浙教版八年级数学上册--全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法.docx

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180°DABD DBCE与AE 与CD例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形DABE DDBC（1），连结，证明= DC(2) AE(3)(4)(5)(6) BH 平分ÐAHC(7)GF DABD DBCE与AE CD与变式精练 1：如图两个等边三角形DABE DDBC= DC，连结，证明（1）60°（3）（4） AE 与 DC 的交点设为 H , BH 平分ÐAHCDABD DBCE与AE CD与变式精练 2：如图两个等边三角形DABE DDBC证明（1），连结，= DC(2） AE60°AE(4） AE 与 DC 的交点设为 H , BH 平分ÐAHC 例 2：如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG ,连结 AG,CE,二者相交于点HDADG DCDE问：（1）（2） AG 是否与CE 相等？（3） AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4） HD 是否平分ÐAHE是否成立？例 3：如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG ，连结 AG,CE,二者相交于点HDADG DCDE问：（1）（2） AG 是否与CE 相等？（3） AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4） HD 是否平分ÐAHE是否成立？ DABD DBCE与AB = BD CB = EB, ÐABD = ÐCBE =AE例 4：两个等腰三角形问：（1），其 中,a ,连结与CD ，DABE DDBC是否成立？（2） AE 是否与CD 相等？（3） AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4） HB 是否平分ÐAHC？例 5：如图，点 A. B. C 在同一条直线上，分别以 AB、BC 为边在直线 AC 的同侧作等边三角形ABD、BCE.连接 AE、DC，AE 与 DC 所在直线相交于 F，连接 FB.判断线段 FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你的结论。【练 1】如图，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条直线上，且角 EBD=62°，求角 AEB 的度数 倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线AAABC 中方式 1： 延长AD 到E，使 DE=AD，AD 是 BC 边中线连接 BEBCBCDDE方式 2：间接倍长AA作 CFAD 于 F，延长MD 到 N，使 DN=MD，作 BEAD 的延长线于 E连接 BEFM连接 CDBCDDBCEN1【例1】 已知：D 中，AM 是中线求证：ABC< (+AB AC) AM2ACBM【练 1】在 中，AB = 5，AC = 9 ，则边上的中线 的长的取值范围是什么？ADABCBC 【练 2】如图所示，在 DABC的边上取两点 、 ，使FAE BF=，连接、 ，求证：CFABECEAC + BC > EC + FCCAEFB【练 3】如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上的一点，且 BD=CF，连结 DF交 BC 于 E求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】 如图，已知在DABC 中，AD 是边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交于 F ，AF EF=，BCAC求证：=AC BEAFEBDC【练 1】如图，已知在DABC 中， AD 是F ，求证： AF = EF边上的中线，E 是 AD 上一点，且BE AC=，延长BE 交于ACBCCDFEAB 【练 2】如图，在ABC 中，AB>AC，E 为 BC 边的中点，AD 为BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB于 F，交 CA 的延长线于 G. 求证：BF=CG.【练 3】如图，在DABC 中，AD 交于点 D ，点E 是中点，交EF AD CA的延长线于点 F ，交ABBCBC于点 ，若G=，求证：BG CF AD为 DABC 的角平分线CAGBF【练 4】如图所示，已知DABC 中， AD 平分ÐBAC ， E 、 F 分别在 BD 、 AD 上求证： EF AB=，DE CD EF AC=AFBEDC【例 3】已知 AM 为 DABC 的中线，ÐAMB，ÐAMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交于 F 求证：ACBE + CF > EFCFMABE 【练 1】在 RtDABC 中， 是斜边的中点， 、 分别在边、CB 上，满足ÐDFE = 90° 若= 3 ，FAB的长度为_DEDECAADBE = 4，则线段AFDCBE【练 2】如图，ABC 中，AB=2AC，AD 平分 BC 且 ADAC，则BAC=_.【练 3】在 DABC 中，点 D 为的中点，点 M 、 N 分别为 AB 、上的点，且BCACMD ND（1）若Ð = 90° ，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角A形、直角三角形或钝角三角形？()214（2）如果 BM + CN = DM + DN ，求证=AB2 AC+2222AD2ANMBCD【例 4】如图，等腰直角DABC 与等腰直角DBDE探究 PA 、 PD的关系.（证角相等方法）， 为P中点，连接.CEPA 、 PD 【练 1】如图，两个正方形和，点 为P的中点，连接交 于点 .PA EF QABDEACGFBC探究与AP EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练 2】如图，在DABC中，=AE BDCD AB ，ÐBAD = ÐBDA， 是边的中线.求证：AC = 2AE【例 5】如图所示，在 DABC 中，AB AC=，延 长 AB 到 D ，使 BD = AB ，E 为 AB 的中点，连接CE 、CD ，求证CD = 2ECAEBCD 【练 1】已知DABC 中，求证：CD = 2CE=，AB AC BD AB为的延长线，且BD AB=，CE 为 DABC的边上的中线ABCEABD【练 2】如图,CB、CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 中线,且 AC=AB,ACB=ABC.求证 CE=2CD.