2022年高中数学竞赛专题讲座---几个重要不等式及其应用 2.pdf

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。1、算术 -几何平均值（AM-GM ）不等式设12,na aa是非负实数，则1212.nnnaaaa aan2、柯西（ Cauchy ）不等式设,(1,2,)iia bR in， 则222111.nnniiiiiiiabab等 号 成 立 当 且 仅 当 存 在R， 使,1, 2, .iiba in变形（）：设RbRaii,，则niiniiniiibaba12112；等号成立当且仅当存在R，使,1,2, .iiba in变形（）设iiba ,同号，且0,iiba，则niiiniiniiibaaba1211。等号成立当且仅当nbbb213排序不等式设nnnjjjbbbaaa,212121是n,2 ,1的一个排列，则nnjjjnnnbababababababababan2211321112121. 等号成立当且仅当naaa21或nbbb21。 （用调整法证明）. 4琴生（ Jensen ）不等式若xf是区间ba,上的凸函数，则对任意的点baxxxn,21*()nN有12121().nnxxxffxfxfxnn等号当且仅当nxxx21时取得。（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。1. 幂均值不等式设0，),2, 1(niRai，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页MnaaanaaaMnn121121。证： 作变量代换，令iixa，则1iixa，则nxxxxxxnMMnn212110，1，又函数) 1()(pxxfp是, 0上的凸函数，由Jensen 不等式知式成立。2.（切比雪夫不等式）设两个实数组nnbbbaaa2121,，则nnniiniinnnbababannbnabababan221111112111等号成立当且仅当naaa21或nbbb21。证： 由排序不等式有：nnnnnnnbababababababababa221122111121，nnnnnnbababababababababa2211132211121，nnnnnnnnbababababababababa221111211121以上 n 个等式相加即得。3. 一个基础关系式yxyx)1 (1，其中 1 ,0,0, yx证： 若 x,y 中有一个为0，则显然成立。设 x,y 均不为零，则原不等式1yxyx，令tyx，则上式)1(tt，记tttf)1 ()(，则1)(ttf，因此，当1t时，0)(tf，当10t时，0)(tf，且0)1(f，所以)(tf得极小值为0) 1(f,故0)1 (tt，即yxyx)1(1. 4. Holder不等式设1,), 2, 1(0,qpnkbakk且111qp，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页qnkqkpnkpknkkkbaba11111等号成立当且仅当存在Rt使得),2, 1(nktbaqkpk。证: 在上面基础关系式中，取,1qkpkByAxp有qkpkkkBqApBA11 式两边对 k 求和，得：nkqknkpknkkkBqApBA11111,令qnkqkkkpnkpkkkbbBaaA1111, 代入上式即证。5. 一个有用的结论设Rbaii,，则ninininininiibaba111111)(，推广得设), 2, 1, 2, 1( ,njniRaij，则njnniijninnjijaa111111)()(. 证： 原不等式1)(11121nnjniiniiijaaaa, 而)(1)(1211121niiniiijnniiniiijaaaanaaaanjniiniiijnnjniiniiijaaaanaaaa112111121)(1)(1111)(111121nnnaaaannininjiniiij,它可把含根式的积性不等式化为和式。三、如何运用几个重要不等式例 1 设Rcba,且1abc，求证：333222cbacba。证： 由柯西不等式有2222333)()(cbacbacba而)(111 ()(3222222222cbacba2)(cba33)(abccba)(3cba，即cbacba222由有：)(333cbacba)(222cbacba,333222cbacba方法二：由幂均值不等式有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页23222333)3(3cbacba)3(3222cba21222)3(cba22221322222233)(cbacbacba。方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM 不等式有：不妨设cba，则3)(222333cbacbacba222322233)(cbaabccba例 2 设1),2, 1( ,01niiixnix，求证：1111nxxxniiniii证： 左边 =niiniininiiixxnxx11211111112112111212112)1() 1()1() 1(niininiinixxn11)11(1) 1() 1(1222nxnxnnnnnnnniii。评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。例 3设1,abcdRdcba，求证：2)1(1ba证： 设),( ,Rwzyxxwdwzczybyxa，则原不等式21112)(2) 1(1zyxzyxyzzyyx，由 Cauchy 不等式有：212121212121)11(1)1(11122xyxyxyxyxyxzyxxzyx，故原不等式成立。评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页例 4 设 n 是正整数，且nkak, 2, 1, 0，11nkka，求证：nnkknan)22()12(1证： 原不等式22)12(11nannknk，由 “ 二，结论5” 有nknknnknkannnnan11111)11212()12(个nnnnnnnaaanaaannnn21212121)12()12(，又nnniiaaana211，nanaaaniinn1211，故nnnkknnnan)22()2()12(1。评注：本例第一步放缩也可用Holder 不等式的推广。例 5设,.,21aa是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i存在一个实数c，使得cai0且jiaaji1对所有正整数)(,jiji成立，证明：.1c证： 对于2n， 设( 1 ) , ( 2 ) , . . . , ()n为n,.2, 1的一个排列且满足：(1)(2)( )0.naaac. ( )(1)( )(1)()nnncaaaa(1)(2)()nnaa(2)(1).()aa1( )(1)nn1(1)(2)nn1.(2)(1)21(1)2( )(1)( )ninin（柯西不等式）2(1)(1)(1)( )ncn nn22(1)3nnn34131nnn.故.1c评注：这里把ia有序化后，的变形是关键。例 6 设 a, b, c 为正实数，求证a2b+ b2c+ c2a a + b + c + 4 ab2a + b + c，并确定等号成立的条件证： 由于a2b+ b2c+ c2a abc = a2b+ b2a + b2c+ c2b + c2a+ a2c= 1bab2 + 1cbc2 + 1ac a2 而由 Cauchy 不等式有 1bab2 + 1cb c2 + 1aca2 b + c + a |ab| + | bc| + | ca| 2 且由|ab| + |bc| + | ca| |ab| + | bc + ca | = 2|ab| 知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页|ab| + | bc| + | ca| 2 4ab2 结合可得a2b+ b2c+ c2a abc 1a + b + c|ab| + | bc| + | ca| 2 4 ab2a + b + c 由便知题目中的不等式成立若题中不等式取等号，即取等号故不等式与皆取等号由式取等号知，存在k 0 ，使得1ba b2 = bk, 1cbc2 = ck, 1aca2 = ak，即 ab2 = b2k, bc2 = c2k, ca2 = a2k 由式取等号知bc 与 ca 同号，从而三个数b c, c a, ba 同号，结合知存在实数l，使得ba = bl, bc = cl, ca = al 由知l = 1ab= bc1 = ca1 由可得bc= ca，记bc= ca= x，则 c = ax , b = ax2，再由式中1ab= bc1 得11x2= x1 即 x32x2 + 1 = 0 故 x1x2x1 = 0结合 x 0 可解得x = 1 或 x = 121 + 5 故 a : b : c = 1 : x2 : x = 1 : 1 : 1 或 1: 123 + 5 : 121 + 5 又当 a, b, c 满足条件时， 容易难题目中不等式确实取等号故即为题中不等式取等号的充要条件评注：式的变形非常漂亮，是解题的关键所在。例 7 在ABC中，求证：BAA222coscos4cos证： 在ABC中，令222acb，222bca，222cba，则原不等式)()(4)(2222， 由 AM-GM 不等式有：)()()(4222)(2，即证。评注：在ABC中令,zyazxbxyc则有以下结论：)(zyxxyzSABC，外接圆半径xxyzyxR4)(，内切圆半径xxyzr，)(2sinzxyxxxyzA，)(coszxyxyzxxA。例 8 设正数 a、b、 c、x、y、z 满足.;caybxbcxazabzcy求函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页zzyyxxzyxf111),(222的最小值 . 解： 由已知条件三式解出abcbazacbcaybcacbx222222222222令222acb，222bca，222cba。从而可知)(x，)(y，)(z（易知R、）)(1)(122xx=)()(2从而),(zyxf)()(2)()()(2（柯西不等式） 。 下证.21),(zyxf只需证)()()(221)(34222)(2 （*）利用均值不等式知：222)(，从而（ *）式成立，故知.21),(zyxf而当21zyx，即cba时，21321141),(zyxf. 从而),(zyxf的最小值是21. 评注：这是2005 年的联赛试题，巧妙地代数换元后，避免了三角变形的麻烦。例9设 a1, a2, , an为大于等于1 的实数， n 1 ，A = 1 + a1 + a2+ + an定义 x0 = 1, xk = 11 + akxk11 k n 证明： x1 + x2+ + xn n2An2 + A2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页证： 设 yk = 1xk，则1yk= 11 + akyk1yk = 1 + akyk1由 yk1 1, ak 1可得1yk11ak1 0 * 1 + akyk1 ak + 1yk1所以yk = 1 + akyk1 ak + 1yk1故k = 1nyk k = 1nak + k = 1n1yk1= k = 1nak + 1y0+ k = 1n1yk= A + k = 1n11yk 0 ，有n2t 0t A + A2 + 4 n2 2= 2n2A + A2 + 4 n2 2n2A + A + 2n2A= n2An2 + A2评注：本题巧妙地运用函数方法，* 式值得注意，是一种常见的放缩手段例 10设 ai 0 i = 1, 2, , n ，i = 1nai = 1，kN + 求证a1k + 1a1ka2k + 1a2k ank + 1ank nk + 1nkn证： 首先证明函数f x = lnxk + 1xk在区间0, 1 上是下凸函数事实上，由于fx = 1xk + 1xkkxk1kxk1 = kx2k 1x2k + 1 + x, fx = k1x2k + 1 + x2 2k x2k1x2k + 1 + x x2k12k + 1 x2k + 1 = kx2k + 1 + x22kx4k + 2 kx2k2k + 1 x4k2kx2k1= kx2k + 1 + 22x4k + 4kx2k + 1 当 0 2k2 + 4 k2 + 1 0 故由知fx 0 x0, 1 故f x 在 0, 1 上为下凸函数。由于 ai 0, a1 + a2+ + an = 1 i = 1, 2, , n ，故 ai0, 1 从而由Jensen 不等式有1nf a1 + f a2+ + f an f1na1 + a2+ + an = f1n，即 f a1 + f a2+ + f an n f1n故 lna1k + 1a1k + lna2k + 1a2k+ + lnank + 1ank n ln1nk + 11nk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页即 lna1k + 1a1ka2k + 1a2k ank + 1ank ln1nk+ nkn从而a1k + 1a1ka2k + 1a2k ank + 1ank 1nk+ nkn证毕另证：由H?lder 不等式得i = 1naik + 1aik i = 1naikn + 1i = 1naiknn又i = 1nai i = 1nainn = 1nn 1，且f x = x + 1x在 0, 1 上单减i = 1naikn + 1i = 1naiknn 1nnkn + 11nnknn = 1nk+ nkn，得证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页