欧式空间的同构正交变换ppt课件.ppt
定义：定义：实数域实数域R上欧氏空间上欧氏空间V与与V称为称为同构的同构的，如果由如果由V到到V 有一个双射有一个双射 , 满足满足 ,VkR 1)()( )( ), 2)()( ),kk 3)( ), ( )( ,), 这样的映射称为欧氏空间这样的映射称为欧氏空间V到到V的的同构映射同构映射. 1、若是欧氏空间、若是欧氏空间V到到V的同构映射，则也是的同构映射，则也是 线性空间线性空间V到到V同构映射同构映射.2、如果是有限维欧氏空间、如果是有限维欧氏空间V到到V的同构映射，的同构映射， 则则dimdim.VV 3、任一维欧氏空间、任一维欧氏空间V必与必与 同构同构.nnR标准正交基，标准正交基，证：证： 设设V为维欧氏空间，为为维欧氏空间，为V的一组的一组12,n n在这组基下，在这组基下，V中每个向量可表成中每个向量可表成 1 122,nnixxxxR作对应作对应12:,( )(,)nnVRx xx 易证是易证是V到到 的双射的双射. nR且满足同构定义中条件且满足同构定义中条件1）、）、2）、）、3），）， 故为由故为由V到到 的同构映射，从而的同构映射，从而V与与 同构同构.nR nR反身性；反身性；对称性；对称性；传递性传递性.4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：、同构作为欧氏空间之间的关系具有： 单位变换是欧氏空间单位变换是欧氏空间V到自身的同构映射到自身的同构映射.VI 若欧氏空间若欧氏空间V到到V的同构映射是，则是的同构映射是，则是 1 其次，对有其次，对有,V ( ,) 事实上事实上，首先是线性空间的同构映射首先是线性空间的同构映射. 欧氏空间欧氏空间V到到V的同构映射的同构映射. 11( ), ( ) 11( ),( ) 为欧氏空间为欧氏空间V到到V的同构映射的同构映射. .1 若若 分别是欧氏空间分别是欧氏空间V到到V、V到到V 的同构映射，的同构映射， , 则则 是欧氏空间是欧氏空间V到到V 的同构映射的同构映射.事实上，首先，事实上，首先， 是线性空间是线性空间V到到V 的同构映射的同构映射. . ( ),( ) ( ), ( ) 其次，对有其次，对有,V ( ( ), ( ( ) ( ,) 为欧氏空间为欧氏空间V到到V的同构映射的同构映射. .5、两个有限维欧氏空间、两个有限维欧氏空间V与与V同构同构dimdim.VV 3 两两个个有有限限维维欧欧氏氏空空间间同同构构的的充充要要条条件件是是它它们们的的维维定定理理数数相相同同. .1. .定义定义即即 ， ( ), ( )( ,),V 欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换 如果保持向量的内积不变，如果保持向量的内积不变， 则称则称 为为正交变换正交变换. 欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广不变的正交变换的推广.2. .欧氏空间中的正交变换的刻划欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：下述命题是等价的：（定理定理4 4）设是欧氏空间）设是欧氏空间V的一个线性变换的一个线性变换. ( ), ( ),ddV 3） 保持向量间的距离不变，即保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即保持向量长度不变，即 1） 是正交变换；是正交变换； ( ),;V 证明：首先证明证明：首先证明1)与与2)等价等价1)2):即，即，22( ) ( ), ( )( , ),V 两边开方得，两边开方得，( ),V 若是正交变换，则若是正交变换，则 2)1):有，有， ( ), ( )( , ), (1) ( ), ( )( ,), (2)若保持向量长度不变，则对若保持向量长度不变，则对,V 把把(3)展开得，展开得， ( ), ( )2( ), ( )( ), ( ) ( , )2( ,)( ,) 再再由由(1)(2)即得，即得， ( ), ( )( ,) (), ()(,), (3)是正交变换是正交变换 再证明再证明2)与与3)等价等价3)2):2)3):( )( )(), 根据根据) ( ), ( )( )( )d () ( ,)d 故故 3）成立）成立. ( ), ( ),ddV 若若则有，则有， ( ), (0),0 ,ddV 即，即，( ),.V 故故 2）成立）成立. 1. . 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基n不变的线性变换不变的线性变换是是V的标准正交基，则的标准正交基，则 也是也是V12(), (), ()n 的标准正交基的标准正交基.1). .若若 是是 维欧氏空间维欧氏空间V的正交变换，的正交变换，n12,n 事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 1(), ()(,)0ijijijij 即有，即有，2). .若线性变换若线性变换 使使V的标准正交基的标准正交基 变成变成12,n 变换变换标准正交基标准正交基 ，则，则 为为V的正交的正交12(), (), ()n 1 122nnxxx1 122,nnyyy证明：任取证明：任取 设设 ,V 由由 为标准正交基，有为标准正交基，有12,n 1( ,)niiix y 1( ), ( )niiix y 故故 是正交变换是正交变换 1( )()njjjy 1( )(),niiix 又又 ( ), ( )( ,) 由于为标准正交基，得由于为标准正交基，得 12(), (), ()n 2. . 维欧氏空间维欧氏空间V中的线性变换是正交变换中的线性变换是正交变换n 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 设设 为为V的标准正交基，且的标准正交基，且 12,n 1212,nn 12,nA 证明：证明：的标准正交基，的标准正交基，当当 是正交变换时，由是正交变换时，由1知，知， 也是也是V 12,n 而由标准正交基而由标准正交基 到标准到标准12,n 正交基正交基 的过渡矩阵是正交矩阵的过渡矩阵是正交矩阵.12,n 设设 为为V的标准正交基，且的标准正交基，且 12,n 1212,nnA 再由再由 1 即得为正交变换即得为正交变换 由于当由于当A是正交矩阵时，是正交矩阵时， 也是也是V的的12,n 1212,nnA 即，即，标准正交基，标准正交基，所以，所以，A是正交矩阵是正交矩阵3. . 欧氏空间欧氏空间V的正交变换是的正交变换是V到自身的同构映射到自身的同构映射因而有因而有1）正交变换的逆变换是正交变换；）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之由同构的对称性可得之）2）正交变换的乘积还是正交变换）正交变换的乘积还是正交变换（由同构的传递性可得之由同构的传递性可得之）4. 维欧氏空间中正交变换的分类：维欧氏空间中正交变换的分类：n设维欧氏空间设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基中的线性变换在标准正交基n 1）如果）如果 则称为则称为第一类的第一类的（旋转旋转）; 1,A 2）如果）如果 则称为则称为第二类的第二类的 1,A 下的矩阵是正交矩阵下的矩阵是正交矩阵A，则，则12,n 1.A 例例、在欧氏空间中任取一组标准正交基、在欧氏空间中任取一组标准正交基12,n 定义线性变换为：定义线性变换为： 11 ,2,3,.iiin则为第二类的正交变换，也称之为则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射镜面反射
