2022年高考数学导数的综合应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载其次轮专题复习：导数的综合应用（老师版） 高考在考什么【考题回放】2（ 06 江西卷） 对于 R 上可导的任意函数fx,如满意 x1 f x 0,就必有（C ）A f0 f2 2f1 B. f0 f2 2f1 C. f0f2 2f1 D. f0f2 2f1 解：依题意, 当 x 1 时,f x 0,函数 fx在（1,）上是增函数； 当 x 1 时,f x 0,fx在（,1）上是减函数,故fx当 x1 时取得最小值,即有f0 f1,f2 f1,应选 C 3（06全国 II ）过点（ 1,0）作抛物线 y=x2+x+1的切线,就其中一条切线为（A ）2x+y +2=0 （ B）3x-y+3=0 （C）x+y+ 1=0 （D）x-y+ 1=0 解：y =2x+1,设切点坐标为 x0,y0,就切线的斜率为 2x0+1,且 y0=x0 2+x0+1 于是切线方程为 y-x0 2+x0+1=2 x0+1x-x0,由于点（ 1,0）在切线上,可解得x00 或 4,代入可验正 D 正确；选 D 4.（06 四川卷） 曲线 y=4x-x 3 在点 -1,-3处的切线方程是（A）y= 7x+ 4 （B）y=7x+ 2 （C）y=x- 4 （D）y=x- 2 解：曲线 y=4x-x3,导数 y =4-3x2,在点 -1,-3处的切线的斜率为 k= 1,所以切线方程是 y=x- 2,选 D. 5.（06 天津卷） 函数 fx的定义域为开区间 a,b,导函数 f x在a,b内的图象如下列图,就函数 fx在 y y f x 开区间 a,b内有微小值点（）A1 个 B2 个bC3 个 D 4 个 a O x解析：函数 fx的定义域为开区间 a,b,导函数 f x在a,b内的图象如下列图,函数 fx在开区间 a,b内有微小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有 1 个,选 A. 6.（浙江卷） f x=x 3-3x 2+2 在区间 -1,1 上的最大值是A-2 B0 C2 D4 解： f x=3x 2-6x=3xx-2,令 f x=0 可得 x0 或 2（ 2 舍去）,当 1 x 0 时, f x 0,当 0 x 1时, f x 0,所以当 x0 时, fx取得最大值为 2；选 C 9.（湖南卷） 曲线 y 1和 y=x 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积x是 . 解析： 曲线 y 1和 y=x 2 在它们的交点坐标是 1, 1,两条切线方程分别是 y= x+2 和 y=2x 1,x它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 3. 4（安徽卷） 设函数 fx=x 3+bx 2+cx x R,已知 gx= fx- f x是奇函数；名师归纳总结 第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（）求 b、c 的值；x（）求 gx的单调区间与极值；【 专家解答 】：（） fx=x 3+bx 2+cx, f x=3x 2+2bx+c .从而 gx= fx- f x=3+bx 2+cx -3x 2+2bx+c x 3+b-3x 2+c-2bx-c 是一个奇函数, 所以 g0=0 得 c= 0,由奇函数定义得b=3；（）由（）知gx=x3-6x,从而 g x=3x2-6,由此可知,2 和 2, 是函数 gx是单调递增区间；2,2 是函数 gx是单调递减区间；gx在x2时,取得极大值,极大值为4 2 ,gx在x2时,取得微小值,微小值为4 2 ； 高考要考什么【考点透视】从近几年的高考命题分析,高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景,求导公式和求导法就；其次层次是导数的简洁应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性等；第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题；【热点透析】导数综合试题 ,主要有以下几方面的内容 : 1. 函数,导数,不等式综合在一起 ,解决单调性,参数的范畴等问题 ,这类问题涉及到含参数的不等式 ,不等式的恒成立 ,能成立 ,恰成立的求解 ; 2. 函数,导数,方程 ,不等式综合在一起 ,解决极值,最值等问题 , 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值 ,有时需要借助于方程的理论解决问题 ; 3. 利用导数的几何意义 ,求切线方程 ,解决与切线方程有关的问题 ; 4. 通过构造函数 ,以导数为工具 ,证明不等式 . 5. 导数与其他方面的学问的综合 高考将考什么【范例 1】设函数 fx=ax3-2bx2+cx+4da 、b、c、dR的图象关于原点对称,且x=1 时, fx取微小值 -2 ；31求 a、b、 c、d 的值；2当 x-1,1 时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线相互垂直？试证明你的结论；3如 x 1,x2 -1,1 时,求证： |fx1-fx 2| 4 ；3解答 1 函数 fx 图象关于原点对称,对任意实数x,都有 f-x=- fx. 名师归纳总结 -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d ,即 bx2-2d=0 恒成立 . 第 2 页,共 13 页b=0,d=0, 即 fx=ax3+cx. fx=3ax 2+c. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x=1 时,fx 取微小值 -优秀学习资料欢迎下载, 2. f1=0且 f1=- 233即 3a+c=0 且 a+c=-2. 解得 a=1,c=-1. 332证明：当 x-1,1 时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象上存在两点 Ax 1,y1、Bx 2+y2,使得过这两点的切线相互垂直,就由 fx=x 2-1,知两点处的切线斜率分别为 k1=x 1 2-1,k 2=x 2 2-1, 且x 1 2-1x 2 2-1=-1. * x1、x2-1,1, x 1 2-10,x2 2-10x 1 2-1x 2 2-1 0,这与 * 相冲突,故假设不成立 . 3证明： fx=x 2-1,由 fx=0,得 x=±1. 当 x-,-1或（ 1,+）时, fx0; 当 x-1,1时, fx0. fx在 -1,1 上是减函数,且 fmaxx= f-1= 2, f minx= f1= -2. 3 3在 -1,1 上, |fx| 2. 32 2 4于是 x1,x2-1,1 时, |fx 1-fx 2| | fx 1|+|fx2|+ = . 3 3 34故 x1,x2-1,1 时,|fx 1-fx 2| . 3【点晴】 如 x0 点是 y= fx 的极值点,就 fx 0=0,反之不肯定成立；在争论存在性问题经常用反证法；利用导数得到y=fx 在-1,1 上递减是解第 3问的关键 .【文】 设函数fx 1x32 ax23a2xb,0a1.3（ 1）求函数fx的单调区间、极值. （2）如当xa,1a2 时,恒有|fx|a,试确定 a 的取值范畴 . 解答：（ 1）f x24ax32 a =x3 xa令f 0得x 1a x23 a列表如下：xx （-,a）a （a,3a）3a （3a,+）第 3 页,共 13 页f - 0 + 0 - f x 微小极大f x 在（ a,3a）上单调递增,在（-, a）和（ 3a, +）上单调递减a 时,f微小 b4a3,x3 a 时,f微小 b3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载第 4 页,共 13 页（2）f x24ax3 a20<a<1,对称轴x2 aa1,f x 在 a+1,a+2上单调递减fMaxa124 a a13a22 a1,fmina224 a a23 a24a4依题 |f |a|fMax|a ,|fmin|a即 | 2a1|a,| 4a4 |a解得4 5a1,又 0<a<1 a 的取值范畴是4,15【范例 2】 已知f x 2x32ax23 aR.31当|a|1时, 求证 fx在-1,1内是减函数 ; 42如 y= fx在-1,1内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范畴 . 解答： 1 fx2x32ax23x,fx2x24ax3 .3|a|1, f1 4 a10,44f 1 4a1 40又二次函数f x的图象开口向上, 在,11 内 f x<0, 故 fx在,11 内是减函数 . 2设极值点为x 01x1 ,就 f x0=0 当a1时, f1 4a104,4f1 4 a1 40在,1x0内 f x>0, 在x0,1 内 f x<0. 即 fx在,1x0内是增函数 , fx在 x0,1 内是减函数 . 当a1时 fx在1 ,1内有且只有一个极值点, 且是极大值点 . 4当a1时 , 同理可知 , fx在,11 内且只有一个极值点, 且是微小值点 . 4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当1a1时, 由1知 fx在,1优秀学习资料欢迎下载1 内没有极值点 . 4411,故所求 a 的取值范畴为,44【点晴】 三次函数求导后为二次函数,考查导函数的性质,结合一元二次方程根的分布,考查代数推理才能、语言转换才能和待定系数法是近年高考的热点题型；【文】 已知函数f x x3axb （ a 、 bR ）；2 ,f2处的切线与直线（）如f x 的图像在2x2部分在x 轴的上方,且在点9xy50 平行,求 b 的取值范畴；x 1x 2|恒成立,求 a 的取值（）当1x 、x 20 ,3,且x 1x 时,不等式|f x 1f x 2 | |3范畴；解答：（）f x x 3ax b f 3 x 2a ；依题意,有 f 2 12 a 9 a 3,所以3f x x 3 x b；由于 f x 的图像在 2 x 2 部分在 x 轴上方,所以 f x 在区间 2 , 2 上的最小值大于零；令2f 3 x 3 0 x 1,于是由 f 2 2 b ,f 1 2 b , 1 2 b ,f 2 2 b 知：f x 在区间 2 , 2 上的最小值为 2 b ,故有 2 b 0 b 2；（）| f x 1 f x 2 | | x 1 x 2 | f x 1 f x 2 1 | f | 1（0 x 3）,即当 0 x 3x 1 x 2 3 3时,|3 x 2a | 1,即 1 3 x 2a 1 3 x 恒成立,由此得 22a 1 3 x min 02 1 a 0；a 1 3 x max 1【范例 3】设函数 fx与数列 an 满意以下关系： a1a,其中 a 是方程 fx=x 的实数根； an+1=fan n N*； fx的导函数 fx（ 0,1）；证明： ana；n N* ；判定 an与 an+1 的大小,并证明你的结论；解答：（ 1）证明：用数学归纳法n=1 时, a1a 成立假设 n=k 时, aka 成立,就 n=k+1 时,由于 fx>0, fx在定义域内递增第 5 页,共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f akf a ,即ak1a优秀学习资料欢迎下载n=k+1 时,命题成立由知,对任意nN*,均a na1,F 0F x 递减,（2）解：令F x f x x ,就f aka 1a 时,F a 1F a 0,即f a 1a ,a2a 1推测a nan1,下证之n=1 时,a 1a 成立2f ak1,即ak1假设 n=k 时,akak1成立就 n=k+1 时,由于f x 递增,f a kn=k+1 时,命题成立由知,对任意n* N ,均anan1【点晴】 由导数争论函数的单调性,再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成 为今后高考的重点内容,在复习中要足够地重视；【文】 已知平面对量a =3 ,-1. b =1,3. 221证明 a b ；2如存在不同时为零的实数k 和 t,使 x =a +t2-3 b , y =-k a +t b , x y ,试求函数关系式k=ft；名师归纳总结 3据2的结论,争论关于t 的方程 ft-k=0 的解的情形 . 第 6 页,共 13 页解答： 1 a b =3 ×1 +-1 2×3 =0 2 a b . 2 x y , x y =0 即 a +t2-3 b ·-k a +t b =0. 整理后得 -k2 a +t-kt2-3 a b + tt2 2-3 ·b =0 a b =0,2 a =4,2 b =1,上式化为 -4k+tt2-3=0 ,即 k=1 tt 42-3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3争论方程 1tt 2-3- k=0 的解的情形,可以看作曲线 ft= 1tt 2-3与直线 y=k 的交点个数 . 4 4于是 ft= 1t 2-1= 3t+1t-1. 4 4令 ft=0,解得 t1=-1,t 2=1.当 t 变化时, ft、ft 的变化情形如下表：t -,-1 -1 -1,1 1 1,+ ft + 0 - 0 + Ft 极大值微小值当 t=-1 时, ft有极大值, ft 极大值 = 1. 2当 t=1 时, ft有微小值, ft微小值 =-1 . 2函数 ft= 1tt 2-3的图象如图 1321 所示,4可观看出：1当 k1 或 k-1 时,方程 ft-k=0 有且只有一解；2 22当 k= 1 或 k=-1 时,方程 ft-k=0 有两解；2 23 当-1 k1 时,方程 ft-k=0 有三解 .2 2【点晴】 导数的应用为作函数的草图供应了新途径,方程根的个数与极值的正负有关；【范例 4】已知双曲线C:ymm0与点 M （1,1） . m 的值及切点坐标；有两个x（1）求证：过点M 可作两条直线,分别与双曲线C 两支相切；（2）设（ 1）中的两切点分别为A、B,其 MAB 是正三角形,求解答： （1）证明：设Q t ,mC,要证命题成立只需要证明关于t 的方程y|x tkMQt符号相反的实根；y|x tt2kMQm0m1t22 mtm0,且 t0, t1；tt21t设方程2 mtm的两根分别为t1与 t2,就由 t1t 2=m<0 ,知 t1,t2是符号相反的实数,且t1,t2均不等于 0 与 1,命题获证；名师归纳总结 （2）设A t ,m,B t2,m,由（ 1）知, t1+t2=2m,t1t2=m,从而第 7 页,共 13 页t 1t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载yx 上；t 12t 2m ,1mmm t 1t 222 mm,即线段 AB 的中点在直线2t1t 22 t t 1 22 mmm又kABt2t 1m t 12t21,AB 与直线 yx垂直；t2t 1t t tt1故 A 与 B 关于 yx对称,设A t ,m t0,就B m, tt有 t2-2mt+m=0 由kMAm 2, tkMBt2,AMB60及夹角公式知mtan601t2m,即mt22 3mt22 tmt2mmt2由得mt212 t从而mt22t112t14 1t0t2m2t1由知mt22 3,m32,代入知t31t2mt22因此,m1,A31,31,B31,31 ；22222【点晴】 此题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通；应深切领悟导数的几何意义在解析几何综合问题中的特别作用【文】 设抛物线 y=x 2 与直线 y=x+a （a 是常数）有两个不同的交点,记抛物线在两交点处切线分别为 l 1,l 2,求值 a 变化时 l 1 与 l 2 交点的轨迹；解答： 将 y=x+a 代入 y=x 2 整数得 x 2xa=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点,必需 = 1 24a0,所以 a14设此两交点为 , 2, , 2, ,由 y=x 2 知 y =2x ,就切线 l1,l 2 的方程为 y=2 x名师归纳总结 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2,y=2 x 2. 就x优秀学习资料欢迎下载两切线交点为 x,y 2y由于 , 是的解,由违达定理可知由此及可得x=1 ,y= a214 =1, =a 从而,所求的轨迹为直线x=1 上的 y21 的部分 4【自我提升】1设曲线 y1 x 2和曲线 y1 x 在它们交点处的两切线的夹角为 ,就 tan（ C ）A1 B1 2 C1 3 D2 32函数 y= f x的图象关于直线 x=1 对称,就导函数 y= f x的图象 C A. 关于直线 x=1 对称 B. 关于直线 x=-1 对称C. 关于点（ 1,0）对称D. 关于点（ 1,0）对称3函数 y= f x在定义域 3 ,3 内可导,其图象如下列图记 y= f x的导函数为 y= f x,就不等式2f x0 的解集为（ A ）A 1 ,1 2,3 y 3B 1, 1 4 8 , y f x 2 3 33 1C 3 12 2 , 1,2 2-1 13 O 2 1 43 2 83 3 x D 3 , 1 1 4 , 8 ,32 2 3 34假如函数 fx = ax 3x 2 + x5 在, + 上单调递增,就实数 a 的取值范畴是 D 1 1A 0,+ B 0, C 3,+ D3 , 5设 f x = x 3 +bx 2 + cx + d ,又 k 是一个常数 . 已知当 k < 0 或 k > 4 时,f x k = 0 只有一个实根；当 0 < k < 4 时, f x k = 0 有三个相异实根 , 现给出以下命题：1 f x 4 = 0 和 f x = 0 有一个相同的实根；2 f x = 0 和 f x = 0 有一个相同的实根；3 f x+3 = 0 的实根大于 f x 1 = 0 的任一实根； 4 f x + 4 = 0 的实根小于 f x 2 = 0 的任一实根 .；其中,错误命题的个数是（D ）A4 B3 C2 D1 名师归纳总结 第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载g,1206设 f x,g x分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时,f xg x+ f x g x>0 且2就不等式f x g x<0 的解集是 =_,1 0 ,1227（文）假如fx= x 2+1,gx= ffx, 设 Fx=gx- fx,问是否存在适当的,使 Fx在2上是减函数,在2,0上是增函数？如存在,求出的值,如不存在,说明理由；2=3 8（理）已知函数fx4x27,x01,01, ,如对于任意x 101, ,总存在x 001, ,2x（）求fx 的单调区间和值域；（）设a1,函数g xx22 3 a x2 a,x使得g x 0fx 1成立,求 a 的取值范畴解：对函数fx求导,得f,x42 x16x72x21第 10 页,共 13 页2x12x72x2令 f x=0 解得x 11或x2722当 x 变化时, f x、fx的变化情形如下表：x 0 0,1211 1,22f,x0 3fx7421 1, 时, fx是增函数；2所以,当x0,12时, fx是减函数；当x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载fx 1,就第 11 页,共 13 页当x01, 时, fx的值域为4,3（）对函数gx求导,得g,x3x2a2因此a1,当x01, 时,gx3 1a20因此当x01, 时, g x 为减函数,从而当x01, 时有g xg1,g0又g112 a2 3 a ,g02 a ,即当x0, 时有g x12a3 a2,2a任给x 10, ,fx 14,3,存在x 001, 使得g x 012 a3 a2,2a4,3即12 a3 a24（）2 a3（ ）解 1（）式得a1或a53解 2（ ）式得a32又a1,故： a 的取值范畴为1a329已知函数Fx=|2xt|x3+x+1（x R,t 为常数, tR）（ 1）写出此函数Fx在 R 上的单调区间；（ 2）如方程 Fxk=0 恰有两解,求实数k 的值；解： （1）Fx|2xt|x3x1x 333x1t,xt2 txx1tx2F'x 3x2,3xt2 t3 x2,1x2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载由 3x 2+3=0 得 x1=1,x2=1,而 3x 21<0 恒成立 i 当t <1 时, Fx在区间 , 1上是减函数 2在区间 1,1上是增函数,在区间1,+上是减函数ii 当 1> t 1 时, Fx在区间 ,t上是减函数2 2在区间 t ,1上是增函数,在区间 1, +上是减函数2iii 当 t 1 时, Fx在, + 上是减函数2（2）由 1）可知i 当t <1 时, Fx 在 x=1 处取得微小值21 t,在 x=1 处取得极大值3t,如方程 Fxm=0 恰有两解,此时 m=1t 或 m=3tii 当 1t<1,Fx在 x=t 处取值为 2t3t1,282在 x=1 处取得极大值3t,如方程 Fxm=0 恰有两解,此时 m=t3t1或 m=3t1、1 所以21182iii 当t 1 时,不存在这样的实数 2m,使得 Fxm=0 恰有两解110（理）已知 0x1, n 为大于 1 的正整数,求证：n2解答：设 fx= x n1x n ,就 f x=nx n-1-1x n-1,1x n1x n 1 令f x 0,得 x n-1=1x n-1,由于 0 x1,就有 x=1x,解得 x=12又f111,f 0,1f 1,1经比较知fx在0,1上的最小值、最大值分别为122 n2nnxn1x n1A 胜的概率为 Q,打算冠军队的11（理） A、B 两队进行某项运动的竞赛,以胜三次的一方为冠军,设在每次竞赛中p,B 胜的概率为q pq1,p0. q0,又 A 得冠军的概率为P,冠军的概率为竞赛次数为N. （ 1）求使 Pp 为最大的 p 值；名师归纳总结 （ 2）求使 N 的期望值为最大的p 值及期望值；p3；第 12 页,共 13 页（ 1）要打算冠军队,至少需要竞赛三次,最多需要竞赛5 次；解答：假如竞赛3 次 A 获冠军, A 需连胜三次,其获冠军的概率为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1 3 3假如竞赛 4 次 A 获冠军, 前三次有一次 B 胜,其余三次 A 胜,A 获冠军的概率为 C qp 3 p q .假如竞赛 5 次 A 获冠军,前四次有两次 B 胜,其余三次 A 胜, A 获冠军的概率为2 2 3 3 2 3 2 3 2C q p 6 p q . 故 P p 3 p q 6 p q .于是 P p p 33 p q 36 p q 3 2p f p .将 q 1 p 代入整理得 f p 6 p 515 p 410 p 3p 0 p 1.2 2令 f ' 30 p 1 p 11 130 1 p p 1 p 0.30 30即 P 2p 1 0, 解得 P 1 1 1 1 4 , p 2 1 1 1 4 .30 2 30 2 30当 0 p p 时,1 f ' 0; 当 p 1 p p 2 时 , f ' 0; 当 p 2 p 1 时 , f ' 0. 又limp 0 f p