2022年高中新课标数学基础知识汇总 .pdf

高中新课标数学基础知识汇总第一部分集合1 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？；2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3 （1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为21n；非空真子集的数为22n；（2）;BBAABABA注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况；（3）,;,aAaABABA；第二部分函数与导数1映射：非空数集A到非空数集B的一个对应；注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数的三要素：解析式、定义域、值域；函数解析式的求法:待定系数法、换元法、代入法求表达式；函数定义域的求法：求函数解析式有意义时自变量的取值范围。（1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数的真数大于零；（4）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；（5）正切函数的定义域不等于2kkZ，函数值域的求法（最值）：分析法；配方法；利用函数单调性（导数法）；基本函数的值域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页利用均值不等式2abab；利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；3复合函数的有关问题复合函数单调性的判定：首先将原函数)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数)(ufy的定义域是内函数)(xgu的值域。4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ；)(xf是奇函数()()( )()( )01 ( )0)( )fxfxf xfxf xf xf x；)(xf是偶函数()()( )()( )01( )( ( )0)fxfxf xfxf xf xf x；奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(f；在关于原点对称的单调区间内：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性；6函数的单调性单调性的定义：)(xf在区间M上是增（减）函数,21Mxx当21xx时)0(0)()(21xfxf)0(0)()()(2121xfxfxx)0(0)()(2121xxxfxf；判定函数单调性的定义法：注意：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页(1)周期性的定义： 对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期sin:2yx T；2:cosTxy；Txy:tan；|2:)cos(),sin(TxAyxAy；|:tanTxy；函数周期的判定：定义法（试值）图像法公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论：)()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2；)(xfy的图象关于点)0,(),0 ,(ba中心对称)(xf周期2Tab；)(xfy的图象关于直线bxax,轴对称)(xf周期为2Tab；)(xfy的图象关于点)0 ,(a中心对称，直线bx轴对称)(xf周期4Tab；8基本初等函数幂函数：xy（)R；指数函数：) 1, 0(aaayx；对数函数 :) 1, 0(logaaxya；正弦函数:xysin；余弦函数：xycos； （6）正切函数：xytan；二次函数：2( )(0)f xaxbxc a；其它常用函数：正比例函数：)0(kkxy；反比例函数：)0(kxky；特别的xy1，函数(0)ayxax；9二次函数：解析式：一般式：cbxaxxf2)(；顶点式：khxaxf2)()(，),(kh为顶点；零点式：)()(21xxxxaxf。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。三个“二次”之间的关系：利用图像记住不等的解集；利用二次函数解决方程根的分布：10函数图象 图象作法：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换： )()(axfyxfy，)0(a左“+”右“-”；)0(,)()(kkxfyxfy上“+”下“-”；伸缩变换：)()(xfyxfy， （)0纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1倍；)()(xAfyxfy， （)0A横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；对称变换： )(xfy(0,0)(xfy；)(xfy0y)(xfy；)(xfy0 x)(xfy； )(xfyy x)(1xfy；翻转变换： |)(|)(xfyxfy右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉） ；|)(|)(xfyxfy上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象） ；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数)(xfy图像的对称性， 即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然；注：曲线:( ,)0C F x y关于点( , )a b的对称曲线:(2,2)0CFaxby；曲线:( ,)0CF x y关于直线xa的对称曲线:(2,)0CFax y；曲线:( ,)0CF x y关于直线yxa的对称曲线:(,)0CF ya xa曲线:( ,)0CF x y关于yxa的对称曲线:(,)0CFyaxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页12函数零点的求法：直接法（求0)(xf的根） ；图象法；二分法.13导数导数定义：( )f x在点0 x处的导数记作0000()()()limxf xxf xfxx；常见函数的导数公式: C0；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln；导数的四则运算法则：2();();()uu vuvuvuvuvu vuvvv；复合函数的导数：xuxyyu；导数的应用：利用导数求切线方程：000()()()yf xfxxx利用导数判断函数单调性：)(0)(xfxf是增函数； )(0)(xfxf为减函数； )(0)(xfxf为常数；利用导数求极值：求导数)(xf； 求方程0)(xf的根； 列表得极值；注：判断极值应对极值的两端导数符号进行判断；利用导数最大值与最小值：求的极值； 求区间端点值（如果有）；得最值注：在应用题中，开区间内的唯一极值为所求的最值；14定积分定积分的定义：)(lim)(1inibanfnabdxxf定积分的性质：babadxxfkdxxkf)()(（k常数） ；bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121；bcbacadxxfdxxfdxxf)()()(（其中)bca。微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：babaaFbFxFdxxf)()(|)()(定积分的应用：求曲边梯形的面积：dxxgxfSba|)()(|；求变速直线运动的路程：badttvS)(；求变力做功：( )baWF s ds精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页第三部分立体几何1三视图与直观图：掌握利用三试图求解组合体的表面积与体积；2表（侧）面积与体积公式：圆柱：表面积：2()Sr lr全；侧面积：2Srl；体积：VSh；圆锥：表面积：()Sr lr全；侧面积：Srl；体积：13VSh：圆台：表面积：22()Srrlrlr全；侧面积：()Srr l；体积：1()3VSSSS h） ；球体：表面积：24SR；体积：343VR。3位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行。平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法；4.求角：（步骤 - 。找出角或作角；。求角）异面直线所成角的求法：几何法：平移直线，构造三角形；(0 ,2向量法，转化为两直线方向向量的夹角：coscos,a b直线与平面所成的角：几何法：求解直线与其射影所成的角；0,2向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角：sincos,a n（n为平面的法向量）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页二面角的求法：定义法：在二面角的棱上任取一点（特殊点），作出平面角，再求解；三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；向量法，转化为两个半平面法向量的夹角：12coscos,nn（或12coscos,nn）5.求点到平面的距离：找或作垂线段，求距离；等体积法；向量法：|nnABd6结论：（） 长方体的体对角线的平方等于过同一顶点的三条棱的平方和；2222dabc（） 正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：高：ah36；对棱间距离：a22；相邻两面所成角余弦值：31；内切球半径：a126；外接球半径：a46；第四部分直线与圆1直线方程 点斜式：)(xxkyy；斜截式：bkxy；截距式：1byax；两点式：121121xxxxyyyy；一般式：0CByAx， （,AB不全为）。 （直线的方向向量： （), AB，法向量（),BA2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件； （2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注222111:bxkylbxkyl1212,kk bb121kk21,ll有斜率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl,1221BABA且1221CBCB（验证）02121BBAA不可写成分式4直线系直线方程bkxy0CByAx平行直线系mkxy0mByAx垂直直线系mxky10mAyBx相交直线系0)(222111CyBxACyBxA5几个公式设112233(,) ,(,) ,(,)A xyB xyC xy，ABC的重心坐标：123123(,)33xxxyyy；点00(,)P xy到直线0CByAx的距离：0022AxByCdAB；两条平行线10AxByC与20AxByC的距离是1222CCdAB；6圆的方程：标准方程：222)()(rbyax；222ryx。一般方程：022FEyDxyx（2240DEF） ；注：220AxBxyCyDxEyF表示圆0AC且0B且2240DEF；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法8圆系： 过两圆的交点：)1( , 0)(2222211122FyExDyxFyExDyx；注：当1时表示两圆相交的公共弦。9点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页点与圆的位置关系： （d表示点到圆心的距离）Rd点在圆上；Rd点在圆内；Rd点在圆外。直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）Rd相切；Rd相交；Rd相离。圆与圆的位置关系： （d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR）rRd相离；rRd外切；rRdrR相交；rRd内切；rRd0内含。10与圆有关的结论：过圆222ryx上的点00(,)P xy的切线方程为：200 x xy yr；以1122(,) ,(,)A xyB xy为直径的圆的方程：1212()()()()0 xxxxyyyy。第五部分圆锥曲线1定义： 椭圆：|)|2( ,2|2121FFaaMFMF；焦点在x轴上：22221 (0)xyabab；焦点在y轴上：22221 (0)yxabab双曲线：|)|2( ,2|2121FFaaMFMF；焦点在x轴上：22221 (0 ,0)xyabab；焦点在y轴上：22221 (0 ,0)yxabab；抛物线：22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页2结论（1）弦长公式：2222112121(1)()4ABkxxkxxx x221121222111(1)()4AByyyyy ykk；（2）焦点弦长：椭圆：)(2|21xxeaAB；抛物线：12ABxxp；（3）过两点的椭圆、 双曲线标准方程可设为：122nymx（nm,同时大于 0 时表示椭圆，0mn时表示双曲线） ；（4）椭圆中的结论：内接矩形最大面积：2ab；当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；椭圆焦点三角形：122tan2PF FbS， （21PFF） ；双曲线中的结论：双曲线22221(0 ,0)xyabab的渐近线方程：22220 xyab；共渐进线byxa的双曲线标准方程为2222(0)xyab；双曲线焦点三角形：122cot2PF FbS， （21PFF） ；双曲线为等轴双曲线2e渐近线为xy渐近线互相垂直；（6）抛物线中的结论：抛物线22(0)ypx p的焦点弦AB性质：2124px x；212y yp；pBFAF2|1|1；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；22sinAOBpS（为过焦点直线的倾斜角）（）抛物线22(0)ypx p内结直角三角形0(90 )OABAOB的性质：2212124,4x xPy yP；ABl恒过定点)0,2(p；BA,中点轨迹方程：)2(2pxpy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页ABOM，则M轨迹方程为：222)(pypx；2min4)(pSAOB。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：- 处理弦中点问题步骤如下：设点1122(,) ,(,)A xyB xy；作差得2121xxyykAB；解决问题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ； （3）代入法（相关点法或转移法）；（5）参数法；（ 6）交轨法。（注：求解轨迹方程要检验是否存在不符合要求的点）第六部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180(1857弧长公式：lR；扇形面积公式：21122SRRl。2三角函数定义：角终边上任意一点P为),(yx，设rOP |则：,cos,sinrxrytan(0)yxx3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律： “函数名不（改）变，符号看象限”；同角三角函数的基本关系：22sinsincos1 ;tancosxxxxx；两角和与差的正弦、余弦、正切公式：;sincoscossin)sin(;sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan。 )sin(xAy：当()22kZkx时，maxyA；当()322kZkx时，minyA；单调递增区间：(),2222kZkkx；单调递减区间：(),32222kZkkx周期2T；对称轴：()2kZkx；对称中心：()(, 0)kZk；)cos( xAy：当()2kZkx时，maxyA；当()2kZkx时，minyA；单调递增区间：(),22kZkkx；单调递减区间：(),22kZkkx周期2T；对称轴：()kZkx；对称中心：()2(, 0)kZk；tan()yAx单调递增区间：()22,)(kZkkx；周期T；对称中心：()2(, 0)kZk9正、余弦定理正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R2是ABC外接圆直径）注：CBAcbasin:sin:sin:；CRcBRbARasin2,sin2,sin2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin。余弦定理：Abccbacos2222，2222cosbacacB，2222coscababC；注：bcacbA2cos222；222cos2acbBac；222cos2abcCab10。几个公式 :三角形面积公式：)(21( , )()(sin2121cbapcpbpappCabahSABC；内切圆半径2ABCSrabc；外接圆直径2;sinsinsinabcRABC11已知Aba,时三角形解的个数的判定：其中sinhbA,A为锐角时：ah时，无解；ah时，一解（直角） ；hab时，两解（一锐角，一钝角）；ab时，一解（一锐角） 。A为直角或钝角时：ab时，无解；ab时，一解（锐角） 。第七部分平面向量1.向量的基本概念向量： 既有大小又有方向的量；表示方法：有向线段AB，有向线段a；相等向量： 长度相等且方向相同的向量，记作：ab；平行向量（共线向量） ： 方向相同或相反的非零向量，记作/ab； （0 / /a）2.向量的线性运算(1)向量加法运算及其几何意义三角形法则：abABBCAC(首尾连接 )；(2)向量减法运算及其几何意义A b a C h 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页三角形法则：abOAOBBA(从减数b的终点指向被减数a的终点 ) 注：ababab(3)向量数乘运算及其几何意义实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，长度为：aa，方向：当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a；(4)非零向量的数量积：cosa bab， （0,是向量a与b的夹角 ）规定零向量与任一向量的数量积为0，注：当0时，a与b同向；当02时，0a b；当2时，ab；当2时，0a b；当时，a与b异向a b的几何意义 ：a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积3.向量的平行与垂直/(0)abab b；0(0 ,0)aba bab4平面向量的基本定理：如果12,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一个平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,，使得1122aee结论： 设ab与都是非零向量：2a aa；aa a；a ba b；5坐标运算：点A的坐标( , )a b即是向量OA的坐标( , )a b，记作：( , )A a b；( , )OAa b；11(,)A xy，22(,)B xy则2121(,)ABxx yy；221212()()ABxxyy；11(,)ax y，22(,)bxy则2211axy1212(,)abxxyy1212(,)abxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页1111(,)(,)ax yxy1212,abxxyy12210ababx yx y；1212a bx xy y，12120abx xy y121222221122cosx xy ya ba bxyxy6三 点共线的充要条件,PA B三点共线OPxOAyOB（且1xy） ；四点共面的充要条件,A B C点不共线，,PA B C四点共面OPxOAyOBzOC（且1xyz） 。第八部分数列1定义：等差数列n 1n11(2(2,*)nnnnaaad daaannN 为常数）2nnaknbSAnBn；等比数列N)n2,(n)0(1n1-n2n1nnaaaqqaaann( ,0kkq (q0,q1,k0)nnnacqc qS均为不为 的常数）；2等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式dnaan) 1(111nnqaa前 n 项和11()(1)22nnn aan nSnadqqaaqqaSqnaSqnnnn11)1(1.2;1.1111时，时，性质 1()nmaanm dn mnmaa q性质 2mnkl时，mnklaaaamnkl时，mnkla aa a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页性质 3232,nnnnnSSSSS成等差，公差2dn d232,nnnnnSSSSS成等比，公比为nqq；性质 4,2mkmkkaaa成等差 ,mdd,2mkmkkaaa成等比 ,mqq等差数列特有性质：项数为2n时：SSnd偶奇；1nnaaS偶奇S；项数为21n时：21(21)nSna中；中偶奇aSS-；S1Snn奇偶；3数列通项的求法：分析法；定义法（利用等差,等比的定义） ；公式法：11,1,2nnnSnaSSn叠加法（nnncaa1型） ；叠乘法（nnncaa1型） ； （6）构造法（bkaann 1型） ；（理科） 数学归纳法：归纳猜想证明；注：当遇到qaadaannnn1111或时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。4前n项和的求法：（1）常用数列之和：(1)1232n nn；213521nn；22462nnn；2222(1)(21)1236n nnn；23333(1 )1232n nn；(1)(2)1 22 33 4(1)3n nnnn。（2）求和基本方法公式法：直接运用以上公式；倒序相加法：课本推导等差数列求和的方法，适用前后等距离项之和相等；错位相减法：课本推导等比数列求和的方法，适用等差等比数列相结合的新数列，乘公比再相减；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页裂项求和法：适用分母有等差数列相邻两项组成的形式等；分项求和法：将数列分成几个数列然后分别求和。5求数列中通项公式na或前n项和nS的最大最小值的方法：比较法：作差比较法，作商比较法；构造相应的函数，用导数法求最值。第九部分不等式1 均值不等式：,a bR，2221122abababab（当且仅当ab时，等号成立）2利用基本不等式求最值问题（1）,a bR，当ab为定值时，ab取最小值2 ab；（2）,a bR，当ab为定值时，ab取最大值2()4ab；（3）当xR时，函数(0)pyxpx的取值范围是2,)p；（4）当0 x时，函数(0)pyxpx的取值范围是(,22,)pp；推广：,a b cR3333abcabc；33abcabc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页注意：一正二定三相等；变形，222()22ababab。3绝对值不等式：| | |ababab；4不等式的性质：abba；cacbba,；cbcaba；dcba,dbca；bdaccba0,；bcaccba0,；, 0babdacdc0；)(00Nnbabann；（6）0ba)(Nnbann。比较大小方法：依据0abab，0abab，作差，分解因式，判断符号，下结论依据0 ,01,1aaabababbb，作商，下结论5不等式的解法一元一次不等式的解法：(0)axb a，(0)baxb axa，(0)baxb axa；一元二次不等式的解法2(0)yaxbxca000y1x2xxO2baxyOxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页20axbxc21,242bbacxa122bxxa无解20axbxc12(,)(,)xx2bxaR20axbxc12(,)xx分式不等式：( )0(0)( ) ( )0(0)( )fxf x g xg x；( ) ( )0(0)( )0(0)( )0( )f x g xf xg xg x；( )( )0( )( )f xf xaag xg x，通分求解；指数、对数不等式： （化为同底型）当1a时，( )()( )( )fxg xaaf xg x；当01a时，当1a时，log( )log( )( )( )0aaf xg xf xg x；当01a时，绝对值不等式的解法：( )(0)( ),( )f xa af xaf xa或，( )(0)( )f xa aaf xa；( )( )(0)f xg xc a：分情况讨论；利用绝对值几何意义求解；第十部分复数1 基本概念（1）复数(,)zabi aR bR为实数、虚数、纯虚数的充要条件z为实数0bzzz为虚数0bzzz为纯虚数0000azzbz（2）两个复数相等的充要条件：,abicdiac bd（3）共轭复数：zabi的共轭复数zabi共轭的性质：2222( ,)zzzzaba bR，2 ,2zza zzbi（4）复数的模：22zab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页（5）复数的几何意义：复数zabi与向量( , )OZa b一一对应，复数zabi与平面上的点( , )Z a b一一对应12zz：表示两点12,Z Z之间的距离；zr：表示圆心在原点，半径为r的圆；1zzr：表示以点1Z为圆心，半径为r的圆。2 复数的运算（四则运算）(1)加、减法：()()()()abicdiacbd i(2)乘法：() ()()()abicdiacbdbcad i；(3)除法：2222()()()()abiabicdiacbdbcadcdicdicdicdcd（分母实数化）3 一些常用结论：(1)虚数单位i的幂运算：41424344,1,1,nnnnii iii inN（周期4T）(2)211(1)2 ,11iiiiiiii。(3)设0a，a的平方根是：ai(4)实系数一元二次方程20(0)axbxca0的两虚根：2bixa第十一部分概率1事件的关系：事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作BA；事件A与事件B相等：若ABBA,，则事件A与B相等，记作AB；并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB（或BA） ；并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB（或AB）；事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件（AB） ，则事件A与B互斥；6对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件：( )( )1P AP B2概率公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页互斥事件（有一个发生）概率公式：()()( )P ABP AP B；古典概型：()AP A包含的基本事件的个数基本事件的总数；几何概型：()AP A构成事件的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）；第十二部分算法初步1.程序框图：图形符号名称功能终端框算法的起始与终止输入、输出框算法输入、输出信息处理框赋值、计算判断框判断条件是否成立流程线连接程序框精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页2.算法的三种基本逻辑结构：顺序结构：由若干个依次执行的处理步骤组成，是算法基本结构；条件结构：根据条件是否成立有不同的流向；循环结构：按照一定条件，反复执行某一步骤；一般包含计数变量、累积变量、条件结构，当型：先判断后执行，条件满足时执行循环体，不满足时终止；直到型：先执行后判断，条件不满足时执行循环体，满足时终止；3.算法的五种基本语句输入语句： INPUT “提示内容”；变量（多个变量用逗号隔开）；输出语句： PRINT “提示内容”；表达式（表达式中可以带有计算功能）；赋值语句：变量=表达式计算左边的式子然后赋值给右边的变量；条件语句： IF 条件IF 条件循环语句： WHILE 条件DO 条件THEN 语句体THEN 语句体循环体循环体ENDIF SLSE 语句体WEND LOOP UNTIL 条件ENDIF 4 程序框图分类 : 条件结构 (一个分支 ) 条件结构 (两个分支 ) 满足条件？是否满足条件？是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页循环结构 (当型 ) 循环结构(直到型 ) 满足条件？循环体是否满足条件？循环体是否精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页5.算法案例辗转相除法(0)mnqrrn;更相减损术秦九韶算法1110( )nnnnf xa xaxa xa当0 xx时，010(1,2, )nkkn kvaknvvxa进位制121011()1210nnnno knna aa aa kaka ka ka k；除k取余法；第十三部分常用逻辑用语1.四种命题及其相互关系：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价(互为逆否关系的两个命题同真同假)。2.充分条件与必要条件定义： 命题“若p，则q”为真命题，记作pq（等价于qp） ，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。若pq，则p与q互为充要条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 38 页充要条件的判断：（1）定义法 - 充分性：pq；必要性：qp；（2）利用集合间的包含关系：若BA，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充分不必要条件；若AB，则A是B的充要条件；(充要条件的证明题必须分成必要性与充分性进行证明) 3逻辑连接词：且 (and) ：命题形式pq；或（ or） ：命题形式pq；非（ not） ：命题形式p. pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4.含有一个量词的命题全称命题：,( )xMp x(含有全称量词“对所有的” 、 “对每一个”、 “对任意一个” ) 特称命题：,( )xMp x(含有存在量词“存在一个” 、 “至少有一个”、 “有些”) *解题技巧：命题的否定（命题的否定与否命题是不同的概念！）“p且q”形式命题的否定：pq或“p或q”形式命题的否定：pq且一些正面叙述词语的否定：正是都是一定至少有一至多有一任意所有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页否不是不都是不一定一个没有至少有二某个某些第十四部分推理与证明1推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式， 包括： 大前提 - 已知的一般结论；小前提 - 所研究的特殊情况；结论 - 根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 38 页一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明 - 反证法（正难反易）一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。第十五部分统计与统计案例1抽样方法简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为Nn；常用的简单随机抽样方法有：(1)抽签法；随机数法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l；按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数该部分个体数nN2总体特征数的估计：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 38 页样本平均数niinxnxxxnx1211)(1；样本方差)()()(1222212xxxxxxnSn21)(1xxnnii；样本标准差222212111()()() ()nniiSxxxxxxxxnn；3回归分析的初步应用(1)相关系数（判定两个变量线性相关性）：niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(注： 0r时，变量yx,正相关；0r时，变量yx,负相关；| r越接近于1，两个变量的线性相关性越强；| r接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系(2)线性回归方程：ybxa， （1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，a y b x）4回归分析中回归效果的判定：（）残差：iiieyy；残差平方和：2221111()22nniiiieyynn；（）相关指数22121()1()niiiniiiyyRyy注： 2R越大，残差平方和越小，则模型拟合效果越好；2R越接近于1， ，则回归效果越好。5.建立回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确解释变量与预报变量；画出散点图，观察它们之间的关系；精选学习资料 - 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