【例 16】如图，两个正方形和，点 为P的中点，连接交 EF 于点 .PA QABDEACGFBC探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用） 【练 1】已知：如图，正方形 ABCD和正方形 EBGF ，点 是线段 DF 的中点.M试说明线段ME与数量关系和关系.MC< 90°如图，若将上题中正方形 EBGF 绕点 顺时针旋转a 度数（a），其他条件不变，上述结B论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由. 全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，D 全等)【例10】如图所示，DABC中，ÐC = 90 ,ÐB = 45 ÐBAC0 ，AD 平分交 BC 于 D。求证：AB=AC+CD。0ABCD【练 1】如图所示，在DABC中，ÐB = 600 DABC， 的角平分线 AD、ACE 相交于点 O。求证：AE+CD=AC。EOBCD【练 2】已知DABC中，ÐA = 60 BD CE，、分别平分ÐABC ÐACB BD CE和，、交于点 ，试判断O、CD 、 BC 的数量关系，并加以证明ABEEDOBC【练 2】如图,在四边形 ABCD 中,ADBC，AE 平分BAD 交 DC 于点 E，连接 BE，且 AEBE，求证：AB=AD+BC. 【练 3】已知：如图,在ABC 中,A=90 ，AB=AC，BD 是ABC 的平分线。求证：BC=AB+AD.【练 4】点 M ，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC，BDC=120°，MDN=60°，求证 MN=MB+NCANMBCD【例 11】已知如图所示，在ABC 中,AD 是角平分线,且 AC=AB+BD,试说明B=2C（不只是边，倍角也适用）【练 1】如图，在ABC 中，ABAC，BDAC 交 AC 于点 D求证：DBC1 BAC2 【例 12】如图所示，已知Ð1 = Ð2，P 为 BN 上一点，且PD BC于 D ， AB+BC=2BD ， 求 证 ：MÐBAP + ÐBCP = 1800 。NPA12CBD C【练 1】如图，在四边形 ABCD 中，BCBA, ADCD，BD 平分ÐABC，AÐA + ÐC = 180求证：0DCB【例 13】如图所示，在RtDABC中，AB=AC，ÐBAC = 900 ÐABD = ÐCBD，CE 垂直于 BD 的延长线于E。求证：BD=2CE。AEDBC【练 1】已知：如图示，在 RtABC 中，A=90°，ABC=2C，BD 是ABC 的平分线求证：CD=2AD 【练 2】如图所示，在DABC 中，ÐABC = 900，AD 为ÐBAC 的平分线，ÐC0 BE AD=30 ， 于 E 点，求证：AC-AB=2BE。AECDB【练 3】正方形 ABCD,E 是 BC 上一点,AE EF,交DCH 的平分线于点 F，求证 AE=EF【练 4】已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CEADBCFE 【例 14】如图所示，已知/CD，ÐABC,ÐBCD的平分线恰好交于 AD 上一点 E，求证：BC=AB+CD。ABBAEDC【练 1】如图，已知 ADBC，PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于 E，CE 的连线交 AP 于 D求证：AD+BC=ABPCEDAB【练 2】如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点，且 AF 平分DAE，求证：AE=EC+CD【练 3】在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，B=2C求证：CD=AB+BD【练 4】如图所示,在三角形 ABC 中,ACB=90°,AC=BC,D 为三角形 ABC 外一点,且 ADBD,DEAC 交 AC 的延长线于点 E.试探求 ED、AE 和 BC 之间有何数量关系 【练 5】在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论ADBCEF【例 15】如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证：AB-ACPB-PCA12PBCD【练 1】已知 为DABC 的中线，Ð ，ÐAMC 的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F AMAMB求证：BE + CF > EF AEFBCM如图，E 是ÐAOB 的平分线上一点，EC OA ED OB， ，垂足为AC、D。求证：（1）OC=OD； （2）DF=CF。CEFOBD 构造等边三角形1、如图,已知ABC 中,AB=AC,D 是 CB 延长线上一点,ADB=60 ，E 是 AD 上一点，且有 DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰DABC 中，AB AC=，顶角Ð = 20° ，在边上取点 D ，使 = ，求ÐBDC .AD BCAABADBC 练习 1、如图,在ABC 中,ACB=90°,BE 平分ABC,DEAB 于 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于练习 2、在 ABC 和A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点 D,D'分别是 BC,B'C'的中点 ,且 AD=A'D',证眀：DABC DA B C''' .A'A（倍长中线）C'B'CBD'D练习 3、如图，在ABC 中，BE 是ABC 的角平分线，ADBE，垂足为 D，求证：2=1+C 练习 4、如图（1），已知ABC 中，BAC=90°，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B、C 在 A、E 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E（1）试说明：BD=DE+CE（2）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（3）位置时（BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由如图所示，在 RtABC 中，ABAC，BAC90°，有过 A 的任一条直线 AN，BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DEBDCE（思路：截长补短法）如图,在ABC 中,AB=AC,D 是三角形外一点,且ABD=60 ,BD+DC=AB.求证：ACD=60 .