2022年数列练习题基础知识点 .pdf

1 数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1nnaad （d为常数） ，11naand等差中项：xAy， ，成等差数列2Axy前 n项和11122nnaann nSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa ；（2）数列12212,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS， 仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad， ，（4）若nnab，是等差数列，且前 n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn （ab，为常数，是关于 n的常数项为 0 的二次函数）nS 的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa可得nS 达到最大值时的 n值. 当100ad，由100nnaa可得nS 达到最小值时的 n值. (6)项数为偶数n2的等差数列na，有),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇. （7）项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（ q为常数，0q） ，11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或 Gxy.前 n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS， 仍为等比数列 ,公比为nq . 注意：由nS 求na 时应注意什么？1n时，11aS ；2n时，1nnnaSS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列na，12211125222nnaaan，求na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 解1n时，112 152a，114a2n时，12121111215222nnaaan得：122nna，12nna，114(1)2(2)nnnan练习数列na满足111543nnnSSaa，求na注意到11nnnaSS ，代入得14nnSS；又14S，nS是等比数列，4nnS2n时，113 4nnnnaSS（2）叠乘法如：数列na中，1131nnanaan，求na解321211 212 3nnaaanaaan ，11naan又13a，3nan. （3）等差型递推公式由110( )nnaaf naa，求na ，用迭加法2n时，21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 两边相加得1(2)(3)( )naafff n0(2)(3)( )naafff n练习数列na中，111132nnnaaan，求na（1312nna）（4）等比型递推公式1nnacad （cd、为常数，010ccd，）可转化为等比数列，设111nnnnaxc axacacx令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒数法如：11212nnnaaaa，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，11112nnaa1na为等差数列，111a，公差为12，11111122nnna，21nan( 附：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnS nna、 累加法、累乘法 . 构造等差或等比1nnapaq 或1( )nnapaf n 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：na是公差为d的等差数列，求111nkkka a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 解： 由11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa11111ndaa练习求和：111112123123n121nnaSn ，（2）错位相减法若na为等差数列，nb为等比数列，求数列nna b （差比数列）前 n项和， 可由nnSqS ，求nS ，其中 q为nb的公比 . 如：2311234nnSxxxnx23412341nnnx Sxxxxnxnx2111nnnx Sxxxnx1x时，2111nnnxnxSxx，1x时，11232nn nSn（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121nnnnnnSaaaaSaaaa相加12112nnnnSaaaaaa练习已知22( )1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)234fffffff由2222222111( )111111xxxf xfxxxxx原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff二、等差等比数列复习题一、选择题1 、 如 果 一 个 数 列 既 是 等 差 数 列 ， 又 是 等 比 数 列 ， 则 此 数 列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在2.、 在 等 差 数 列na中 ，41a, 且1a ,5a ,13a成 等 比 数 列 ， 则na的 通 项 公 式 为（）（A）13nan（B）3nan（C）13nan或4na（D）3nan或4na3、已知cba,成等比数列，且yx,分别为 a 与b、b与 c 的等差中项，则ycxa的值为（）（A）21（B）2（C）2（D） 不确定4、互不相等的三个正数cba,成等差数列， x是 a,b 的等比中项，y是 b,c 的等比中项，那么2x，2b，2y 三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5 、 已 知 数 列na的 前 n 项 和 为nS,nnSn24212, 则 此 数 列 的 通 项 公 式 为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 （A）22nan（B）28nan（C）12nna（D）nnan26、已知)(4)(2zyyxxz，则（ ）（A）zyx,成等差数列（B）zyx,成等比数列（C）zyx1,1,1成等差数列（D）zyx1,1,1成等比数列7、数列na的前 n 项和1nnaS，则关于数列na的下列说法中，正确的个数有（）一定是等比数列，但不可能是等差数列一定是等差数列，但不可能是等比数列可能是等比数列，也可能是等差数列可能既不是等差数列，又不是等比数列可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 8、数列1,1617,815 ,413 ,21,前n项和为（）（A）1212nn（B）212112nn（C）1212nnn（D）212112nnn9、若两个等差数列na、nb的前 n项和分别为nA、nB ，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（）（A）97（B）78（C）2019（D）8710 、 已 知 数 列na的 前 n 项 和 为252nnSn, 则 数 列na的 前10 项 和 为（）（A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列na的通项公式5nan为, 从na中依次取出第 3，9，27，3n, 项，按原 来 的 顺 序 排 成 一 个 新 的 数 列 ， 则 此 数 列 的 前n项 和 为（）（A）2)133(nn（B）53n（C）23103nn（D）231031nn二、填空题13、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比q= 14、已知等差数列na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa= 15、已知数列na满足nnaS411,则na = 16、在 2 和 30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题17、已知数列na是公差d不为零的等差数列，数列nba是公比为q的等比数列，46,10, 1321bbb，求公比q及nb 。18 、 已 知 等 差 数 列na的 公 差 与 等 比 数 列nb的 公 比 相 等 ， 且 都 等 于d)1,0(dd,11ba，333ba,555ba,求nnba ,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 20、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。21、数列na的前n项和记为11,1,211nnnS aaSn（）求na的通项公式；（）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT ，且315T，又112233,ab ab ab 成等比数列，求nT22、已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足121114.4.4(1) ()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；第九单元数列综合题一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCAAACADDDD二、 填空题13. 25114. 292615. n)31(3416. 63三、解答题17.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. q=4 又由 abn是an中的第 bna 项，及 abn=ab1 4n-1=3d 4n-1,a1+(bn-1)d=3d 4n-1 bn=34n-1-2 18. a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2da5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d, 得243151dd=2 ， d2=1或d2=51, 由 题 意 ， d=55,a1=-5。 an=a1+(n-1)d=55(n-6) bn=a1dn-1=-5 (55)n-1 19.设这四个数为aaqaqaqa2,则36)3(216aaqaqaaqaqa由，得 a3=216,a=6 代入，得3aq=36,q=2 这四个数为3，6，12，18 20.解: 设等比数列 an的公比为 q, 则 q 0, a2=a3q= 2q, a4=a3q=2q所以2q+ 2q=203, 解得 q1=13, q2= 3, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 当 q1=13, a1=18.所以an=18 (13)n1=183n1= 2 33n. 当 q=3 时, a1= 29, 所以 an=29 3n1=2 3n3. 21.解： (I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaa aan又21213aS213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列13nna（）设nb的公差为d由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd等差数列nb的各项为正，0d2d213222nn nTnnn22（ I） ：*121 () ,nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项， 2为公比的等比数列。12 .nna即2*21().nanN（II）证法一：1211144.4(1) .nnbbbbna12(.)42.nnbbbnnb122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb nNnb是等差数列。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -