2022年数值分析试题A卷与答案 .pdf

注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第1 页）试题_2009_年_2010_年第 一学期课程名称：数值分析专业年级：2009 级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型：A 卷 B 卷 考试方式 : 开卷 闭卷 一.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分）1.设有节点012,xx x，其对应的函数yfx 的值分别为012,yyy，则二次拉格朗日插值基函数0( )l x 为。2.设2fxx ， 则 fx关 于 节 点0120 ,1,3xxx的 二 阶 向 前 差 分为。3.设110111011A，233x，则1A ，1x。4. 1n个节点的高斯求积公式的代数精确度为。二简答题（本大题共3 小题，每小题 8 分，共 24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？x 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x 的不动点？3. 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足123n， 请简单说明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于 3 的多项式3Px ，满足下列插值条件：ix1 2 3 iy2 4 12 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第2 页）iy3 并估计误差。（10 分）四试用1,2,4n的牛顿 -科特斯求积公式计算定积分1011Idxx。 （10 分）五用 Newton 法求( )cos0f xxx的近似解。（10 分）六试用 Doolittle 分解法求解方程组：1232561 041 31 91 96363 0 xxx（10 分）七请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530 xxxxxxxxx的迭代格式，并判断其是否收敛？（ 10分）八就初值问题0(0)yyyy考察欧拉显式格式的收敛性。 （10分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第3 页）数值分析（ A）卷标准答案（200920101）一填空题（每小题3 分，共 12 分）1.1200102()()()()xxxxlxxxxx； 2.7 ；3. 3 ，8；4. 2n+1。二简答题（本大题共3 小题，每小题8 分，共 24 分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4 分）对于对称正定阵A，从21iiiikkal可知对任意k i有|ikiila。即L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4 分）2. 解： （1）若*xx，则称*x为函数x的不动点。（2 分）（2）x必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点：1）x是在其定义域内是连续函数；（2 分）2）x的值域是定义域的子集；（2 分）3）x在其定义域内满足李普希兹条件。（2 分）3. 解：参照幂法求解主特征值的流程（8 分）步 1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N; 步 2：置 k:=1, :=0，u0=v0/|v0|; 步 3：计算 vk=Auk-1; 步 4：计算并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk; 步 5：若 |mk- | ，计算，输出mk,uk；否则，转6；步 6：若 kN,置 k:=k+1, :=mk，转 3；否则输出计算失败1max;kkriinvv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第4 页）信息，停止三解： （1）利用插值法加待定系数法：设2px满足22212,24,312,ppp则22376,pxxx（3 分）再设32123pxpxK xxx（3分）2K（1 分）32329156pxxxx（1 分）（2）24311234!Rxfxxx（2 分）四解：应用梯形公式得11012IIff（2 分）0.75（1 分）应用辛普森公式得：21104162IIfff（2 分）0.69444444（1 分）应用科特斯公式得：41113703212327190424IIfffff（2 分）0.6931746（2 分）五解：由零点定理，cos0 xx在(0,)2内有根。（2 分）由牛顿迭代格式1cos0,1,.1sinnnnnnxxxxnx（4 分）取04x得，12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx（3 分）故取*40.739085133xx（1 分）六解：对系数矩阵做三角分解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第5 页）11121321222331323325610041319106361uuuluullu（2 分）125621373414ALU（4 分）若Lyb，则12310,1,4yyy；（2 分）若Uxy，则(3,2,1)Tx。（2 分）七解： （1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为00.50.51010.50.50B（2 分）其特征多项式为2det()1.25IB，且特征值为1230,1.25 ,1.25ii（2 分）故有1.251B，因而雅可比迭代法不收敛。（1 分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为00.50.500.50.5000.5B（2 分）其特征值为1230,0.5（2 分）故有0.5 1B，因而雅可比迭代法收敛。（1 分）八证明题（本大题共2 小题，每小题7 分，共 14 分）1. 证： 该问题的精确解为0( )xy xy e（2 分）欧拉公式为1(1)iiiiyyhyh y（2 分）对任意固定的ixxih，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 注： 1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第6 页）有/1/00(1)(1)iixhxhiyyhyh，（2 分）则0()ixiy ey x（1 分）2. 证： 牛顿迭代格式为125,0,1,2,66nnnxaxnx（3 分）因迭代函数为25,66xaxx而35,63axx又*3xa，（2 分）则333510623aaa。故此迭代格式是线性收敛的。（2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -