第二节-牛顿迭代法ppt课件.ppt
我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节第三节 牛顿迭代法与弦割法牛顿迭代法与弦割法1、牛顿法基本思想、牛顿法基本思想将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。将非线性方程将非线性方程线性化，线性化，取取 x0 x*，将将 f (x) 在在 x0 处做一阶处做一阶Taylor展开展开:20000)(!2)()()()(xxfxxxfxfxf ， 在在 x0 和和 x 之间之间2. 牛顿迭代法的原理牛顿迭代法的原理)*)()(*)(0000 xxxfxfxf ，可将，可将 (x* x0)2 看成看成高阶小量高阶小量，则有：，则有：如何实现？如何实现？*xx取取我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)()(*000 xfxfxx xyx*x010 1 2(), ,()kkkkfxxxkfx 只要只要 f C1，每一步迭代都有，每一步迭代都有 而且而且 ，则，则 x*就是就是 f 的根。的根。limkkxx 0()kfx 1x 1x2x000()()()yf xfxxx 1x是如下线性方程的根！是如下线性方程的根！00(,()xfx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3. 牛顿迭代法的几何解释：牛顿迭代法的几何解释：方程方程 的根的根 在几何上是曲线在几何上是曲线 与与 x 轴的交轴的交( )0fx *x( )yfx点的横坐标。若点的横坐标。若 是根是根 的一个近似，过曲线上横坐标为的一个近似，过曲线上横坐标为 kx*xkx的点的点 作曲线作曲线 的切线，则该切线与的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐轴交点的横坐kP( )yfx标即为标即为 。1kxxyx*x01x2x00(,()xfx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2.52.5：写出求写出求 的的牛顿牛顿迭代格式；迭代格式；写出求写出求 的的牛顿牛顿迭代格式迭代格式, ,要求公式中既要求公式中既无开方运算，又无除法运算。无开方运算，又无除法运算。0()a a 10()aa 解：解： 等价于求方程等价于求方程 的正根的正根200()()fxxaa 2110 1 222()(), ,()kkkkkkkkkfxxaaxxxxkfxxx 2( )fxx 解法一：解法一： 等价于求方程等价于求方程 的根的根2100()()()fxxaa 12( )()fxxa 21112()()()()kkkkkkkxfxaxxxfxxa 110 1 22(), ,kxka 退化为二分法退化为二分法！我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物32( )fxx 解法二：解法二： 等价于求方程等价于求方程 的正根的正根2100()()fxaax 21312()()kkkkkkkafxxxxxfxx 2130 1 22(), ,kkxaxk 设设 x* 为方程为方程 f (x) = 0的根，在包含的根，在包含x*的某个开区间内的某个开区间内 连连续，且续，且 ，则存在，则存在 x* 的邻域的邻域 ，使得任取初值使得任取初值 ，由，由牛顿迭代法牛顿迭代法产生的序列产生的序列 以不以不低于低于二阶二阶的收敛速度收敛于的收敛速度收敛于x*.( *),Bxxx *)(0 xBx ( )fx 0( )fx kx4、牛顿迭代法的局部收敛性定理、牛顿迭代法的局部收敛性定理我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物221 ( )( )( )( )( )fxf x fxxfx 其中其中 ，则，则()()()fxxxfx 201(*)(*)(*)(*)fxfxxfx 收敛收敛 证明：证明：牛顿迭代法牛顿迭代法事实上是一种事实上是一种特殊的不动点迭代特殊的不动点迭代我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物*xxekk设定义定义1. 10pc 若若 存存 在在 实实 数数和和满满 足足1limkkkee c11,21,2则 迭 代 法阶 收 敛 。，时 线 性 收 敛超 线 性 收 敛时 平 方 收 敛ppcpp ,p显 然越 大 收 敛 速 度 也 就 越 快-(9)3.5迭代法收敛迭代法收敛阶与加速收敛阶与加速收敛1、迭代法收敛迭代法收敛阶与加速收敛阶与加速收敛我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物从而确定收敛阶呢？如何确定那么,p()*,xx 如如 果果 迭迭 代代 函函 数数在在 精精 确确 解解处处 充充 分分 光光 滑滑即即 处处 处处 可可 导导有展开作在将,*)(Taylorxx 2*)(!2*)(*)*)(*)()(xxxxxxxxppppxxpxxxpx*)(!*)(*)()!1(*)()(1)1(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0*)()1(xp *)(*)(xx如果0*)()(xp而*)()(xxppxxpx*)(!*)()()(1kkxxpkpxxpxx*)(!*)(*)()(pkpxxpx*)(!*)()(*1xxk1)1(*)()!1(*)(pkpxxpx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理3-6 . pkkxxxx*1*)()!1(*)(!*)()1()(xxpxpxkpppxxkk的收敛阶是即迭代法)(1附近满足：在根如果迭代法迭代函数*)(xx阶导数切连续；存在 px)()1(,0*)()1(xp *)(*)()2(xx0*)()(xp而pxxkk的收敛阶是则迭代法)(1)( ,!*)()(kpxp（1）Newton迭代公式在单根情况下至少迭代公式在单根情况下至少2阶收敛阶收敛; （2） 设设 f(x*)=0, ,且在且在 x* 的邻域上的邻域上 f二次连续二次连续可微可微 ， 则可得则可得( *)0fx*1*2*()()()2()limnnnxxfxcxxfx 将将f(x)在在 xn 处作处作2阶阶Taylor展开展开,并将解并将解x*代入代入212222* 20 )x*x()x( f)(fx)x*x()x( f)(f)x( f)x(fxx)x*x(!)(f)x*x)(x( f)x(f*)x(fnnnnnnnnnnnnnnn 注意到注意到 n n 在在xn 及及x*之间之间,及及 , 故故*xxnnlim 所以，所以，Newton法至少二阶收敛法至少二阶收敛. )x( f)x(f)x( f)(fxxxx*nn*n*n2221*0()()00()()0fxfx二 阶 收 敛 若大 于 二 阶 收 敛 若21222* )x*x()x( f)(fx)x*x()x( f)(f)x( f)x(fxxnnnnnnnnnn 注意到注意到 n n 在在xn 及及x*之间之间,及及 ,故故*xxnnlim 1|* |lim (0)* |npnnxxccxx *1*2*()()lim()2()kxkxxfxxxfx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3.证明迭代法重根的是方程设,)2(0)(*mxfx)()(1kkkkxfxfxx为线性收敛为线性收敛证明证明:故重根的是方程因为,0)(*mxfx)(*)()(xgxxxfm2,0*)(mxg且所以所以)(xf )(*)()(*)(1xgxxxgxxmmm)(*)()(*)()(*)(1kmkkmkkmkkxgxxxgxxmxgxxx)()(1kkkkxfxfxx)(*)()()(*)(kkkkkkxgxxxmgxgxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物*1xxk)(*)()()(1*)(kkkkkxgxxxmgxgxx*lim1xxxxkkk)(*)()()(1(limkkkkkxgxxxmgxgm11 011,2mm时重根是线性收敛的该迭代法对)2(m例例4.证明迭代法且设,0)(,0)(afaf)()(1kkkkxfxfxx至少是平方收敛的至少是平方收敛的由定义由定义1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意例注意例4与例与例3的迭代法是相同的的迭代法是相同的,两例有何区别两例有何区别?证明证明:令令)()()(xfxfxx)(x则则22)()()()(1xfxfxfxf 2)()()(xfxfxf 0)( a所以所以由由定理定理2该迭代法至少是平方收敛的该迭代法至少是平方收敛的 Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其其迭代迭代函数函数为为: Newton迭代是局部线性化方法迭代是局部线性化方法,它在单根附近它在单根附近具有较高的收敛速度具有较高的收敛速度. 方法有效前提方法有效前提: : ( )( )( )fxxxfx()0kfx牛顿迭代法的优缺点牛顿迭代法的优缺点 优点：优点： 在单根附近在单根附近, 牛顿迭代法具有平方收敛的速牛顿迭代法具有平方收敛的速 度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精 确解确解。 缺点缺点:1. 重根情形下为局部线性收敛重根情形下为局部线性收敛; 2. 牛顿迭代法计算量比较大牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除因每次迭代除 计算函数值外还要计算微商值计算函数值外还要计算微商值; 3. 选定的初值要接近方程的解，否则有可能得选定的初值要接近方程的解，否则有可能得 不到收敛的结果不到收敛的结果;21牛顿迭代法的改进牛顿迭代法的改进缺点克服缺点克服: 1. 局部线性收敛局部线性收敛-改进公式或加速改进公式或加速 2.每步都要每步都要计算微商值计算微商值-简化简化Newton迭代法迭代法 或弦截法或弦截法 3. 初值近似问题初值近似问题-二分法求初值或二分法求初值或”下山算法下山算法”21方法一方法一. 若已知重数m(m1),则利用m构造新的迭代公式: 此时, , 至少2阶收敛. 不实用: m往往不确定.方法二方法二. 取 ,再对函数F(x)用Newton迭代:1()()kkkkfxxxmfx()*()( ),()0fxfxxxmx( )( )( )fxxfx12()()()()()()()kkkkkkkkkkxfxfxxxxxfxfxfx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物*()( )( )( )()( )xxg xxmg xxxgx2( )( )( )( )( )( )( )( )xfx fxxxxxfxfx fx从而可构造出相应的迭代法格式为从而可构造出相应的迭代法格式为12()()()()()kkkkkkkfxfxxxfxfxfx( )x对对 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为若已知根的重数为若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，可将迭代格式改为，10 1 2(), , ,()kkkkfxxxnkfx 则则*()0 x ，所以上述格式是平方收敛的。，所以上述格式是平方收敛的。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物收敛比牛顿迭代法收敛比牛顿迭代法慢慢，且对，且对初值要求同样高。初值要求同样高。第五节第五节 弦割法弦割法x0 x1切线切线 割线割线 切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率10110()()()fxfxfxxx 111()()()()kkkkkkkfxxxxxfxfx 需要需要2个初值个初值 x0 和和 x1。基本思想：基本思想：牛顿迭代法牛顿迭代法每一步要计算每一步要计算 f 和和 ，为了避免计算，为了避免计算导数值，现用导数值，现用 f 的差商近似代替微商的差商近似代替微商 ，从而得到，从而得到弦割法弦割法。f f x2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物Th2.10 局部收敛性局部收敛性 设设 表示区间表示区间 ， x*为方程为方程 f (x) =0的根，的根， 函数函数f (x)在在 中有中有足够阶连续导数足够阶连续导数， 且且 满足满足 ,xxI0 I则对则对 ，由割线法产生的序列，由割线法产生的序列 都收敛于都收敛于x*，且，且(i) (ii) (iii) 0();fxxI 2(),;()fMIf 1dM 01,xxI kx其中其中11limkqqkkeKe 2*(),()fxKfx 1151 6182().q 收敛速度介于收敛速度介于牛顿法牛顿法和和 二分法二分法 之间之间
