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特殊函数 - 特殊函数编辑本段回目录特殊函数 - 正文一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为 初等函数 的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的。它种类繁多，而且不断有新的出现。常见的有： 函数、 B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式，等等，通常也列入特殊函数的内容中。特殊函数在物理学，工程技术，计算方法等方面有广泛的应用。研究特殊函数常用的工具是解析函数理论，如围道积分、幂级数展开等等。 L. 欧拉、 P.-S. 拉普拉斯、 J.-B.-J.傅里叶等人，都在这方面做过奠基工作。函数阶乘n! 仅对正整数n及 0 有意义，扩大到任意复数，定义阶乘函数为与阶乘函数密切联系的是函数，它的定义是：当z不为零及负整数时，(z) 是亚纯函数，以0,-1,-2,为其单极点。(z) 满足两个等式：当不为零及负整数时，特殊情形有n!=(1)n=(n+1)。当 Re(z)0 时，当 arg z - ( 0) ，z时，在这公式中置z=n+1，就可得到斯特林公式函数是数学中常用的函数之一，许多重要级数的系数，常常用函数表出。B函数B函数可以用 函数来定义：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 当 Re(p)0,Re(q)0 时，B函数可以用来计算一些定积分的值。例如,当 Re(m)0，Re(n)0 时，超几何函数设,b) ，为常数且 不为零及负整数，通常把幂级数叫做超几何级数。当=b)= =1 时，它就是几何级数。当或b) 为零或负整数时，它简化成多项式。如果,b) 均不为零及负整数, 则它是无穷幂级数, 其收敛半径为1, 因而在 |z|Re(b)0 ，|z|1 时，F( ，b) ；z) 设j(j=1,2, ,p), k(k=1,2, ,q) 均为常数，且后者不为零及负整数，并设pq+1。幂级数及从它所产生的完全解析函数均可记作它是微分方程的一个解。当p=2，q=1 时，它就是超几何函数，其余情形叫做广义超几何函数。当p=q=1 时, 叫做合流超几何函数。一函数F(z,t) ，如果通过形式运算（即不管这种运算是否合理）能够展成t的幂级数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 不论这个级数是否收敛, 只要?n(z) 有意义，就称F(z,t) 为?n(z) 的母函数。广义超几何函数及超几何函数可以用来表示多种初等函数、高级超越函数以及它们之中的一些母函数，因而有广泛应用。勒让德函数勒让德微分方程的两个独立解及 (n负整数或负奇数的一半) ，分别叫做第一类及第二类勒让德函数，并记作 Pn(z) ，Qn(z) 。当n为正整数或零时， Pn(z) 为n次多项式 , 叫做勒让德多项式；而且当n为负整数 (n-m-1) 时，勒让德微分方程的两个独立解为Pm(z),Qm(z) 。当n为负奇数的一半时，与勒让德函数有密切联系的是连带勒让德函数。当m ，n均为整数且0m n时，第一类、第二类连带勒让德函数分别为及这里z属于在实轴的闭区间【-1,1 】上有割线的z面。它们是连带勒让德微分方程的两个独立解。当-1x-1, 则J(z) 的零点均为实数,且有无穷个正零点及负零点，其阶均为 1。若以j1,j2,j3, 表示J(z) 的正零点按上升顺序的排列, 则当v固定时， J(jnx) 是在 (0,1) 上以x为权函数的正交系。勒让德多项式 Pn(x) 在 18 世纪后期勒让德研究球体引力及行星绕日运动问题，从母函数出发，引进了勒让德多项式。它的常用定义是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 一个多项式如果能够用一个函数的n阶导数乘上适当的因子表示出来，这种表达式通常叫做这个多项式的罗德里格斯公式。Pn(x) 的罗德里格斯公式是勒让德多项式具有多种积分表示，常用的拉普拉斯第一积分表示为Pn(x) 具有递推公式Pn(x) 是在区间 (-1,1)中以 1 为权函数的正交多项式。设i , 0。当固定，n时，这里O中常数可取为, 其中A1,A2为绝对常数。当0时，Pn(x) 有n个单零点， 在实轴的开区间 (-1,1)中。利用这些零点以及在这些零点处P (x) 的值 , 可以构造一种精确度很高的求定积分近似值公式。1980 年前后，有几位数学工作者，利用勒让德多项式，讨论一些数的无理性，扩大了这个古老多项式新的应用，引起人们的重视。雅可比多项式P(x) 定义罗德里格斯公式母函数微分方程递推公式正交性条件 -1 ，-1；区间 (-1 ，1)；权函数 (1-x)(1+x) 。特殊情形格根堡多项式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 勒让德多项式。切比雪夫多项式。格根堡多项式C(x) 定义罗德里格斯公式母函数微分方程递推公式正交性条件; 区间 (-1,1);权函数。切比雪夫多项式Tn(x) 定义。罗德里格斯公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 母函数微分方程递推公式，正交性区间 (-1,1)，权函数。切比雪夫多项式在函数逼近及计算数学中用到。埃尔米特多项式 Hn(x) 定义罗德里格斯公式母函数微分方程递推公式正交性区间 ( ,) ；权函数。拉盖尔多项式 L(x) 定义罗德里格斯公式母函数微分方程递推公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 正交性条件 -1；区间 (0, ) ；权函数xe-x。以上所列举的正交多项式都是经典的。在 20 世纪也引进了许多新的正交多项式，最引人注意的是与贝塞尔函数密切联系的贝塞尔多项式，其定义为它在证明 er的无理性时用到，这里r为有理数。参考书目王竹溪、郭敦仁著：特殊函数概论，科学出版社，北京，1965。小谷正雄、桥本英典著, 钱瑞壮译：特殊函数, 上海科学技术出版社，上海，1962。（小谷正雄、桥本英典著：特殊函数，岩波，東京，1958。）莫叶：关于Legendre 多项式，数学进展，Vol.12,No.4,1983。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -