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概率统计各章节总结概率统计各章节总结第一章第一章概率的计算概率的计算1）统计定义：统计定义：稳定值稳定值 nnAf)()(AP 2）概率的性质：概率的性质：153）等可能概型：等可能概型：nmAP )(4）条件概率：条件概率：)()()(APABPmkABP 5）乘法定理：乘法定理：()( ) ()P ABP A P B A )()(BPAP 独立独立)(1BAP 6）全概率公式：全概率公式：A1B2B互斥互斥)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP 7）贝叶斯公式：贝叶斯公式：)()()()(111APBAPBPABP 12AABAB 随机变量概率分布随机变量概率分布离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量分布函数分布函数)()(xXPxF 右连续右连续dttfxFx )()(连续连续概率分布概率分布概率概率1分布分布情况情况,直观直观概率的累加概率的累加,不直观不直观分布律：分布律：Xkp1x2xkx1p2pkpxkp概率密度：概率密度： xxkkpxF)(1)( dttf1 kp概率计算概率计算 21)(21xxxkkpxXxP)()(12xFxF 1x2x 21)()(21xxdttfxXxP)()(12xFxF 1x2x)( xfxxx非连续型随机变量非连续型随机变量)()(12xFxF 第二章第二章离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量重要分布重要分布1）(0-1)分布分布kkppkXP 1)1()(2）),(pnBknkknppCkXP )1 ()(3）)( P!)(kekXPk 1）),(baU 其其它它，0)(1)(bxaabxf2） 其其它它，00,1)(xexfx 3）),(2 N222)(21)( xexf函数的分布函数的分布)(XgY )(xfX)(yfY)(yFY X的分布律的分布律Y的分布律的分布律( )E 随机变量重要分布随机变量重要分布第二章第二章()()F xP Xx F(x)是一个不减函数是一个不减函数 性质性质1 1,1)(0 xF 性质性质2 2性质性质3 3()F x是是右右连续的函数连续的函数)()()(1221xFxFxXxP 1)(, 0)( FF 作用：作用： xdttfxF)()()0fx ( )1f x dx 性质性质1 1、2 2211221()()()( )xxP xXxF xF xf x dx 性质性质3 3性质性质4 4( )( )F xf x 2. 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度1. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第二章第二章二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)离散型离散型(X,Y)连续型连续型联合分布函数联合分布函数),(yxFdyyxfxfX ),()(联合分布律联合分布律ijjipyYxXP ),(联合概率密度联合概率密度),(yxf(X,Y)整体整体(X,Y)个体个体),(lim)(yxFxFyX 边缘分布函数边缘分布函数),(lim)(yxFyFxY 边缘分布律边缘分布律 ijijippxXP1)(jiijjppyYP 1)(边缘概率密度边缘概率密度dxyxfyfY ),()(X与与Y独立独立)()(),(yFxFyxFYX yx, 对对),(jiyYxXP )()(jiyYPxXP )()(),(yfxfyxfYX 概率概率计算计算 Gdxdyyxf),(),(GYXP ),(GYXP Gyxijjip),(第三章第三章一维一维 X二维二维( X,Y )边缘边缘 X关系关系),(yxF)(xF),(yYxXP )(xFX),( YxXP)(xXP ),(yx),(YXx),(YXx),(lim)(yxFxFyX )(xF离散型离散型 xxkkp),(yxF yyxxijjip xxjijiP1)(xFX连续型连续型)(xF xdttf )(),(yxFdudvvufxy ),()(xFXdydxyxfx ),()(xfX)(xfX dyyxf),(分布律分布律kkpxXP ,jiyYxXP ijp ixXP 1jijpixXP 1jijp)(xXP 分布函数分布函数 21)()()()(1221xxdxxfxFxFxXxP GdxdxyxfGYXP),(),(几何意义几何意义概率概率 Gyxijjip),(第三章第三章第四节第四节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布),(YXgZ ),(YXf?)( zfZYXZ ) 1dyyfyzfdyyyzfzfYXZ)()(),()( 2)max,ZX Y 独独立立YX,)()()(zFzFzFYXZ ,minYXZ 独独立立YX,)(1)(11)(zFzFzFYXZ )()(zFzfZZ 独立独立1212max(,)min(,)nnMXXXNXXX与与12max()()()()nXXXFmFmFmFm zzzz12min( )1 1( ) 1( )1( )nXXXFnFnFnFn zzzz)(,21xFXXXiXn独独立立，)(xF nzF)( nzF)(1 1 第三章第三章计算难点计算难点),(YXgZ ),(YXf?)