等式为参数 恒成立的充要条件是. 2在给定区间的子区间上含参数的二次不等式为参数 恒成立的充要条件是. . 3恒成立的充要条件是简易规律13真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假14常见结论的否定形式名师归纳总结 原结论反设词原结论反设词）个第 3 页,共 41 页是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有 （小于不小于至多有个至少有 （）个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对全部,存在某学习必备欢迎下载,成立,不成立,或且对任何存在某且或不成立成立15四种命题的相互关系原命题为互逆逆命题如就互如就互互为互否逆否逆否否逆否命题否命题如非就非互逆如非就非16充要条件（1）充分条件：如,就 是 充分条件 . （2）必要条件：如,就 是 必要条件 . （3）充要条件：如,且,就 是 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然 . 函数17函数的单调性1设 那么上是增函数；上是减函数 . 名师归纳总结 2设函数在某个区间内可导, 假如,就为增函数； 假如,第 4 页,共 41 页就为减函数 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如函数和学习必备欢迎下载,和函数也是减函数 ; 如都是减函数 ,就在公共定义域内果函数和在其对应的定义域上都是减函数,就复合函数是增函数 . 18奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ;在对称区间上,奇函数的单调性相同, 欧函数相反； 假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数,假如一个奇函数的定义域包括 0,就必有 f0=0; 1如函数是偶函数,就与；如函数是偶函数,就. 恒成立 ,就函数的对称轴是函数2对于函数,;两个函数的图象关于直线对称 . 3 如, 就 函 数的 图 象 关 于 点对 称 ; 如19多项式函数,就函数为周期为的周期函数 . 的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数是偶函数的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 20函数的图象的对称性关于直线对称1 函数的图象. 2函数的图象关于直线对称. 21两个函数图象的对称性名师归纳总结 1函数与函数的图象关于直线即轴对称 . 第 5 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2函数与函数学习必备欢迎下载对称 . 的图象关于直线3函数和的图象关于直线y=x 对称 . 的图象；22如将函数的图象右移、上移个单位,得到函数如将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象 . 23互为反函数的两个函数的关系. 如 函 数存 在 反 函 数 , 就 其 反 函 数 为, 并 不 是,而函数是的反函数 . 24几个常见的函数方程1正比例函数,. . . ,2指数函数,. 3对数函数4幂函数,正弦函数5余弦函数. 25几个函数方程的周期 商定 a>0 1,就 的周期 T=a；2,或,或,或,就的周期 T=2a；名师归纳总结 3,就的周期 T=3a；第 6 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4且学习必备欢迎下载,就的周期 T=4a；56,就,就的周期 T=5a；的周期 T=6a. 指数与对数26分数指数幂1（,且）.2（,且）. 27根式的性质（1）.（2）当为奇数时,；当为偶数时,. 28有理指数幂的运算性质1 . . . 2 3注： 如 a0,p 是一个无理数,就 对于无理数指数幂都适用 . 29指数式与对数式的互化式30对数的换底公式ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,. 推论,且,且, . , . ,且,且,31对数的四就运算法就 如 a0,a 1,M 0,N0,就名师归纳总结 1;2 ; 第 7 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 学习必备欢迎下载32设函数;如的值域为,就,记.对于.如的定义域为,就,且,且的情形 ,需要单独检验 . 33对数换底不等式及其推广如,和,就函数为增函数 . 1当时,在上2当时,在和上为减函数 . 推论 :设,且,就. （1）.（ 2）34平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为,就对于时间的总产值,有. 数列35等差数列的通项公式；. 其前 n 项和公式为36等比数列的通项公式；其前 n 项的和公式为或 . 名师归纳总结 37等比差数列:的通项公式为第 8 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载；其前 n 项和公式为. 38数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列 的前 n 项的和为 . 39分期付款 按揭贷款 每次仍款元贷款元,次仍清 ,每期利率为. 三角函数40常见三角不等式1如,就. . 2 如,就3 . 41同角三角函数的基本关系式,=,. 32正弦、余弦的诱导公式33和角与差角公式; 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载; . 平方正弦公式 ; . 定,. = 辅 助 角所 在 象 限 由 点的 象 限 决34半角正余切公式：35二倍角公式. . . 36三倍角公式. . 37三角函数的周期公式函数,xR 及函数,xRA, , 为常数,且A 0,0的周期；函数A, , 为常数,且A 0,0的周期 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 38正弦定理学习必备. 