2020年中考数学一轮复习基醇点及题型专题25锐角三角形.docx

专题25 锐角三角形 考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角)对边 【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数3045601锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角）：1、 sin A=cos（90-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。2、 cos A=sin（90-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。正弦、余弦的增减性：当090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0<<90时，tan随的增大而增大，【考查题型汇总】考查题型一 利用锐角三角函数概念求三角函数值1（2018南开大学附属中学中考模拟）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）ABCD【答案】D【详解】过B点作BDAC，如图，由勾股定理得，AB=，AD=，cosA=，故选D2（2019福建中考模拟）如图，在中，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】详解：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC=，sinA=.故选：A3（2017天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tan的值是( )A2BCD【答案】B【解析】根据题意可由点的坐标得到其到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，因此可根据正切的意义，可得tan=.故选：B4（2019天津市红光中学中考模拟）在RtABC中，C=90，sinB=，则tanA的值为（）ABCD【答案】D【解析】试题解析：由中, 得 由 得 故选D.5（2019湖南中考模拟）中，若，下列各式中正确的是ABCD【答案】C【详解】解：，A.，故此选项错误；B.，故此选项错误；C.，故此选项正确；D.，故此选项错误故选：C考查题型二 利用锐角三角函数概念求线段的长1（2018辽宁中考模拟）在RtABC中，C90，AB6，cosB，则BC的长为_【答案】4【详解】C=90，AB=6，BC=4.2（2019江苏中考真题）如图，在中，则的长为_【答案】【详解】过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则则3（2015上海中考模拟）在中，如果，那么 ；【答案】4【解析】因为在中，所以,所以.4（2019广西中考模拟）RtABC中，C90，cosA，AC6cm，那么BC等于_【答案】8cm【详解】在中，则.故答案为.考查题型三 通过特殊角的三角函数值进行计算1（2019四川中考模拟）在ABC中，（cosA）2+|tanB1|0，则C_【答案】75【详解】解：（cosA）2+|tanB1|0，cosA0，tanB10，则cosA，tanB1，A60，B45，C180604575故答案为：752（2019湖北中考真题）计算_【答案】 .【详解】原式 故答案为：3（2019湖北中考真题）计算：_【答案】0【详解】=1-1=0，故答案为：0.4（2019湖北中考模拟）21tan60+（2011）0+_【答案】-1【详解】原式故答案为：15（2018四川中考真题）已知|sinA|+=0，那么A+B= 【答案】90【详解】解：由题意可知：sinA=，tanB=，A=30，B=60，A+B=90故答案为：906.（2018湖北中考真题）计算：22|tan303|+20180=_【答案】【详解】原式=2|3|+1=2+1=，故答案为：考查题型四 等角代换法求锐角三角函数1（2019浙江中考模拟）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如O）为60，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则APC的正切值为_【答案】32【详解】解：如图取格点E，连接EC、DE设小菱形的边长为1 由题意：ECAB，APC=ECD，CDO=60，EDB=30，CDE=90，CD=2，DE=3，tanAPC=tanECD=DECD =32，故答案为32 2（2019杭州市余杭区乾元中学中考模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tanAPD的值为_.【答案】2【详解】如图：，连接BE，四边形BCED是正方形，DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC=1：3，DP：DF=1：2，DP=PF=12CF=12BF，在RtPBF中，tanBPF=BFPF=2，APD=BPF，tanAPD=2故答案为：2考查题型五 通过参数法求锐角三角函数值1（2019山东中考模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）ABCD【答案】A【详解】四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，点E是边BC的中点，BE=BC=AD，BEFDAF，EF=AF，EF=AE，点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=DE，设EF=x，则DE=3x，DF=x，tanBDE= .故选A2（2019山西中考模拟）在中，C=90，则的值为（ ）ABCD【答案】D【详解】解：在RtABC中，C=90，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，BC2+AC2=AB2 AC=4xtanB=故选D3（2016湖南中考真题）如图，在RtABC中，C90，sinA，AC6cm，则BC的长度为()A6cmB7cmC8cmD9cm【答案】C【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C4（2019四川中考模拟）已知在RtABC中，C90，sinA，则tanB的值为()ABCD【答案】A【详解】sinA设三边分别为BC=3x，AC=4x，AB=5xtanB=故选A考查题型六 构造直角三角形求锐角三角函数值1（2019广西中考模拟）BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tanBAC的值为（）ABCD【答案】D【详解】连接CD，如图：，CD=，AC=，ADC=90，tanBAC=故选D2（2019湖北中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）ABCD【答案】D【详解】如图，过作于，则，5故选D3（2019浙江中考模拟）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）ABCD【答案】B【详解】解：连接CD（如图所示），设小正方形的边长为，BD=CD=，DBC=DCB=45，在中，则故选B4（2018江西中考真题）如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于(1,),两点，点在第四象限， 轴，. (1)求的值及点的坐标； (2)求的值.【答案】（1），；（2）2.【详解】（1）点(1，)在上，=2，(1，)，把(1，)代入 得，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于，两点， 两点关于原点中心对称， ；（2）作BHAC于H，设AC交轴于点D， ， ， 轴，轴，.知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形直角三角形五元素之间的关系：1. 勾股定理（a2+b2=c2）2. A+B=903. sin A= A所对的边斜边 = ac 4. cos A= A所邻的边斜边 = bc5. tan A= A所对的边邻边 = ab【考查题型汇总】考查题型七 解直角三角形的方法1（2018甘肃中考模拟）如图，在RtABC中，C90，点D在BC边上，ADC45，BD2，tanB.(1)求AC和AB的长；(2)求sinBAD的值【答案】（1）AC=6，AB=10；（2）sinBAD=【详解】解：（1）如图，在RtABC中，tanB，设AC3x、BC4x，BD2，DCBCBD4x2，ADC45，ACDC，即4x23x，解得：x2，则AC6、BC8，AB10；（2）作DEAB于点E，由tanB可设DE3a，则BE4a，DE2+BE2BD2，且BD2，（3a）2+（4a）222，解得：a（负值舍去），DE3a，AD6，sinBAD2（2018广水市广办中心中学中考模拟）已知RtABC中，C=90，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数【答案】(1)30;(2)60.【解析】将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，又因为a+b=2+2，构造一元二次方程得x2（2+2）x+4=0，解得x1=2，x2=2则（1）sinA=时，锐角A的度数是30，（2）sinA=时，锐角A的度数是60，所以A=30或A=60考查题型八 解斜三角形方法1（2019新疆中考模拟）如图，在ABC中，BC12，tanA，B30；求AC和AB的长【答案】8+6【详解】解：如图作CHAB于H在RtBCH中，BC12，B30，CHBC6，BH6，在RtACH中，tanA，AH8，AC10，2（2013湖南中考真题）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C=45，sinB=，AD=1（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值【答案】（1）。（2）【解析】（1）在ABC中，AD是BC边上的高，ADB=ADC=90。在ADC中，ADC=90，C=45，AD=1，DC=AD=1。在ADB中，ADB=90，sinB=，AD=1，。（2）AE是BC边上的中线，CE=BC=。DE=CECD=。3（2012上海中考模拟）已知：如图，在中，求： （1）的面积； （2）的余弦值【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）作AHBC，垂足为点H在RtABH中，AHB=90，B=60，AB=6，BH=3，AH=3，SABC=83=12，（2）BC=8，BH=3，CH=5在RtACH中，AH=3，CH=5，AC=2cosC=考查题型九 利用解直角三角形相关知识解决视角相关问题1（2019四川中考真题）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度.（结果精确到米；参考数据：，）【答案】起点拱门的高度约为米.【详解】过A作CD垂线，垂足为E，如图所示.则四边形DEAB是矩形；DE=AB=20在Rt中，EAD=45，AE=DE=20在Rt中，CE=AEtan35=14，CD=DE-CE=20-14=6答：起点拱门的高度约为6米.2（2019天津中考模拟）北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面雷达站处测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达点，测得的仰角为.(参考数据：sin42.40.67，cos42.40.74，tan42.40.905，sin45.50.71，cos45.50.70，tan45.51.02)()求发射台与雷达站之间的距离；()求这枚火箭从到的平均速度是多少(结果精确到0.01)？【答案】()发射台与雷达站之间的距离约为；()这枚火箭从到的平均速度大约是.【详解】()在中，0.74，.答：发射台与雷达站之间的距离约为.()在中，.在中，.答：这枚火箭从到的平均速度大约是.3（2019合肥市第四十二中学中考模拟）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.【详解】解：（1）过B作BGDE于G，在RtABF中，i=tanBAH=，BAH=30BH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15.在RtBGC中，CBG=45，CG=BG=5+15.在RtADE中，DAE=60，AE=15，DE=AE=15.CD=CG+GEDE=5+15+515=20102.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.4（2019辽宁中考模拟）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点B，C，E在同一水平直线上）.已知AB=80m，DE=20m，求障碍物B，C两点间的距离.（结果保留根号） 【答案】障碍物B，两点间的距离约为(60-20)m.【详解】解： 过点D作DFAB于点F，过点C作CHDF于点H ，如图则DE=BF=CH=20m，在直角三角形ADF中，AF=AB-DE=80-20=60m，ADF=45，所以DF= AF=60m，CE=20m.在直角三角形CDE中，DE=20m，DCE=30.所以BC=BE-CE=(60-20)m答：障碍物B，两点间的距离约为(60-20)m.