2022年高等数学公式大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神高等数学公式导数公式：tgx 2 secxxarcsinx1121x2ctgx csc 21arccosx sec x sec xtgx1xcscx cscxctgxarctgx1axaxlnax2logax x1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdx2lncosxCnxdxdxx2 secxdxtgxCCC2 cosctgxdxlnsinxCctgxdxx2 cscxdxsecxdxlnsecxtgxCsin2sec xtgx dxsec xCcscxdxlncscxctgxCdx1arctgxCcscxctgxdxcscxCa2x2aaaxdxaxCx22 aadx1lnxaClnx2a22axashxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxCa2x22aaxxdxa2lnxdxarcsinxCa2xa2n2sinnxdx2cosnn1In2CI00a2a2lnxx2a2x2a2dxxx222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du第 1 页,共 15 页u1u221u2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一些初等函数：读书破万卷下笔如有神两个重要极限：双曲正弦:shxx eexexlim x 0sinxx1e2 . 7182818284 59045 .x2双曲余弦:chxx eexlim x112x双曲正切:thxshxe xchxx eexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式：· 诱导公式：名师归纳总结 · 和差角公式：sin函数sin cos tg ctg 2cos2第 2 页,共 15 页角 A -sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg · 和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsinsinsin2cos2sin2tgtgtg1tgtgcoscos2coscos22ctgctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书破万卷 下笔如有神· 倍角公式：sin22sincos12sin 2cos 2sin2sin33 sin43 sincos22cos 21ctg2ctg21cos 343 cos33cos2 ctgtg33 tgtgtg22 tg13 tg21tg2· 半角公式：sin21coscos21coscossin22tg21cos1cos1sinctg21cos11cossincos1cossin1cos· 正弦定理：aAbBcC2R· 余弦定理：c2a2b22 abcosCsinsinsin· 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgxuvn高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：1nkuv nnk C nunkvk1unkvkk0un vnun1 vn n1 un2vn n.2k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fbfafFbFaF当F xx时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弧微分公式：ds1y2dx ,读书破万卷下笔如有神其中ytg平均曲率：Ks.0:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长；M点的曲率：Klim ssd1yy23.ds直线：K;01.半径为a的圆：Ka定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1y ny n1yyn1yn24 y 1y 3y n1矩形法：fbabx na1y 0y 1梯形法：f2abfbay 0yn2 y24抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：WFsk 为引力系数水压力：FpA引力：Fkm 1m 2,r2函数的平均值：yb1abfx dx均方根：b1abf2aatdt空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间2 点的距离：dM1M2读书破万卷2下笔如有神2z 2z 12x 2x 1y2y 1向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；为锐角时,Prjua 1a2Prja 1Prja 2ababcosa xb xayb yaz b z, 是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2a xb xaayb yb xa zb z2b z2ay222b yzijkcabaxayaz,cabsin. 例：线速度：vwr.b xb yb zaxayaz向量的混合积：a bc abcb xbyb zabccos,c xc ycz代表平行六面体的体积；平面的方程：1、点法式：A xx0Byy0Czz 00,其中nA,B,C,M0x 0,y0,z0mt2、一般方程：AxByCzD0Ax0By0Cz0D参数方程：xx 03、截距世方程：xyz c1ab平面外任意一点到该平面的距离：dA2B2C2空间直线的方程：xx 0yy 0zz 0t,n ,p ;其中sm ,yy0ntmnpzz 0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q同号）a2b2c22、抛物面：x22 py2z（,p,2 q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x2a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全微分：dzzdxzdy读书破万卷u下笔如有神udzdudxudyxyxyz全微分的近似运算：zdzfxx ,yxfyx ,yy多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfu x ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y 0,dydxvF x,d 22 ydxxF xyF xdy dxFvFyFyF y隐函数Fx ,y ,z 0,zxFx,zyFyGFFFuFF zz隐函数方程组：Fx ,y,u,0 0JF,u Gv GGx ,y,u,vGuGvu,v uvu1F,Gv1F,GxJx ,v xJu,xu1F,Gv1F,GyJy ,vyJu,y微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y0,z0处的切线方程：xx0yy0zxz 0yy0,z 0zz00ytt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0 t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z 0,就切向量TFyFz,F zFx,FFGyGzxGxGyGx ,y,z 0GzGz 0Fzx0,曲面Fx,y ,z 0 上一点Mx0,y0,z 0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y0,z0,Fyx0,y0,z 0,Fzx0,y0,2、过此点的切平面方程：Fxx0,y0,z 0xx0Fyx0,y0,z 0yy03、过此点的法线方程：Fxx,x0z 0Fyy,y0z0Fzz,z 0x0y0,x 0y0,x0y0,z0方向导数与梯度：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数zfx,y在一点px ,y读书破万卷l下笔如有神ffcosfsin 沿任一方向的方向导数为：lxy其中为x 轴到方向l的转角；grad fx,y ficosfjsinj,为l方向上的函数zfx,y在一点px ,y 的梯度：xy它与方向导数的关系是：fgradfx ,ye,其中eil单位向量；f是gradfx,y在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx 0,y 00,令：fxxx 0,y0A ,fxyx 0,y 0B,fyyx 0,y 0CACB20 时,A,0x 0,y0 为极大值A,0x 0,y0为微小值就：ACB20 