2022年特征方程解数列递推关系汇编 .pdf
- 1 - 用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2aAn+1 bAn特征方程为 X2 =aX+b 解得两根 X1 X2(1) 若 X1X2 则An=pX1n+qX2n (2) 若 X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn (其中 p.q 为待定系数，由A1.A2联立方程求得 ) (3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为An+1dcAbaAnn特征方程为X=dcbaXX解得两根 X1 X2(1) 若 X1X2 则计算2111xAxAnn=21xdcAbaAxdcAbaAnnnn=k21xAxAnn接着做代换Bn=21xAxAnn即成等比数列（2）若 X1=X2=X 则计算xAn11=xdcAbaAnn1=k+xAn1接着做代换Bn=xAn1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三递推公式为An+1dcAbaAnn2特征方程为X=dcbaxX2解得两根 X1 X2 。然后参照类型二的方法进行整理类型四k 阶常系数齐次线性递归式An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+ckAn 特征方程为Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+ck (1) 若 X1X2Xk 则An=Xkn11+Xkn22+Xkknk(2) 若所有特征根X1,X2, ,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根 , 有t1+t2+ts=k则An=XnQn)(11+XnQn)(22+XnQsns)(，其中)(nQi=B1+nB2+nBtiti 1（B1,B2，Bti为待定系数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2 - 二.特征方程的推导及应用类型一、递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为非零常数）。先 把 原 递 推 公 式 转 化 为)(112112nnnnaxaxaxa， 其 中21,xx满 足qxxpxx2121，显然21,xx是方程02qpxx的两个非零根。1）如果0112axa，则0112nnaxa，na成等比，很容易求通项公式。2）如果0112axa，则112nnaxa成等比。公比为2x，所以1211211)(nnnxaxaaxa，转化成：)(1122221121axaxaxxxannnn，( I )又如果xxx21，则121nnxa等差，公差为)(112axa，所以)(1(11122121axanaxann，即：1211221)(1(nnxaxanaa12211222)()2(nnxxaxanxaa可以整理成通式：nnxBnAa)( Ii)如果21xx，则令1121nnnbxa，Axx21，Baxa)(112, 就有BAbbnn 1，利用待定系数法可以求出nb的通项公式21211212121221)()()1(xxxaxaxxxxxxabnn所以2221211212121221)()()1 (nnnxxxxaxaxxxxxxaa，化简整理得：1221211112121)1(nnnxxxaxaxxxxaa，可以整理成通式BxAxnnna21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3 - 小结特征根法：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，为特征方程。若21, xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa， 其中 A ， B由21,aa决定（即把2121,xxaa和2, 1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为12)(nnxBnAa， 其中 A， B由21,aa决定 （即把2121,xxaa和2, 1n，代入12)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。简例应用（特征根法） ：例 1：数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,解：特征方程是：02532xx32, 121xx, 1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)(323nnbaaba例 2：设 p、 q 为实数，、是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5 ) 求数列 xn的通项公式。解： 显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5 ) 的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：当 =时，设1)(nnBnAx，因为x1=p,x2=p2-q，所以qpBApBA2)2(解得pqPBqPPA222nx222)(2nnpqpqpp当时，设11nnnBAx，因为x1=p,x2=p2-q ，所以qpBApBA2解得qppA2，qppB2nx12nqpp+12nqpp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4 - 类型二、递推公式为hraqpaannn 1解法：如果数列na满足：已知1a，且对于Nn，都有hraqpaannn 1（其中p、q、r、h均为常数， 且rharqrph1, 0,） ，那么， 可作特征方程hrxqpxx, 当特征方程有且仅有一根0 x时 ,如果01xa则0 xan；如果01xa则01nax是等差数列。当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nnaxax是等比数列。 （证明方法如同类型一，从略）例 1：已知数列na满足：对于,324,N1nnnaaan且,31a求na的通项公式 . 解: 数列na的特征方程为,324xxx变形得,04222xx其根为.2, 121故特征方程有两个相异的根，则有.N,)221211(2313)(11212111nrprpaacnnn.N,)51(521ncnn.N,1)51(521)51(52211112nccannnnn即.N,) 5(24) 5(nannn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5 - 例 2：已知数列na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列na不存在？解：作特征方程.32513xxx变形得, 025102xx特征方程有两个相同的特征根.5(1) ., 511aa对于,Nn都有;5na(2) ., 311aarprnabn)1(1151131)1(531n,8121n令0nb，得5n. 故数列na从第 5 项开始都不存在，当n4，Nn时，51751nnbann. (3) ,5,61a.1a.,811)1(11Nnnrprnabn令,0nb则.7nn对于.0bN,nn.N,7435581111nnnnbann(4) 、显然当31a时，数列从第2 项开始便不存在. 由第（ 1）小题的解答知，51a时，na是存在的， 当51a时，有.N,8151) 1(111nnarprnabn令, 0nb则得N,11351nnna且n2. 当11351nna（其中Nn且 N 2）时，数列na从第n项开始便不存在。于是知：当1a在集合3或,:1135Nnnn且n2 上取值时，无穷数列na都不存在。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 6 - 例 3:数列).1(0521681111naaaaaannnnn且满足记).1(211nabnn求数列nb的通项公式及数列nnba的前 n 项和.nS解：由已知 , 得nnnaaa816521, 其特征方程为xxx81652解之得 ,211x或452xnnnaaa816)21(6211,nnnaaa816)45(12451452121452111nnnnaaaa, nnnnaaaa24)21(45214521111?42521nnna)1(34231nbnn, 121211nnnnnbbaab得由nnnbababaS2211故121()2nbbbnL1(1 2 )53123nn1(251)3nn例 4：各项均为正数的数列na中都有的正整数且对满足qpnmqpnmbbaa,11)1)(1(mnmnaaaa)1)(1(qpqpaaaa， 当时，求通项54,21bana解：由)1)(1 (mnmnaaaa)1)(1(qpqpaaaa得)1)(1(11aaaann)1)(1(2121aaaann化间得21211nnnaaa，作特征方程212xxx，11x，12x。所以11311111nnnnaaaannnaa31111313nnna名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