( zfZdyyfyzfdyyyzfzfYXZ)()(),()( )()(zFzfZZ 独立独立),(yxF( , )xyf ududvv GdxdxyxfGYXP),(),(1 1）2 2）)(xfX dyyxf),(3 3）4 4）5 5）)()(zZPzFZ (,)P g X Yz ( , )( , )g x yzf x y dxdy ( )( ,)D zf x y dxdy ( , )( , )Dg x yzf x y 是是积积分分区区域域与与取取值值非非零零区区域域的的交交集集第三章第三章随机变量的数学期望与方差随机变量的数学期望与方差离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量dxxxfXE )()( 1)(kkkpxXEX)( XgY g连续连续 1)(kkkpxg)()(XgEYE )()(XgEYE dxxfxg )()(),(YXgZ g连续连续),()(YXgEZE 11),(jijijipyxg),()(YXgEZE dxdyyxfyxg),(),(第四章第四章)( XD 12)()(kkkpXExXDdxxfXExXD )()()(22)(XEXE 随机变量的数字特征随机变量的数字特征E(X)性质性质( )E cc ()()E c Xc E X ()()( )E XYE XE Y ()()()E XYE XE Y X,Y独立独立D(X)性质性质22()() ()D XE XE X 2()( )cD cXD X ( )0D c ()( )( )D X YD XDY X,Y独立独立，()0D X ()1P Xc (,)()( )Cov X YEXE XYE Y ()()()E XYE X E Y ),cov(2)()()(YXYDXDYXD (,)()()X YCov X YD XD Y 协方差协方差(1).1XY (2).1XY ()1P YaXb 存在常数存在常数,a b，使得：使得：相关系数相关系数)()(YDXD 独独立立第四章第四章)(XE)(XD几种常见分布的数学期望和方差几种常见分布的数学期望和方差离散型离散型连续型连续型概率分布概率分布(0-1)(0-1)分布分布二项分布二项分布),(pnBX), 1(pBXppqnpnpq泊松分布泊松分布)( PX 均匀分布均匀分布),(baUX2)(ba 12)(2ab 指数分布指数分布 2 正态分布正态分布)( ExpX),(2 NX 2 第四章第四章定理定理3(辛钦辛钦)相相互互独独立立,21nXXX )(kXE同分布同分布 PnkkXn11定理定理1(林德林德)相相互互独独立立,21nXXX同分布同分布 )(kXE2)( kXD)1 , 0(1NnnXnkk近近似似 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 )(kXE2)( kXD PnkkXn11定理定理1相相互互独独立立,21nXXX定理定理2相相互互独独立立,21nXXX(贝努利贝努利)()10(p参参数数分分布布 pXnPnkk 11 nnA定理定理2(德莫弗德莫弗)( ,)nXB n p(0,1)(1)nXnpNnpp 近近似似第五章第五章常用统计量及抽样分布常用统计量及抽样分布分分布布2 )1 , 0( NXini, 2 , 1 独立独立)(2122nXnii )(2n nE )(2 nD2)(2 22)12(21)( nzn 45 n分分布布t),1 , 0( NX),(2nY 独立独立)(ntnYXt )(nt znt )(45 n),()(1ntnt 分分布布F),(12nU ),(22nV 独立独立),(2121nnFnVnUF 12( , )F n n ),(112nnFF),(1),(12211nnFnnF ),(2 NX2,SX),(2nNX )1()1(222 nSn 独立独立Th1)1( ntnSX Th2nXXX,21 niiXnX11212)(11 niiXXnS第六章第六章常用统计量及抽样分布常用统计量及抽样分布2 统统计计量量221niiX t 统统计计量量XtY n F 统统计计量量12U nFV n 2(1)n XSn 11niiXXn 212)(11 niiXXnS2( )n ( )t n12(),F n n2( ,) Nn 22(1)nS (1)t n 样样本本均均值值样样本本方方差差(0,1)NXn ),(2 NXnXXX,21第六章第六章连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布( , )XU a b( )XE 2( ,)XN ()fx bxaab10其其 它它ab1ba 010()0 xexfx 其其 它它1 x22()21()2xfxe ( ,)X 11110()( )00 xxexf xx 第六章第六章常用统计量及抽样分布常用统计量及抽样分布22( )n ( )tt n12(,)FF n n122210( )2(2)00nxnxexf xnx 122(1) 2( )(1)(2)nnxt xnnn 1121212111222122222()( )()1,0( )( ) ( )0 0nnnnnnnnnnnnnxxxxx 第六章第六章总体总体X，),(2 NX),( xFnXXX,21nxxx,21进进行行估估计计对对 点估计点估计),(21nXXX 统统计计量量1)矩估计法：矩估计法：2)极大似然估计法：极大似然估计法：求解：求解：,iiA ki, 2 , 1 求解：求解：)(max)( LLH 估计量的估计量的优良性优良性1)无偏性：无偏性： )(E2)有效性：有效性：)()(21 DD 区间估计区间估计 1)(P的的置置信信区区间间是是置置信信度度为为 1),(进进行行区区间间估估计计对对2, 1)2)3)的的置置信信区区间间，求求 为为已已知知2 的的置置信信区区间间，求求 为为未未知知2 的的置置信信区区间间求求2 估估计计量量 第七章第七章) 1 , 0( NnX )1()1(222 nSn 1)的的置置信信区区间间，求求 为为已已知知2 统计量统计量置信区间置信区间)(2 znX 2)的的置置信信区区间间，求求 为为未未知知2 ) 1( ntnSX 2(1)SXtnn 3)的的置置信信区区间间求求2 ) 1() 1(,) 1() 1(2212222 nSnnSn ，),(2 NX进进行行区区间间估估计计对对2, (0-1)分布分布p的置信区间的置信区间) 1 , 0()1 (NpnpnpXn ),(21pp)4(2122, 1acbbap 1置置信信度度第七章第七章nXU 0 2022)1( Sn 1)的的检检验验 为为已已知知2 检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域2 zU 2)的的检检验验 为为未未知知2 nSXt0 3)的的检检验验2 进进行行假假设设检检验验对对2, 0 ),(2 NX, 显显著著性性水水平平原假设原假设备择假设备择假设0H0 1H0 0 zU 0 0 zU 0 0 0 0 0 0 ) 1(2 ntt ) 1( ntt ) 1( ntt 202 或或)1(222 n )1(2212 n )1(22 n )1(212 n 202 202 202 202 202 ) 1 , 0( N) 1( nt) 1(2 n 第八章第八章