时,无极值ACB20 时 ,不确定重积分及其应用：fx,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx ,ydx2Fx,ydDD曲面zfx,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx ,yd,yMx,ydMx,y dDx,ydD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0 ,0,a,a0 的引力：FDy,Fz,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFx,F xfx ,yxd3,Fyfx,yyd3,FzfaDx2x,yxd3y2aDx2y2a22Dx222y2a22柱面坐标和球面坐标：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - xrcos读书破万卷下笔如有神柱面坐标：yrsin,fx ,y ,z dxdydzzdFr,z rdrddz ,dr2dvdvzzdrr2sindrdd其中：Fr,z frcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2dr,fx ,y ,z dxdydzFr,r2sindrdddFr,r2sin重心：x1xdv ,y1ydv ,000x1zdv,其中MMMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z 2dv,Izx2y曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就：yxtt第 8 页,共 15 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx ,ydsft,t2t2 t特别情形：L- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐读书破万卷下笔如有神标的曲线积分）：设L 的参数方程为yx t ,就： t t tQ t, t tdtyP x ,y dxQ x , dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L·平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 0 0, ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！·二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx ,y ,z dsfx ,y ,z x,y 12 z xx ,yz2x ,y dxdydsy对坐标的曲面积分：PDxyx ,y,z dydzQx ,y ,z dzdxR x ,y,z dxdy,其中：R x,y ,z dxdyR x ,y ,z x,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；Dxyx y ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；P x,y ,z dydzP Dyzx ,yz ,x ,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Qx ,y,z dzdxQ Dzx系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos两类曲面积分之间的关高斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQRdv读书破万卷下笔如有神PcosQcosRcosdsPdydzQdzdxRdxdyxyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0,就为消逝.散度：divPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA ndsPcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divAdvA nds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQ dydzPRdzdxQ xP y dxdyPdxQdyPRdzyzzxdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：x Py Qz Rx Py Qz R空间曲线积分与路径无关的条件：RQ z,PzR x,QxyyijkPdxQdyRdzAtds旋度：rotAxyzPQR向量场A 沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1q2 qqn11qn1q等差数列：123nn1n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、正项级数的审敛法读书破万卷下笔如有神根植审敛法（柯西判别法）：1 时,级数收敛设：lim nnun,就1 时,级数发散莱布尼兹定理：1 时,不确定2、比值审敛法：设：lim nUn1,就1 时,级数收敛1 时,级数发散Un1 时,不确定3、定义法：snu 1u2un;lim ns n存在,就收敛；否就发散；交叉级数u 1u2u 3u 4或u 1u2u 3,u n0 的审敛法假如交叉级数满意unuu n1,那么级数收敛且其和 0su 1,其余项r n的确定值r nun1；lim nn确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：n 1p p 时发散1 时收敛幂级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xx2x3xn读书破万卷下笔如有神x1 时,收敛于11x对于级数 3 a 0a 1xa2x1 时,发散10x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设xR 时不定lim na n10 时,R,其中an,an1 是 3 的系数,就0 时,Ra n时,R函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fx n1fx0xx0fx0xx02fnx 0xx0n.2n .余项：R nfn1xx0,fx可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0n1 .f0 f0xf0xfn0xnx 00 时即为麦克劳林公式：fx.2n .一些函数绽开成幂级数： 1x m1mxm m1x21x2nm m1mn1xn1x1 .2n .sinxxx35 x1n1x.3.52 n1 .欧拉公式：ix ecosxisinx或cosxix eeix2sinxix eeix2三角级数：ftA 0A nsinntna0ancosnxbnsinnx在 ,2n1n1其中,a0aA 0,anA nsinn,bnA ncosn,tx；正交性：,1sinx,cosx,sin2x ,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxa 0n1a ncos nxb n读书破万卷下笔如有神sinnx ,周期22a n1nfx cos nxdxn0 ,1, 2n2xb nsinnx 是奇函数其中b n1fx sin nxdxn,13,2111211181（相加）6325222324 211121112241（相减）122 24262222 32 4正弦级数：a0,b n2fxsinn xdx,1,2 3f0名师归纳总结 余弦级数：b n0,a n2fx cos nxdxn0 ,1, 2fx a 0ancos nx 是偶函数20第 13 页,共 15 页周期为l2 的周期函数的傅立叶级数：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxa 0n1ancosnlxb n读书破万卷下笔如有神sinnx,周期2 l2l其中a n1lfx cosnlxdx n0 ,1, 2llb n1lfxsinnlxdxn2,1 3,ll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y或Px ,y dxQx ,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfx dx 的形式,解法：gy dyfx dx得：GyFx C 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx,y x ,y ,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,ud