考查题型十 利用解直角三角形相关知识解决方向角相关问题1（2019河南中考模拟）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7，测得AC=840m，BC=500m请求出点O到BC的距离参考数据：sin73.7，cos73.7，tan73.7【答案】点O到BC的距离为480m【详解】作OMBC于M，ONAC于N，则四边形ONCM为矩形，ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840x，在RtANO中，OAN=45，ON=AN=840x，则MC=ON=840x，在RtBOM中，BM=x，由题意得，840x+x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m2（2019四川中考模拟）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60，求此时轮船与小岛P的距离【答案】此时轮船与小岛P的距离是7海里【详解】过P作PDAB于点D，PBD906030且PBDPAB+APB，PAB907515PABAPB，BPAB7（海里）答：此时轮船与小岛P的距离是7海里3（2019安徽中考模拟）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60的方向，轮船从B处继续向正东方向航行20海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30的方向.(参考数据：1.732.)(1)若小岛A到这艘轮船航行路线BC的距离是AD，求AD的长；(2)已知在小岛周围17海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险?【答案】（1）AD17.32（海里）；（2）轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险【详解】（1）如图所示则有ABD30，ACD60CABABD，BCAC20 海里在 RtACD 中，设 CDx 海里，则 AC2x，ADx，在 RtABD 中，AB2AD2x， BD 3x，又BDBC+CD，3x20+x，x10ADx1017.32（海里）；（2）17.32 海里17 海里，轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险考查题型十一 利用解直角三角形相关知识解决坡角、坡度相关问题1（2015湖南中考模拟）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A15m B203m C20m D103m【答案】C【解析】试题分析：RtABC中，BC=10m，tanA=1：3，AC=BCtanA=103mAB=AC2+BC2=(103)2+102=20m故选C2（2019湖北中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形，坝高，坡角，求的长【答案】 m【详解】过A点作于点，过作于点，则四边形是矩形，有，坡角，答：的长3（2019山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为求斜坡的长（结果保留根号）【答案】斜坡的长是米【详解】，坡度为，斜坡的坡度为，即，解得，米，答：斜坡的长是米考查题型十二 利用解直角三角形相关知识解决高度问题1（2019吉林中考模拟）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）（参考数据：sin22，cos22，tan22）【答案】（1）12；（2）32米【详解】解：（1）如图，作AFBC交BC于点F，交DH于点E，由题意可得，CDEF3米，B22，ADE45，BC21米，DECF，AEDAFB90，DAE45，DAEADE，AEDE，设AFa米，则AE（a3）米，tanB，tan22，即，解得，a12，答：城门大楼的高度是12米；（2）B22，AF12米，sinB，sin22，AB12=32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米2（2015湖南中考真题）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CDAD，A=30，CBD=75，AB=60m（1）求点B到AC的距离；（2）求线段CD的长度【答案】（1）30；（2）15+153【解析】 (1)、过点B作BEAC于点E，在RtAEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60=30m，(2)、cosA=， AE=60=30m在RtCEB中，ACB=CBDA=7530=45，BE=CE=30m， AC=AE+CE=（30+30）m在RtADC中，sinA=， 则CD=（30+30）=（15+15）m3（2019浙江中考模拟）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45角（1）填空：AD_AC（填“”，“”，“=”） （2）求旗杆AB的高度（参考数据： 1.41， 1.73，结果精确到0.1m）【答案】=【解析】（1）由图形可得：AD=AC；（2）设绳子AC的长为x米；在ABC中，AB=ACsin60，过D作DFAB于F，如图：ADF=45，ADF是等腰直角三角形，AF=DF=xsin45，ABAF=BF=1.6，则xsin60xsin45=1.6，解得：x=10，AB=10sin608.7（m），答：旗杆AB的高度为8.7m4（2019天津中考模拟）如图，高楼顶部有一信号发射塔（），在矩形建筑物的两点测得该塔顶端F的仰角分别为，矩形建筑物高度为22米.求该信号发射塔顶端到地面的距离.（精确到1m）（参考数据： ）【答案】【详解】如图，作，设，则在中，在中，即，解得，。5（2019天津中考模拟）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和(结果取整数).参考数据：，.【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.【详解】如图，过点作，垂足为.由题意可知，.四边形为矩形.，.在中，.在中，.答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.6（2019四川中考真题）如图，为了测得某建筑物的高度，在C处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端A的仰角为45，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60求该建筑物的高度（结果保留根号）【答案】该建筑物的高度为米【详解】解：设米，在中，在中，则，由题意得，即，解得，答：该建筑物的高度为米7（2019湖北中考真题）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面髙度，为，试确定楼的高度【答案】32米【详解】设关于的对称点为，由光的反射定律知，延长、相交于点，连接并延长交于点，即：，答：楼的高度为32米