（截长补短） 1、如图，等腰直角DABC与等腰直角DBDE， 为P中点，连接.CEPA PD、探究 PA 、 PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形 ABCD和正方形 EBGF ，点 是线段 DF 的中点.M试说明线段ME与数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）MC< 90°如图，若将上题中正方形 EBGF 绕点 顺时针旋转a 度数（a），其他条件不变，上述结B论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知AM 为 DABC 的中线，ÐAMB，ÐAMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F 求证：BE CF EF+>（辅助线的连法都一样）AEFBCM 【阅读理解】已知：如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，B=90°，AD 是角平分线，交 BC 边于点 D求证：AC=AB+BD证明：如图 1，在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，则由已知条件易知：RtADBRtADE（AAS）AC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图 2，等腰直角三角形 ABC 中，B=90°，AD 是BAC 的平分线，交 BC 边于点 D，DEAC，【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交 BC 边于点 D”换成“AD 是外角平分线，交 BC 边的延长线于点 D 如图 3”，其他条件不变，请你猜想线段 AC、AB、BD 之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】任意三角形 ABC，ABC=2C，AD 是BAC 的外角平分线，交 CB 边的延长线于点 D，如图 4，请你写出线段 AC、AB、BD 之间的数量关系如图,已知B=C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC.（1）求证：AM 平分DAB（2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？（3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出结果。1、如图，等腰直角DABC与等腰直角DBDE， 为P中点，连接.CEPA PD、探究 PA 、 PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形 ABCD和正方形 EBGF ，点 是线段 DF 的中点.M试说明线段ME与数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）MC< 90°如图，若将上题中正方形 EBGF 绕点 顺时针旋转a 度数（a），其他条件不变，上述结B论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知AM 为 DABC 的中线，ÐAMB，ÐAMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F 求证：BE CF EF+>（辅助线的连法都一样）AEFBCM 【阅读理解】已知：如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，B=90°，AD 是角平分线，交 BC 边于点 D求证：AC=AB+BD证明：如图 1，在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，则由已知条件易知：RtADBRtADE（AAS）AC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图 2，等腰直角三角形 ABC 中，B=90°，AD 是BAC 的平分线，交 BC 边于点 D，DEAC，【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交 BC 边于点 D”换成“AD 是外角平分线，交 BC 边的延长线于点 D 如图 3”，其他条件不变，请你猜想线段 AC、AB、BD 之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】任意三角形 ABC，ABC=2C，AD 是BAC 的外角平分线，交 CB 边的延长线于点 D，如图 4，请你写出线段 AC、AB、BD 之间的数量关系如图,已知B=C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC.（1）求证：AM 平分DAB（2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？（3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出结果。1、如图，等腰直角DABC与等腰直角DBDE， 为P中点，连接.CEPA PD、探究 PA 、 PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形 ABCD和正方形 EBGF ，点 是线段 DF 的中点.M试说明线段ME与数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）MC< 90°如图，若将上题中正方形 EBGF 绕点 顺时针旋转a 度数（a），其他条件不变，上述结B论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知AM 为 DABC 的中线，ÐAMB，ÐAMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F 求证：BE CF EF+>（辅助线的连法都一样）AEFBCM 【阅读理解】已知：如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，B=90°，AD 是角平分线，交 BC 边于点 D求证：AC=AB+BD证明：如图 1，在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，则由已知条件易知：RtADBRtADE（AAS）AC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图 2，等腰直角三角形 ABC 中，B=90°，AD 是BAC 的平分线，交 BC 边于点 D，DEAC，【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交 BC 边于点 D”换成“AD 是外角平分线，交 BC 边的延长线于点 D 如图 3”，其他条件不变，请你猜想线段 AC、AB、BD 之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】任意三角形 ABC，ABC=2C，AD 是BAC 的外角平分线，交 CB 边的延长线于点 D，如图 4，请你写出线段 AC、AB、BD 之间的数量关系如图,已知B=C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC.（1）求证：AM 平分DAB（2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？（3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出结果。