2022年高中数学必修4教案-相等向量与共线向量 .pdf

相等向量与共线向量教学目标：掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：(一)、复习1、数量与向量有何区别？数量没有方向而向量有方向2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二)、新课学习1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页说明： 1向量与相等，记作；2零向量与零向量相等；3任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上与有向线段的起点无关 .说明： 1平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；2共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.四、理解和稳固：例 1如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量 .变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？11 个变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？存在变式三：与向量共线的向量有哪些？FEDOCB,例 2 判断：1不相等的向量是否一定不平行？不一定2与零向量相等的向量必定是什么向量？零向量3两个非零向量相等的当且仅当什么？长度相等且方向相同4共线向量一定在同一直线上吗？不一定例 3 以下命题正确的选项是A.与共线，与共线，则与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.课堂练习：1判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由.向量AB与CD是共线向量，则A、 B、C、D 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当ABDC一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，假设起点不同，则终点一定不同.解：不正确 .共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的 . 、正确 .AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同 .2书本 77 页练习 4 题三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、共线向量与平行向量关系、相等向量。四、课后作业：习案作业十八。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：1某人从A 到 B，再从 B 按原方向到C， 则两次的位移和：ACBCAB2假设上题改为从A 到 B，再从 B 按反方向到C， 则两次的位移和：ACBCAB3某车从A 到 B，再从 B 改变方向到C， 则两次的位移和：ACBCAB4船速为AB，水速为BC，则两速度和：ACBCAB二、探索研究：A B CC A BA BCA BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则 “首尾相接，首尾连” 如图，已知向量aA，作ABa，BC，则向量AC叫做 a与的和，记作a，即aACBCAB，规定：a + 0-= 0 + a探究： 1两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量；2当向量a与b不共线时，|a+b|a|+|b|；什么时候 |a+b|=|a|+|b|，什么时候 |a+b|=|a|b|，当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|b|，则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|；假设 |a|b|，则a+b的方向与b相同，且 |a+b|=|b|-|a|.3 “向量平移” 自由向量 ：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到naABCa+ba+baabbaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页OABaaabbb个向量连加例一、已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面内取一点， 作aOAbAB， 则baOB.加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？验证结果相同从而得到：向量加法的平行四边形法则对于两个向量共线不适应向量加法的交换律：a+b=b+a你能证明：向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 吗？6由以上证明你能得到什么结论？多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 .三、应用举例：例二 P83 84略变式 1、一艘船从 A 点出发以hkm/32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为hkm/4，求水流的速度.变式 2、一艘船从A 点出发以1v的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v，船的实际航行的速度的大小为hkm/4，方向与水流间的夹角是60，求1v和2v.练习： P84 面 1、2、3、4 题四、小结1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、|a+b| |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号 .五、课后作业： 习案作业十八。六、备用习题思考： 你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页吗？教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想 .教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向确实定.教学思路：复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，ADBACB. 解：CDADCAADBACB提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法1 “相反向量”的定义：与a a2 规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0如果 a、b 互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0 3 向量减法的定义：向量a加上的 b 相反向量，叫做a与 b 的差 .即： a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：假设 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作a b求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O，OabBaba b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页作OA= a，AB= b 则BA= a b即 a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量 .注意： 1AB表示 a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b)探究：如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.假设ab， 如何作出a b？例题：例一、 P86 例三已知向量a、b、c、d，求作向量a b、c d.解：在平面上取一点O，作OA= a，OB= b，OC= c，OD= d，作BA，DC，则BA= a b，DC= c dOABaBbbbBa+ ( b)abbadcABDa bAABBBOa baabbOAOBa ba bBAOb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页例二、平行四边形ABCD中，ABa，ADb， 用 a、b 表示向量AC、DB.解：由平行四边形法则得：AC= a + b，DB= ADAB= a b变式一：当a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？ |a| = |b|变式二：当a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？ a， b 互相垂直变式三： a+b 与 a b可能是相等向量吗？不可能，对角线方向不同练习： 1。 87 面 1、2 题2在 ABC 中，BC=a，CA=b，则AB等于 ( B )A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a四：小结：向量减法的定义、作图法|五：作业：习案作业十九A B D C.3ODcbacbaCBAABCDO表示、试用向量，、的向量分别为、的三个顶点到平行四边形已知一点如图，例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页