欢迎下载39;余;弦定. 理40面积定理1（分别表示 a、b、c 边上的高） . 2. 3 . 41三角形内角和定理 在 ABC中,有. 42在三角形中有以下恒等式 43简洁的三角方程的通解 . . 44特殊地 ,有 . . . 45最简洁的三角不等式及其解集 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. . . . 46角的变形：向量47实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a;2第一安排律： + a= a+ a;3 其次安排律： a+b= a+ b.48向量的数量积的运算律1 a·b= b·a （交换律） ;2（a）·b= （a· b）=a· b= a· （b）; 3（a+b）·c= a · c +b· c. 49平面对量基本定理假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底50向量平行的坐标表示设 a=,b=,且 b0,就 abb0. 51a 与 b 的数量积 或内积 a·b=|a|b|cos 52a·b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积53平面对量的坐标运算名师归纳总结 1设 a=,b=,就 a+b=. 第 12 页,共 41 页2设 a=,b=,就 a-b=. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3设 A,B,就学习必备欢迎下载. 4设 a=,b=,就a=b=. . 5设 a=,就 a·54两向量的夹角公式a=,b=. 55平面两点间的距离公式=A,B. 56向量的平行与垂直设 a=,b=b=0,且 b0,就. A|bb= a . aba0a·57线段的定比分公式设,是线段的分点 ,是实数,且）. ,就（58三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、,就 ABC 的重心的坐标是. 59点的平移公式. 注:图形 F 上的任意一点Px,y在平移后图形上的对应点为,且的坐标为. 60“按向量平移 ”的几个结论名师归纳总结 1点按向量 a=平移后得到点. 第 13 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 函数的图象按向量学习必备欢迎下载,就的函数解析式为a=平移后得到图象. 3 图象按向量 a=平移后得到图象,如的解析式,就的函数解析式为. 按 向 量a=平 移 后 得 到 图 象, 就的 方 程 为4 曲 线:. 5 向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍旧为m=. 61三角形五 “ 心”向量形式的充要条件设为为所在平面上一点,角所对边长分别为. ,就（1）的外心. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心（5）为的的旁心. 不等式62常用不等式：（1）当且仅当 a b 时取 “ =”号（2）当且仅当 ab 时取 “ =”号（3）（4）柯西不等式（5）. 63极值定理名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知都是正数,就有学习必备欢迎下载（1）如积是定值,就当时和有最小值. ；（2）如和是定值,就当时积有最大值推广 已知,就有最大；, 如 果与（1）如积是定值 ,就当最大时 ,当最小时 ,最小 . 最小；（2）如和是定值 ,就当最大时 , 当最小时 , 最大 . 64 一 元 二 次 不 等 式同号,就其解集在两根之外；假如与异号,就其解集在两根之间.简言之：同号两根之外,异号两根之间. ；. 65含有肯定值的不等式 当 a> 0 时,有. 或 . 66无理不等式（1）. （2）. 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）学习必备欢迎下载. 67指数不等式与对数不等式1当 时, ; . 2当 时 , ; 直线方程68斜率公式（、）.k=tan 为直线倾斜角）69直线的五种方程1点斜式直线过点,且斜率为. 2斜截式b 为直线在 y 轴上的截距 . 3两点式、4截距式分别为直线的横、纵截距, 5一般式 其中 A、B 不同时为 0. 70两条直线的平行和垂直名师归纳总结 1如,第 16 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ; 学习必备欢迎下载. ,且 A1、A2、 B1、B2 都不为零 , 2如；两直线垂直的充要条件是；即：71夹角公式1,. . , 2到的角公式,. 721. ,. , 2,. ,. 直线时,直线 l1 到 l2 的角是73四种常用直线系方程名师归纳总结 1 定点直线系方程：经过定点的直线系方程为除直线第 17 页,共 41 页, 其 中是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点的 直 线 系 方 程 为,其中是待定的系数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2共点直线系方程：经过两直线学习必备欢迎下载,的交点的直线系方程为 除 ,其中 是待定的系数3平行直线系方程：直线 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方程与直线 平行的直线系方程是 , 是参变量4 垂 直 直 线 系 方 程 ： 与 直 线 , 是参变量74点到直线的距离A 0 , B 0 垂 直 的 直 线 系 方 程 是75,点,直线：. 或所表示的平面区域设 直 线, 如A>0, 就 在 坐 标 平 面 内 从 左 至 右 的 区 域 依 次 表 示,如A<0,就在坐标平面内从左至右的区域依次表示,可记为 “ x 为正开口对, X 为负背靠背 “ ；（正负指X的系数 A,开口对指 ” <>",背靠背指 "><"）76或或所表示的平面区域设曲线（）,就所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分 . 圆77圆的四种方程名师归纳总结 1圆的标准方程. 0. 第 18 页,共 41 页2圆的一般方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3圆的参数方程. 学习必备欢迎下载4圆的直径式方程圆的直径的端点是、. 78圆系方程1过点,的圆系方程是,其中是直线的方程 , 是待定的系数2 过 直 线:与 圆:的 交 点的 圆 系 方程是, 是待定的系数3 过圆:与圆:的交点的圆系方程是, 是待定的系数79点与圆的位置关系点点与圆,就的位置关系有三种如在圆外 ; 点在圆上 ; 点在圆内 . 80直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种: ; ; . 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中. 学习必备欢迎下载81两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,; ; ; ; . 82圆的切线方程1已知圆如已知切点 在圆上,就切线只有一条,其方程是. 当圆外时 , 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为,再利用相切条件求 b,必有两条切线2已知圆过圆上的 点的切线方程为 ; 斜率为 的圆的切线方程为 . 椭圆83椭圆的参数方程是. 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 84椭圆学习必备欢迎下载焦半径公式,上 一 点 , 就 三 角 形的 面 积85 焦 点 三 角 形 ： P 为 椭 圆S=特殊地,如此三角形面积为；86在椭圆上存在点 P,使的条件是cb,即椭圆的离心率 e 的范畴是；87椭圆的的内外部1点在椭圆的内部. 2点在椭圆的外部. 88椭圆的切线方程1椭圆上一点处的切线方程是. 2 过 椭 圆外 一 点所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是. 3椭圆与直线相切的条件是. 双曲线89双曲线,的焦半径公式. 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载90双曲线的内外部1点在双曲线的内部. 2点在双曲线的外部. 91双曲线的方程与渐近线方程的关系1如双曲线方程为渐近线方程：. 2如渐近线方程为双曲线可设为. 3如双曲线与有公共渐近线,可设为（,焦点在 x 轴上,焦点在 y 轴上） . 92双曲线的切线方程1双曲线上一点处的切线方程是. 2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 3 双曲线与直线相切的条件是. 93到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即 b 值）抛物线94焦点与半径95焦半径公式名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线,C 学习必备欢迎下载. 为抛物线上一点,焦半径96过焦点弦长 . 对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论；97设点方法抛 物 线上 的 动 点 可 设 为P或P, 其 中. 二次函数98的图象是抛物线：1顶点坐标为；2焦点的坐标为；3准线方程是 . 99抛物线的内外部名师归纳总结 1点在抛物线的内部. . . 第 23 页,共 41 页点在抛物线的外部2点在抛物线的内部. . 点在抛物线的外部3点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部4 点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载100抛物线的切线方程1抛物线 上一点 处的切线方程是 . 2过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 . 3抛物线 与直线 相切的条件是 . 101 过 抛 物 线（ p>0 的 焦 点 F 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于圆锥曲线共性问题120两个常见的曲线系方程1过曲线,的交点的曲线系方程是, 其 中. 当为参数 . 2 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程时,表示椭圆 ; 当 时,表示双曲线 . 103直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（弦端点 A由方程消去 y 得到,为直线的倾斜角,为直线的斜率） . 名师归纳总结 104涉及到曲线上的点A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用“ 点差法：第 24 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 比如在学习必备椭欢迎下载圆中：105圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是. （2）曲线关于直线成轴对称的曲线是. 106“ 四线 ”一方程对于一般的二次曲线代,用代,用代,用代,用代,用,即得方程,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到 . 立体几何107证明直线与直线的平行的摸索途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行 . 108证明直线与平面的平行的摸索途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行 . 109证明平面与平面平行的摸索途径名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直 . 110证明直线与直线的垂直的摸索途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直 . 111证明直线与平面垂直的摸索途径（1）转化为该直线与平面内任始终线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 112证明平面与平面的垂直的摸索途径（1）转化为判定二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直 . 113空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1加法交换律： ab=ba2加法结合律： a b c=abc3数乘安排律： ab= a b114平面对量加法的平行四边形法就向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,共始点为始点的对角线所表示的向量 . 115共线向量定理等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公对空间任意两个向量a、 bb 0 , a b存在实数 使 a= b且. 不共线 . 三点共线共线且不共线、116共面对量定理向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使,或对空间任肯定点 O,有序实数对,使 . 117 对 空 间 任 一 点 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B、 C, 满 足（）,就当 时, 对于空间任一点,总有 P、A、B、C四点共面； 当时,如 平面 ABC,就 P、A、B、C 四点共面；如 平面 ABC,就 P、A、B、C 四点不共面名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四点共面与学习必备欢迎下载、共面（平面 ABC）. 118空间向量基本定理假如三个向量a、b、c 不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯独的有序实数组x,y,z,使 pxayb zc推论设 O、A、B、C是不共面的四点,就对空间任一点P,都存在唯独的三个有序实数x,y,z,使. 119射影公式已知向量=a 和轴,e 是上与同方向的单位向量.作 A 点在上的射影,作 B 点在上的射影,就a,e=a· e 120向量的直角坐标运算设 a,b就,就. 1ab R；2ab；3 a4a·b；121设 A,B= 122空间的线线平行或垂直设,就；. 123夹角公式名师归纳总结 设 a,b,就第 27 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosa,b=学习必备欢迎下载. 推论,此即三维柯西不等式. 124四周体的对棱所成的角四周体中, 与所成的角为,就. 125异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量）126直线与平面所成角为平面的法向量 . 127如、所在平面如与过如的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是,为的两个内角,就. 特殊地 ,当 时,有. 128如、所在平面如与过如的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是,为的两个内角,就. 特殊地 ,当 时,有. 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 129二面角的平面角学习必备欢迎下载或（,为平面,的法向量） . 130三余弦定理设 AC是 内的任一条直线,且 BCAC,垂足为 C,又设 AO 与 AB所成的角为,AB 与 AC所成的角为,AO 与 AC所成的角为就 . 131三射线定理如夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,; ,与二面角的棱所成的角是 ,就有当且仅当时等号成立 . 132空间两点间的距离公式如 A,B距离,就在直线上,直线. a=,向量 b=. =133点到直线点的方向向量134异面直线间的距离是两异面直线, 其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离 . 135点到平面的距离的法向量,是经过面的一条斜线,）. （为平面136异面直线上两点距离公式. . 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - （学习必备欢迎下载）. 两条异面直线a、b 所成的角为 ,其公垂线段的长度为h.在直线 a、b 上分别取两点E、F,. 137三个向量和的平方公式138长度为的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,就有. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 139面积射影定理. 平面多边形及其射影的面积分别是、,它们所在平面所成锐二面角的为. 140斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,就. . 141作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,就这三条交线交于一点或相互平行 . 142棱锥的平行截面的性质假如棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相像,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相像多边形, 相像多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到