2022年高考数学专题直线与双曲线的位置关系 .pdf
学习必备欢迎下载直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比 ,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如 20XX 年高考江西卷理科第20 题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 设双曲线方程0,012222babyax，直线 Ax+By+C=0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y 得到关于x 的方程 mx2+nx+p=0, (1)若 m0,当 0 时,直线与双曲线有两个交点；当 =0 时,直线与双曲线只有一个公共点；当 0 时,直线与双曲线无公共点. (2)若 m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2弦长公式：设直线bkxy交双曲线于111, yxP，222, yxP，则21221222121411xxxxkkxxPP，或04111121221222121kyyyykkyyPP二、基础自测1经过点2 ,21P且与双曲线1422yx仅有一个公共点的直线有（）(A) 4 条(B) 3 条(C) 2 条(D) 1 条2直线 y= kx 与双曲线16422yx不可能（）（A）相交（B）只有一个交点（C）相离（D）有两个公共点3过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622xy的通径长是(A) 49(B) 29(C) 9(D) 104若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5经过双曲线822yx的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载6直线l在双曲线12322yx上截得的弦长为4，且l的斜率为2，求直线l的方程三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1过双曲线2x2y220 的右焦点作直线l 交双曲线于A、B 两点，若 |AB| 4，则这样的直线有() A4 条B3 条C2 条D1 条解：过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A、B 两点，若 lx 轴，则|AB|4；若 l 经过顶点， 此时 |AB| 2，因此当 l 与双曲线两支各交于一点A、B 时，满足 |AB|4 的直线有两条，故选B. 2、若直线ykx2 与双曲线x2y26 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A. 153，153B. 0，153C. 153，0D. 153， 1解：直线与双曲线右支相切时，k153，直线 ykx2 过定点 (0,2)，当 k 1 时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y x2 时，直线与双曲线右支有两个交点，153k0 进行验证即可10(2012 浙江 )如图， F1，F2分别是双曲线C：x2a2y2b21(a，b0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F1B 与 C 的 两条渐近线分别交于P，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C 的离心率是 () A. 2 33B. 62C. 2 D. 3 解： 依题意得直线F1B 的方程为ybcxb，M 点坐标为 (3c,0)，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为ycb(x3c)，由ybcx b，ybax，得点 Paca c，bcac，由ybcxb，ybax，得点 Qacca，bcca， 那么可得线段PQ 的中点坐标为a2cb2，c2b，代入 ycb(x 3c)并整理，可得2c23a2，可得 eca3262，故应选B. 11. 已知双曲线0,012222babyax的右焦点为F，过 F 且倾斜角为45的直线l与双曲线的右支交于 M,N 两点，若FNMF7，求该双曲线的离心率12. 设双曲线01:222ayaxC与直线1:yxl相交于不同的点A、B. 求双曲线C的离心率e的取值范围；设直线l与y轴的交点为P，且PBPA125，求a的值。解： (1)将 y x1 代入双曲线x2a2y21 中得 (1a2)x22a2x2a2 0 由题设条件知，1a204a4 8a21a20， 解得 0a2且 a1 ， 又双曲线的离心率e1a2a1a21，0a62且 e 2. (2)设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，P(0,1)PA512PB，(x1， y1 1)512(x2， y21) x1512x2，x1、x2是方程的两根，且1a20 ，1712x22a21a2，512x222a21a2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载消去 x2得，2a21a228960， a0， a1713. 13、双曲线C 与椭圆14822yx有相同的焦点,直线xy3C 的一条渐近线 . (1)求双曲线 C 的方程 ; (2)过点 P(0,4)的直线 l，交双曲线C 于 A、B 两点，交x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不重合)，当1PQQBQA2，且3821时，求 Q 点的坐标 . 解：(1)设双曲线的方程为12222byax. 由椭圆14822yx，求得两焦点为(-2,0)，(2,0)，对于双曲线C:c=2. 又xy3为双曲线C 的一条渐近线 , 3ab，又 a2+b2=c2=4，解得 a2=1，b2=3. 双曲线C 的方程为1322yx. 【点评】有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常转化为一元二次方程根的问题来讨论,从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解. 注意直线与双曲线有一个公共点的情况时,只讨论0012k是不够的 ,还应讨论二次项系数等于0 的情况 ,此时解得的斜率k 恰好等于双曲线渐近线的斜率,这样的直线l 与双曲线相交,但交点只有一个,所以 ,直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件,而对于椭圆则是充要条件. 14已知点M 是圆 B：(x2)2y212 上的动点，点A(2,0)，线段 AM 的中垂线交直线MB 于点 P. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l：ykx m(k 0) 与曲线 C 交于 R，S两点， D(0， 1)，且有 |RD|SD|，求 m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载解： (1)由题意得 |PM|PA|，结合图形得 |PA|PB|BM|23，点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线，且 2a 2 3，a3，c2，于是 b1，故 P 点的轨迹C 的方程为x23y2 1. (2)当 k0 时，由x23y21，ykx m，得( 13k2)x26kmx3m230，(*) 由直线与双曲线交于R，S两点，显然13k20 ， (6km)2 4(13k2)( 3m23) 12(m2 13k2)0，设 x1，x2为方程 (*) 的两根，则x1x26km13k2，设 RS的中点为M(x0，y0)，则x03km13k2，y0kx0mm1 3k2，故线段 RS的中垂线方程为ym13k2 1kx3km1 3k2. 将 D(0， 1)代入化简得4m3k2 1，故 m，k 满足m21 3k20，4m3k2 1.消去 k2即得 m2 4m0，即得 m0 或 m 4，又 4m3k2 1 1，且 3k2 10 ，m 14，且 m0 ，m 14，0 (4， ) 15、已知双曲线x2a2y2b21(ba0)，O 为坐标原点，离心率e2，点 M(5，3)在双曲线上(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线 l 与双曲线交于P，Q 两点，且0OQOP.求1|OP|21|OQ|2的值解：(1) e2， c2a，b2 c2 a23a2，双曲线方程为x2a2y23a21，即 3x2y23a2. 点M(5，3)在双曲线上， 1533a2. a24. 所求双曲线的方程为x24y2121. (2)设直线 OP 的方程为ykx(k0)，联立x24y2121，得x2123k2，y212k23k2， |OP|2x2y212 k213k2. 则 OQ 的方程为y1kx，同理有 |OQ|212 11k231k212 k2 13k21，1|OP|21|OQ|23k2 3k2112 k2122k212 k2116. 16已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (3， 0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载(1)求双曲线方程；(2)若直线 l：ykx2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和 B，且2OBOA(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。解： (1)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由已知得a3，c2，再由 c2a2b2得 b21，所以双曲线C 的方程为x23y21. (2)将 ykx2代入x23y21，整理得 (13k2)x262kx90，由题意得1 3k20， 6 2k236 13k236 1k20，故 k213且 k21，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xAxB6 2k13k2， xA xB913k2，由2OBOA得 xAxB yAyB2，又 xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k2 1)xAxB2k(xAxB)2 (k21) 913k22k6 2k13k2 23k273k21，于是3k273k212，即3k293k2 10，解不等式得13k23，由得13 k2 1，所以 k 的取值范围为1，3333，1. 17已知点M 是圆 B：(x2)2y212 上的动点，点A(2,0)，线段 AM 的中垂线交直线MB 于点 P. (1) 求点 P 的轨迹 C 的方程；(2) 若直线 l：ykxm(k0)与曲线 C 交于 R，S两点，D(0， 1)，且有 |RD|SD|，求 m 的取值范围解： (1)由题意得 |PM|PA|，结合图形得 |PA|PB|BM|23，点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线，且 2a 2 3，a3，c2，于是 b1，故 P 点的轨迹C 的方程为x23y2 1. (2)当 k0 时，由x23y21，ykxm，得(13k2)x26kmx3m230，(*) 由直线与双曲线交于R，S两点，显然13k20， (6km)24(13k2)(3m23)12(m213k2)0，设 x1，x2为方程 (*) 的两根，则x1x26km13k2，设 RS的中点为M(x0，y0)，则x03km13k2，y0kx0mm13k2，故线段RS 的中垂线方程为ym13k2 1kx3km13k2. 将 D(0， 1)代入化简得4m3k2 1，故 m，k 满足m21 3k20，4m3k2 1.消去 k2即得 m2 4m0， 即得 m0 或 m4， 又 4m3k21 1， 且 3k21 0， m14， 且 m 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载m 14，0 (4， )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
