2022年概率论期末考试试题 .pdf

1.全概率公式贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的” 、 “一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和 0.3。并且它们分别占投保总人数的20% ， 50% 和 30% 。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？解：设Ai、 A2、A3分别表示“谨慎的”“一般的”和“冒失的”保险户，B 表示“发生事故” ，由贝叶斯公式知057.030.03 .015.05 .005.02.005.02.0)|()()|()()|()()|()()|(332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求: (1)考生在考试中答对第一道题的概率; (2)若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率. 3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3 。在三地拉到一级菜的概率分别为10% ，30% ，70% 。1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解： 1、解：设事件A表示拉到一级菜，1B表示从甲地拉到，2B表示从乙地拉到，3B表示从丙地拉到则1()0.2P B，2()0.5P B；3()0.3P B1()0.1P A B，2()0.3P A B, 3()0.7P A B则由全概率公式得31()()(/)iiiP AP BP A B=0.20.1 0.5 0.30.3 0.70.38（ 7 分）(2) 拉的一级菜是从乙地拉得的概率为222()()0.50.3()0.3947()0.38P BP A BP BAP A（10 分）2.一维随机变量5. 设随机变量X 在区间 0,1上服从均匀分布，求随机变量2XY=e的密度函数.6.).1 ,0(-XY),N(X2N用分布函数法证明：已知证明 : 设baXYxfXx),(, 则0a时 ,Y)(yfY=a1)(abyYf) 1 ,0(212)()()()()()(22)(222NYeeyfyFyFyfyFyXPyXyYPyFyyXXYYXY7.设随机7.变量 X 的密度函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 21( )101cxf xxx求（ 1） c 的值； （ 2）12P X； （ 3）EX (4)X的分布函数 .解：(1)由密度函数的性质1+-f(x)dx得：22111ccdxdxxx+1-1f(x)dx故 c=1-（ 4 分）(2) 1122112221111sin|231P Xdxarcxx- （7分）(3)EX=22011xxdxdxxx+1-1xf(x)dx-（ 10 分）8.设连续型随机变量X的分布函数为111000)(xxxAxxF，求:(1) 系数 A; (2)X 的分布密度f(x); (3)25.0X0P解： (1)A=1;(2) 其它01x021)(xxf;(3)0.5 3.二维随机变量10.设（ X， Y ）的分布为Y X - 1 0 1 - 1 0 1 1/ 8 1/ 8 1/ 8 1/ 8 0 1/ 8 1/ 8 1/ 8 1/ 8 证明 X 与 Y 不相关，也不独立。证明：cov（ X，Y） =EXY-EXEY - （1 分）而 EXY=0EX=0， EY=0-（3 分）cov(,)0XYX YDXDY故 X 与 Y 不相关。 - （5 分）下证独立性0,00P XY01/ 4P XPY=0=1/4- （8 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 0,000P XYP XP Y?故 X 与 Y 也不独立。-（10 分）11. (X,Y) 服从区域D 上的均匀分布,22(, )4Dx y xy，证明 X 与 Y 不独立也不相关. 12.设随机变量 (X,Y) 服从区域 D上的均匀分布，其中D=(x,y)|x2+y21, 求：（1）X 与 Y的边缘密度函数； （ 2）判断 X与 Y是否独立。解： (1) fX(x)=其它0112xx，fY(y)=其它0112yy(2) X与 Y不独立。4.中心极限定理13. 某车间有同型号机床200 部，每部开动的概率为0.7，各机床开关独立，开动时每部要耗电15 个单位，问至少要供应该车间多少单位电能，才能以 95% 的概率保证不致因供电不足而影响生产. (1.64)=0.95,42 6.48).解：X用表示任一时刻车间有同型号机床，则(200,0.7)XB，则140EX,42DX（ 3 分）假定至少需要m单位电能，则有：()0.9515mP X由中心极限定理可得：14014014015150.95()()()15424242mmmXP XP（ 8 分）从而有：140151.6442m，所以2265m，故至少需准备2265 单位电能（10 分）14.某学院校园网中家属区每晚约有400 台电脑开机, 而每台电脑约有54的时间登入互联网, 并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关, 计算其中至少 300 台同时在互联网上的概率. (2.5)=0.99379) 15.某计算机有120 个终端，每个终端在一小时内平均有3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10 个终端同时使用打印机的概率。(1.68)=0.95352, 7.5 2.3874) 解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20 ，设同时有X 个终端使用，则X B(120,1/20)， EX=np=6， DX=npq=5.7，由于 n=120 很大，由中心极限定理，近似地XN(6,5.7) P(X 10)=1-F(10)=1-(7. 5610)=1-(1.68)=1-0.95352=0.04648 16.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为100 小时，将3 个这样的元件串联在一个线路中，求：在150 小时后线路仍正常工作的概率。解：由题可知0.01- （ 2 分）则某电子元件的寿命超过150 小时的概率为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 1.51501(150)pP XFe- （8 分）故三个串联150 小时仍正常的概率为34.5pe- （10 分）5.极大似然估计17.设总体 X 的密度函数为);(xf其它001xex(0), 若),(21nXXX为来自总体的一个样本, 求未知参数的最大似然估计值.18.设总体X的分布密度为其他00, 10)(1xxxf， 若XXXn12，为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计。解：似然函数L(X1, X2, Xn,)= 11inixlnL= nln +ln( -1)niiX1ln，由0lndLd解得所求最大似然估计量niiXn1ln?19.设XXXn12，为总体X的一个样本，且X的概率分布为, 3,2, 1,)1(1kppkXPk,12nxxxL， ，为来自总体X的一个样本观察值，求p的极大似然估计值 .证明：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -