2022年数学必修二第二章经典测试题 .pdf

必修二第二章综合检测题一、选择题1若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 () A相交B平行C异面D平行或异面2平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB共面也与 CC1共面的棱的条数为 () A3B4C5D6 3已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与l() A平行B相交C垂直D异面4长方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 AB，A1D1所成的角等于() A30B45C60D905对两条不相交的空间直线a 与 b，必存在平面 ，使得() Aa? ，b? Ba? ，bCa ，bDa? ，b6下面四个命题：其中真命题的个数为() 若直线 a，b 异面， b，c 异面，则 a，c 异面；若直线 a，b 相交， b，c 相交，则 a，c 相交；若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 ac. A4B3C2D1 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是线段 A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EFAA1；EFAC；EF 与 AC 异面； EF平面 ABCD. 其中一定正确的有 () ABCD8设 a，b 为两条不重合的直线， ，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是 () A若 a，b 与 所成的角相等，则abB若 a ，b ， ，则 abC若 a? ，b? ，ab，则 D若 a ，b ， ，则 ab9已知平面 平面 ， l，点 A ，A?l，直线 ABl，直线 ACl，直线 m ，n ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 () AABmBACm CAB DAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、CC1的中点，那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 () A45B .35C.34D3511已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且ABAC3，BC2，则以 BC 为棱，以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为 () A.33B.13C0D1212 如图所示，点 P在正方形 ABCD所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是 () A90B60C45D30二、填空题三、13下列图形可用符号表示为_14正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 C1ABC 的平面角等于_15设平面 平面 ，A，C ，B，D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S位于平面 ， 之间，AS8，BS6，CS12，则 SD_. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD 是等边三角形；AB 与平面 BCD 成 60 的角；AB 与 CD 所成的角是 60 . 其中正确结论的序号是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中， ABC 与A1B1C1都为正三角形且 AA1面 ABC，F、F1分别是 AC，A1C1的中点求证： (1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A118如图所示，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90 ，E 是 CD 的中点(1)证明： CD平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE所成的角和 PB与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 PABCD 的体积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 19如图所示，边长为2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面， BC2 2，M 为 BC 的中点(1)证明： AMPM；(2)求二面角 PAMD 的大小20如图，棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，B1CA1B. (1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1；(2)设 D 是 A1C1上的点，且 A1B平面 B1CD， 求 A1DDC1的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 21如图，ABC中，ACBC22AB，ABED 是边长为 1 的正方形，平面 ABED底面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中点(1)求证： GF底面 ABC；(2)求证： AC平面 EBC；(3)求几何体 ADEBC 的体积 V. 22如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点(1)求证： ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1；(3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 必修二第二章综合检测题1D 2CAB 与 CC1为异面直线， 故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1相交的有： CD、C1D1与 CC1平行且与 AB相交的有： BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有 5 条3C当直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线， A 错；当 l? 时，在 内不存在直线与l 异面，D 错；当l时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与 l 垂直4D 由于 ADA1D1，则BAD 是异面直线 AB，A1D1所成的角，很明显 BAD90 . 5B对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时， A 错误；对于选项B，若 a，b 不相交，则 a 与 b 平行或异面， 都存在 ，使 a? ，b ，B 正确；对于选项 C，a ，b ，一定有 ab，C 错误；对于选项D，a? ，b ，一定有 ab，D 错误6 D异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，ac，而在空间中， a 与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7 D如图所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF? 平面A1B1C1D1，则 EFAA1，所以正确； 当 E，F 分别是线段 A1B1，B1C1的中点时， EFA1C1，又 ACA1C1，则 EFAC，所以不正确；当 E，F 分别不是线段 A1B1，B1C1的中点时， EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面A1B1C1D1平面 ABCD，EF? 平面 A1B1C1D1，所以 EF平面 ABCD，所以正确名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 D 选项 A 中，a，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中， ，还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于 a ， ，则 a或 a? ，则 内存在直线 la，又 b ，则 bl，所以 ab. 9C 如图所示：ABlm；ACl，ml? ACm；ABl? AB . 10、3511 C 取 BC 中点 E，连 AE、DE，可证 BCAE，BCDE，AED 为二面角 ABCD 的平面角又 AEED2，AD2， AED90 ，故选 C. 12B将其还原成正方体ABCDPQRS ， 显见 PBSC， ACS为正三角形， ACS60 . 13 AB 1445如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，由于BCAB，BC1AB，则 C1BC 是二面角 C1ABC 的平面角又 BCC1是等腰直角三角形，则 C1BC45 . 15、9 如下图所示，连接AC，BD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 则直线 AB，CD 确定一个平面 ACBD. ，ACBD，则ASSBCSSD，8612SD，解得 SD9. 16如图所示，取BD 中点， E 连接 AE，CE，则 BDAE，BDCE，而 AECEE，BD平面 AEC，AC? 平面 AEC，故 ACBD，故正确设正方形的边长为a，则 AECE22a. 由知 AEC90 是直二面角ABDC 的平面角，且 AEC90 ，ACa，ACD 是等边三角形，故正确由题意及知， AE平面 BCD，故 ABE 是 AB 与平面 BCD所成的角，而 ABE45 ，所以不正确分别取 BC，AC 的中点为 M，N，连接 ME，NE，MN. 则 MNAB，且 MN12AB12a，MECD，且 ME12CD12a，EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角在 RtAEC 中，AECE22a，ACa，NE12AC12a.MEN 是正三角形， EMN60 ，故正确17(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，F、F1分别是 AC、A1C1的中点， B1F1BF，AF1C1F. 又B1F1AF1F1，C1FBFF 平面 AB1F1平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，B1F1AA1. 又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1 B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1? 平面 AB1F1 平面 AB1F1平面 ACC1A1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 18 (1)如图所示，连接 AC，由 AB4，BC3，ABC90 ，得 AC5. 又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE. PA平面 ABCD，CD? 平面 ABCD，所以 PACD. 而 PA，AE是平面 PAE 内的两条相交直线，所以CD平面 PAE. (2)过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF. 由(1)CD平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是 BPF 为直线 PB 与平面 PAE所成的角，且 BGAE. 由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角AB4，AG2，BGAF，由题意，知 PBABPF，因为 sinPBAPAPB，sinBPFBFPB，所以 PABF. 由DABABC90 知，ADBC，又 BGCD，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GDBC3.于是 AG2. 在 RtBAG 中，AB4，AG2，BGAF，所以BGAB2AG22 5，BFAB2BG162 58 55.于是 PABF8 55. 又梯形 ABCD 的面积为 S12(53)416，所以四棱锥PABCD 的体积为V13SPA13168 55128 515. 19解析(1)证明：如图所示，取CD 的中点 E，连接 PE，EM，EA，PCD 为正三角形，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - PECD，PEPDsinPDE2sin60 3. 平面 PCD平面 ABCD，PE平面 ABCD，而 AM? 平面 ABCD，PEAM. 四边形 ABCD 是矩形，ADE，ECM， ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM3，AM6，AE3 EM2AM2AE2.AMEM. 又 PEEME，AM平面 PEM，AMPM. (2)解：由 (1)可知 EMAM，PMAM，PME 是二面角 PAMD 的平面角tanPMEPEEM331，PME45 . 二面角 PAMD 的大小为 4520(1)因为侧面 BCC1B1是菱形，所以 B1CBC1，又已知 B1CA1B，且 A1BBC1B，所以 B1C平面 A1BC1，又 B1C? 平面 AB1C所以平面 AB1C平面 A1BC1 . (2)设 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面B1CD 的交线因为 A1B平面 B1CD， A1B? 平面 A1BC1， 平面 A1BC1平面 B1CDDE，所以 A1BDE. 又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点即 A1DDC11. 21解(1)证明：连接 AE，如下图所示ADEB 为正方形AEBDF，且 F 是 AE 的中点，又 G是 EC的中点GFAC， 又 AC? 平面 ABC， GF?平面 ABC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - GF平面 ABC. (2)证明： ADEB 为正方形， EBAB，又平面 ABED平面 ABC，平面 ABED平面 ABCAB，EB? 平面 ABED，BE平面 ABC，BEAC.又ACBC22AB，CA2CB2AB2，ACBC. 又BCBEB，AC平面 BCE. (3)取 AB的中点 H，连 GH，BCAC22AB22，CHAB，且 CH12，又平面 ABED平面 ABCGH平面 ABCD，V1311216.22解析(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC. 又C1CAC.AC平面 BCC1B1 BC1? 平面 BCC1B，ACBC1.(2)证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1为正方形D 是 AB的中点， E 是 BC1的中点， DEAC1. DE? 平面 CDB1，AC1?平面 CDB1，AC1平面 CDB1. (3)解： DEAC1，CED 为 AC1与 B1C 所成的角在CED 中，ED12AC152，CD12AB52，CE12CB12 2，cosCED2522 25.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为2 25. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -