2022年高考数学一轮汇总训练《函数的定义域和值域》理新人教A版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次节 函数的定义域和值域 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 函数的定义域常常作为基本条件或工具显现在高考试题的客观题中,且多与集合问题相交汇,考查与对数函数、分式函数、根式函会求简洁函数的定 义域和值域 .数有关的定义域问题如20XX 年江西 T2,江苏 T5 等2. 函数的值域或最值问题很少单独考查,通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问显现在试卷中. 归纳· 学问整合 1常见基本初等函数的定义域1 分式函数中分母不等于零2 偶次根式函数被开方式大于或等于 0. 3 一次函数、二次函数的定义域均为 R. 4 ya x a0 且 a 1 , ysin x,ycos x,定义域均为 R. 5 ylogax a0 且 a 1 的定义域为 0 , 6 ytan x 的定义域为x|x k 2,kZ . 7 实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,仍要考虑实际问题对函数自变量的制约2基本初等函数的值域名师归纳总结 1 ykxb k 0 的值域是R. 第 1 页,共 15 页2 yax2 bxc a 0 的值域是：当 a>0 时,值域为y|y2 4acb；4a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a<0 时,值域为2 y| y4acb 4a学习必备欢迎下载. 3 yk x k 0 的值域是 y| y 0 4 ya x a>0 且 a 1 的值域是 y| y>0 5 ylog ax a>0 且 a 1 的值域是 R. 6 ysin x,y cos x 的值域是 1,1 7 ytan x 的值域是 R. 探究 1. 如函数 yf x 的定义域和值域相同,就称函数 yf x 是圆满函数,就函1数 yx； y2x； yx； yx 2中是圆满函数的有哪几个？1 1提示： yx的定义域和值域都是 , 0 0 , ,故函数 yx是圆满函数；y2x 的定义域和值域都是 R,故函数 y 2x 是圆满函数； yx的定义域和值域都是0 , ,故 yx是圆满函数； y x 2 的定义域为 R,值域为 0 , ,故函数 yx 2 不是圆满函数2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集1 教材习题改编 函数 f x 自测· 牛刀小试 即x4,所以函4x x 1的定义域为 A , 4 B 4 ,C , 4 D , 1 1,4 解析：选D 要使函数f x 4 x x1有意义,只需4x0,x1 0,x 1.数的定义域为 , 1 1,4 2下表表示 y 是 x 的函数,就函数的值域是 x 0<x<5 5 x<10 10x<15 15 x20y 2 3 4 5 A2,5 B NC0,20 D 2,3,4,5 解析：选 D 函数值只有四个数 2,3,4,5,故值域为 2,3,4,513如 f x ,就 f x 的定义域为 log 1 x2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 1 2,0学习必备欢迎下载B. 1 2,0C. 1 2,log1D 0 ,解析：选 A 依据题意得 2 x1 0,2即 02x11,解得1 2<x<0,即 x 1 2,0 . 4 教材改编题 函数 yf x 的图象如下列图,就函数 值域为 _yf x 的定义域为 _,解析：由图象可知,函数 yf x 的定义域为 6,0 3,7 ,值域为 0 , 答案： 6,0 3,7 0 , 5 教材改编题 如 x4有意义,就函数 y x 2 6x7 的值域是 _解析：x4有意义, x40,即 x4.又 y x 2 6x7 x3 2 2,ymin4 3 2212 1. 其值域为 1, 答案： 1,求函数的定义域 例 1 12022 · 山东高考 函数 f x 14x 2的定义域为 xA 2,0 0,2 B 1,0 0,2 C 2,2 D 1,2 2 已知函数 f x21 的定义域为 0,3,就函数 yf x 的定义域为 _x1>0,x>1, 自主解答 1 x 满意x1 1,即x 0,4x 20,2 x2.解得 1<x<0 或 0<x2.2 0 x3,名师归纳总结 0 x 29,1 x218.第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数 yf x的定义域为 1,8 答案 1B 2 1,8 本例 2 改为 f x 的定义域为 0,3,求 yf x 2 1 的定义域解： yf x的定义域为 0,3,0 x 213,解得 2 x 1 或 1 x2,所以函数定义域为 2, 1 1,2简洁函数定义域的类型及求法1 已知函数的解析式,就构造 使解析式有意义的不等式 组 求解2 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 组 求解3 对抽象函数：如已知函数f x 的定义域为 a, b ,就复合函数f g x 的定义域由不等式ag x b 求出如已知函数f g x 的定义域为 a,b ,就 f x 的定义域为g x 在 x a,b 时的值域112022 · 江苏高考函数 f x12log6x的定义域为 _6 2 已知 f x 的定义域是 2,4 ,求 f x 23x 的定义域解析： 1 由 12log6x0 解得 log6x1 2. 0x6,故所求定义域为0 ,答案： 0 ,6 2 f x 的定义域 是 2,4 ,2 x 2 3x4,由二次函数的图象可得,1x1 或 2 x4.定义域为 1,1 2,4. 求函数的值域名师归纳总结 例 2 求以下函数的值域：4 x1. 由于4 x1 0,所以第 4 页,共 15 页1 yx3 x1； 2 yx12x；3 yx4 x. 自主解答 1 法一： 分别常数法 yx3 x1x14 x1 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14 x1 1,学习必备欢迎下载即函数的值域是 y| yR,y 1 法二：由 yx3 x1得 yxyx3. 解得 xy 3 1 y,所以 y 1,即函数值域是 y| yR,y 1 2 法一： 换元法 令12xt ,就 t 0 且 x1 t2,于是 y1t21 2 t 12t 221,由于 t 0,所以 y1 2,故函数的值域是y| y1 2 . 1 2x0,即法二： 单调性法 简洁判定函数yf x 为增函数,而其定义域应满意x1 2. 所以 yf1 21 2,即函数的值域是y| y1 2 . 3 法一： 基本不等式法 当 x>0 时,x4 x2 x×4 x4,当且仅当 x2 时“ ” 成立；当 x<0 时, x4 x x4 x 4,当且仅当 x 2 时“ ” 成立即函数的值域为 , 4 4 , 法二： 导数法 f x 1x 4 2x 24 x 2 . x , 2 或 x2 , 时, f x 单调递增,当 x 2,0 或 x0,2 时, f x 单调递减故 x 2 时, f x 极大值 f 2 4；x2 时, f x 微小值f 2 4. 名师归纳总结 即函数的值域为 , 4 4 , yx4 x的值域第 5 页,共 15 页如将本例 3 改为“yx4 x” ,如何求解？解：易知函数y x4 x在 , 0 和0 , 上都是增函数,故函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载为 R. 求函数值域的基本方法1 观看法：一些简洁函数,通过观看法求值域2 配方法：“ 二次函数类” 用配方法求值域3 换元法：形如 yaxb±cxd a,b,c,d 均为常数,且 a 0 的函数常用换元法求值域,形如 yaxabx 2的函数用三角函数代换求值域分别常数法：形如 ycxd axb a 的函数可用此法求值域 . 单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据,依据函数的单调区间判定其增 减性进而求最值和值域 . 数形结合法：画出函数的图象,找出坐标的范畴或分析条件的几何意义,在图上找其变化范畴 . 2求以下函数的值域1 yx 22x,x0,3；2 yx 2x1；x 2x3 ylog 3xlog x3 1. 解： 1 配方法 yx22x x 121,0 x3,1 x14. 1 x1 216.0 y15,名师归纳总结 即函数 yx22x x 0,3的值域为 0,15第 6 页,共 15 页2 yx2x11 x 2x1 1x1 2x1,x 2x1 x123 43 4,20< x 2x 14 3,1 3 y<1,即值域为1 3,1 . 3 ylog 3x1 log 3x 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载令 log3xt ,1就 yt t1 t 0 ,1当 x>1 时, t >0,y2 t ·t11,1当且仅当 t t即 log 3x1,x3 时,等号成立；当 0<x<1 时, t <0,1yt t1 21 3. 1 1当且仅当 t t即 log 3x 1,x3时,等号成立综上所述,函数的值域是 , 3 1 , .与定义域、值域有关的参数问题 例 3 已知函数 f x ax 2bx. 如至少存在一个正实数 b,使得函数 f x 的定义域与值域相同,求实数 a 的值 自主解答 如 a0,就对于每个正数 b,f x bx的定义域和值域都是 0 , ,故 a0 满意条件；如 a>0,就对于正数b,f x ax2bx的定义域为D x| ax2bx0 ,b a0 , ,但 f x 的值域 A. 0 , ,故 D A,即 a>0 不符合条件；如 a<0,就对于正数 b,f x ax 2 bx的定义域 D 0,b a,由于此时 f x maxf b 2a2 ba,b故 f x 的值域为 0,2a,就b a2 ba .a<0,2a a . a 4. 综上所述, a 的值为 0 或 4. 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范畴问题,通常按求函数值域的方法求出其值域,然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 32022· 温州模拟 如函数学习必备欢迎下载1 3,1 ,就 abf x 1 x1在区间 a,b 上的值域为_. 解析：由题意知 x1>0,又 x a,b ,1a>1. 就 f x x 1在 a, b 上为减函数,1 1 1 就 f a a11 且 f b b13,a2,b4,ab6. 答案： 6 1 种意识定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂,它打算了函数的值域,并且它是讨论函数性质的基础因此,我们肯定要树立函数定义域优先的意识4 个留意求函数定义域应留意的问题 1 假如没有特殊说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的全部实数 x 的集合2 不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化3 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合4 定义域是一个集合,要用集合或区间表示,如用区间表示数集,不能用“ 或” 连接,而应当用并集符号“ ” 连接4 个准就函数表达式有意义的准 就函数表达式有意义的准就一般有：分式中的分母不为 0；偶次根式的被开方数非负；yx 0要求 x 0；对数式中的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1. 6 种技巧妙求函数的值域 1 当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分别常数法；2 如与二次函数有关,可用配方法；3 如函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法；4 当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解；5 分段函数宜分段求解；名师归纳总结 6 当函数的图象易画出时,仍可借助于图象求解. 第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载易误警示与定义域有关的易错问题 典 例 2022·福 州 模 拟 函 数f x x21x 的 定 义 域 为x1_ 解 析 要 使 函 数f x x21x 有 意 义 , 就1x0,x1x1 0,x1,x 1,函数 f x 的定义域为 x| x1,且 x 1 答案 , 1 1,1 易误辨析 1此题如将函数 f x 的解析式化简为 f x x1 1x后求定义域, 会误认为其 定义域为 , 1 事实上,上述化简过程扩大了自变量 x 的取值范畴2在求函数的值域时,要特殊留意函数的定义域求函数的值域时,不但要重视对应 关系的作用,而且仍要特殊留意定义域对值域的制约作用 变式训练 名师归纳总结 1如函数 f x的值域是1 2,3 ,就函数 F x f x f1的值域是 第 9 页,共 15 页xA.1 2,5B.5 6,5C. 2,10D. 3,1033解析：选 C 令 t f x ,就1 2t 3.易知函数 g t t 1 t在区间1 2,1 上是减函数,在1,3上是增函数又由于 g1 25 2,g1 2,g3 10 3 . 可知函数 F x f x f1的值域为2,10 3 . x2已知函数f x2 x2 x,就函数 f x 的值域为 _解析：令 2xt ,就 x t 22 t 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f t t 222 t 2 t学习必备欢迎下载22t t 2 f x x 22x x2 f x x 1 21 21 210,即 f x 的值域为 0 , 答案： 0 ,一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 1已知 a 为实数,就以下函数中,定义域和值域都有可能是 R的是 Af x x 2a B f x ax 21 Cf x ax 2x1 D f x x 2ax1 解析： 选 C 当 a0 时,f x ax 2x1 x1 为一次函数, 其定义域和值域都是 R. 2已知等腰ABC周长为 10,就底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y102x,就函数的定义域为 AR B x| x>0 C x|0< x<5 D. x| 5 2<x<5x>0,5解析：选 D 由题意知 102x>0,即 2<x<5. 2x>102x,3设 M x| 2 x2 ,N y|0 y2 ,函数 f x 的定义域为 M,值域为 N,就 f x的图象可以是 解析：选 A A 中定义域是 2,2 ,值域为 0,2；B 中定义域为 2,0 ,值域为 0,2；名师归纳总结 C不表示函数； D中的值域不是 0,2x lg1 x的定义域为 第 10 页,共 15 页42022· 南昌模拟 函数 yxA x| x>0 B x| x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C x| x1,或 x<0 学习必备欢迎下载D x|0< x1x x,解析：选 B 由 1 得 x1.x>0,5函数 y 2x 24x的值域是 A 2,2 B 1,2 C0,2 D 2,2 解析：选 C x 24x x2 244,0x 24x2,2x 24x0,02x 24x2,0 y2.g xx4,x<g x,6设函数 g x x 22 xR ,f x就 f x的值域g xx,xg x,是 9A. 4,0 1 , B. 0 ,9 9C. 4,D. 4,0 2 ,解析：选 D 令 x<g x ,即 x 2x2>0,解得 x<1 或 x>2；令 x g x ,即 x 2x20,x 2x2,x<1或x>2,解得 1 x2,故函数 f x 当 x< 1 或 x>2 时,函数x 2x2,1 x2.f x> f 1 2；当 1 x2 时,函数 f 2f x f 1 ,即 9 4f x 0,故函数9f x 的值域是4, 0 2 , 二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 17函数 y2的定义域是 _6xx解析：由函数解析式可知 答案： 3,2 6xx 2>0,即 x 2 x6<0,故 3<x<2. 8设 x2 ,就函数 yxx的最小值是 _25t 4 ttx1解析： yxx1x1,设 x1t ,就 t 3,那么 yt4 t5,在区间 2 , 上此函数为增函数,所以t 3 时,函数取得最小值即ymin28 3 . 答案：28 3名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2.92022· 厦门模拟 定义新运算“ ” ：当ab 时,aba；当 a<b 时, abb设函数 f x 1 x x 2 x ,x 2,2 ,就函数 f x 的值域为 _解析：由题意知,f x x2,x 2,1 ,x 32,x,2.当 x 2,1 时, f x 4, 1 ；当 x1,2 2,2 时, f x 4,6 答案： 4,6 时, f x 1,6 ,故当 x 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题 12 分,共 36 分 110如函数 f x 2x 2xa 的定义域和值域均为 1 ,b b>1 ,求 a,b 的值1 1解： f x 2 x1 2a2,其对称轴为 x1,即1 ,b 为 f x 的单调递增区间f x minf 1 a1 21,1f x maxf b 2b 2bab. 由解得 a3 2,b3.11设 O为坐标原点, 给定一个定点A4,3 ,而点 B x, 0 在 x 轴的正半轴上移动,l x表示 AB 的长,求函数ylx的值域x解：依题意有x0,l x x232x 28x25,所以 ylxxx18 x25. x28x251x2由于 18 x25 x 2 251 x429 25,25所以18 x25 2 x3 5,故 0y5 3. 即函数 ylx的值域是0,5 3 . x12已知函数f x x24ax2a6. 1 如函数 f x的值域为 0 , ,求 a 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 如函数 f x的函数值均为非负数,求解： 1 函数的值域为 0 , , 16a 242 a 6 0 3. 2a 2a30. a 1 或 a2. 2 对一切 xR函数值均为非负, 82 a 2a3 0 . 1 a3 2. a3>0. g a 2a| a3| a 23a 2 a3 2 217 4a 1,3 . g a 2a| a3| 的值域二次函数g a 在 1,3 2上单调递减, g3 2g a g 1 ,即19 4g a 4.g a 的值域为19 4, 4 . 1以下函数中,与函数y1有相同定义域的是xAf x ln xB f x 1 xxCf x | x| D f x e解析：选 A 当 x>0 时,1 有意义,因此函数xy1 的定义域为 x| x>0 x对于 A,函数 f x ln x 的定义域为 x| x>0；对于 B,函数 f x 1 x的定义域为 x| x 0, xR ；名师归纳总结 对于 C,函数 f x | x| 的定义域为R；第 13 页,共 15 页对于 D,函数 f x ex的定义域为R. 所以与函数y1有相同定义域的是f x ln x. x2函数 yx的定义域为 x 23x4A 4, 1 B 4,1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C 1,1 学习必备欢迎下载D 1,1 解析：选 C 由x23x4>0得 1<x<1,因此该函数的定义域是 1,1 h a x 1>03如函数 yf x 的定义域为 0,2,就函数 g x fx的定义域是 x 1A0,1 B 0,1 C0,1 1,4 D 0,1 解析：选 B 要使 g x 有意义,就02 x2,x1 0,解得 0x<1. 故定义域为 0,14已知函数 f x 1x,x 1,1 ,函数 g x f2 x 2af x 3 的最小值为31 求 h a 的解析式；2 是否存在实数m,n 同时满意以下两个条件：m>n>3；当 h a 的定义域为 n,m时,值域为 n 2, m 2 ？如存在,求出m,n 的值；如不存在,请说明理由解： 1 由 f x1x, x 1,1 ,t a,故有：3知 f x 1 3,3 ,令 t f x 1 3,3记 g x yt22at 3,就 g x 的对称轴为当 a1 3时, g x 的最小值 h a 28 92a 3,当 a3 时, g x 的最小值 h a 126a,1 2 当 3<a<3 时, g x 的最小值 h a 3a28 2a 1 93, a3,综上所述, h a 3a 2,1 3<a<3,126a, a3,2 当 a3 时, h a 6a 12,故 m>n>3 时, h a 在 n,m 上为减函数,所以 h a 在 n,m 上的值域为 hm ,h n 由题意,就有hm n 2,.6m12n 2,两式相减得6n6m n 2 m 2,hn m 2,6n12m 2,又 m n,所以 m n6,这与名师归纳总结 m>n>3 冲突,故不存在满意题中条件的m,n 的值 . 第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 15 页,共 15 页- - - - - - -