高等数学-上、下册5-4-定积分的应用举例ppt课件.ppt

第四节第四节 定积分的应用举例定积分的应用举例 在本章第一节，我们从实际问题引进定积分的概在本章第一节，我们从实际问题引进定积分的概念念. .在几何、物理、在几何、物理、 经济学等各个领域，有许多问题经济学等各个领域，有许多问题都可用定积分予以解决，本节首先阐明定积分的元素都可用定积分予以解决，本节首先阐明定积分的元素法，再举例说明定积分的具体应用法，再举例说明定积分的具体应用. . 由由第第一一节节的的实实例例（曲曲边边梯梯形形面面积积和和变变力力做做功功）分分析析可可见见，用用定定积积分分表表达达某某个个量量 Q分分为为四四个个步步骤骤： 一、定积分的元素法一、定积分的元素法 第一步，第一步，分割分割. .把所求的量把所求的量 Q 分割成若干个部分量分割成若干个部分量Qi，这需选择一个被分割的变量，这需选择一个被分割的变量 x 和被分割的区间和被分割的区间, a b. .例如，对曲边梯形面积例如，对曲边梯形面积 A，选择曲边，选择曲边2yx中的自中的自变量变量 x 作为被分割的变量，被分割的区间是作为被分割的变量，被分割的区间是0,1. .对变对变力所做的功力所做的功 W，选择质点位置作为被分割变量，被分割，选择质点位置作为被分割变量，被分割区间是质点的位移区间区间是质点的位移区间. . 第二步，第二步， 近似近似. .考察任一小区间考察任一小区间,1iix x上上 Q 的部分的部分量量iQ的近似值的近似值. .对曲边梯形面积对曲边梯形面积 A，在小区间，在小区间1,iix x上，用直线上，用直线( )iyf代替曲线代替曲线( )yf x，即以小矩形面，即以小矩形面积积( )iifx代替小曲边梯形面积代替小曲边梯形面积iA，得，得( )iiiAfx. .对变力做功对变力做功 W， 在小位移区间， 在小位移区间1,iix x上， 用常力上， 用常力( )if代代替变力替变力( )f x，得，得 W 的部分量的部分量( )iiiWfx. .类似地，部类似地，部分量分量iQ的近似值也应表成的近似值也应表成( )iifx的形式的形式. . 近似值近似值( )df xx称为量称为量 Q 的微元（或元素） ，记作的微元（或元素） ，记作d dQ，即，即d( )dQf xx. .这里我们指出（但不作证明） ，这里我们指出（但不作证明） ，d dQ作为作为Q的近似值的近似值, ,其误差其误差dQQ应是小区间长度应是小区间长度x的高阶无穷小的高阶无穷小, ,即即d( )d( )Qf xxf xx应满足应满足 d()( )()QQxf xxx . . 第三步第三步, ,列积分列积分. .以量以量 Q 的微元的微元d( )dQf xx为被积为被积表达式，在表达式，在, a b上积分，便得所求量上积分，便得所求量 Q，即，即 ( )dbaQf xx. . 上述把某个量表上述把某个量表达为定积分的简化方法称为定积达为定积分的简化方法称为定积分的元素法分的元素法. .下面我们将应用这一方法来讨论一些问下面我们将应用这一方法来讨论一些问题题. . 图图 5-8xyO2yx2yxx x+dx二、平面图形的面积二、平面图形的面积 例例 1 1 求求由由抛抛物物线线2yx与与直直线线2yx围围成成的的图图形形的的面面积积. 例例 2 2 求求椭椭圆圆周周22221xyab围围成成图图形形的的面面积积. yO图图5-9yabx+dxx-a于于是是222220041 4dcosd42 2abbAaxxat tababaa. 例例 3 3 求求由由抛抛物物线线22yx及及直直线线4yx所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积. O(8,4)-2yy+dy4A1A2(2,-2)y2=2xy=x-4xy图图5- -10Oxbay=f ( x)y=g( x)图图5- -11事实上事实上, ,例例 3 3 也可以选择也可以选择 x 为积分变量为积分变量, ,积分区间为积分区间为0,8, ,但是但是, ,当小区间当小区间,dx xx取在取在0,2中时中时, ,面积微元面积微元为为d22dAxxx , ,而当小区间取在而当小区间取在2,8中时中时, ,面面积微元为积微元为d2(4) dAxxx, ,因此因此, ,积分区间须分成积分区间须分成0,2和和2,8两部分两部分, ,即所给图形由直线即所给图形由直线2x 分成两部分分成两部分, ,分别计算两部分的面积再相加分别计算两部分的面积再相加, ,得所求面积得所求面积, ,即即 2802283/23/22022(2 ) d2(4) d2212 224332163818.33Axxxxxxxxxx 用垂直于用垂直于 x 轴的平面截旋转轴的平面截旋转体体, ,所得截面都是圆所得截面都是圆, ,其面积为其面积为 半径半径2. .现在我们用垂直于现在我们用垂直于 x 轴轴的平行平面的平行平面, ,把旋转体分割成把旋转体分割成 n 个个小旋转体小旋转体, ,即选择即选择 x 为积分变量为积分变量, ,积分区间为积分区间为, a b. . Oxabxy=f(x)图图 5- -12考虑小区间考虑小区间,dx xx上小旋转体的体积上小旋转体的体积V, ,用以用以半径为半径为( )f x的圆为底的圆为底, ,高为高为dx的圆柱体体积的圆柱体体积2( )df xx作为近似作为近似, ,即得体积微元为即得体积微元为 2d( )dVf xx, , 于是于是, ,旋转体的体积为旋转体的体积为 2( ) dbaVf xx. . 例例 4 4 设设平平面面图图形形由由曲曲线线2yx与与直直线线 1x 及及0y 围围成成,试试求求: (1)绕绕 x 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积; (2)绕绕 y 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积. 解解 (1)(1)图形是曲边梯形（图图形是曲边梯形（图5-13）. 体积公式中的积分体积公式中的积分区间为区间为0,1,所以绕所以绕x轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积为为,2)(xxf11200(2)4xVxdxxdx12042 .2x图图5- -13yx1O2yx2y不是曲边梯形，从而不能直接用公式不是曲边梯形，从而不能直接用公式. 由于图形旋转而成由于图形旋转而成(2)(2)计算体积时应该用绕计算体积时应该用绕y 轴旋转的公式，但图形关于轴旋转的公式，但图形关于 的旋转体体积，可以看成分别以直线的旋转体体积，可以看成分别以直线x =1=1及曲线及曲线 为为42yx 曲边梯形曲边梯形 (图图5-14) 绕绕y 轴旋转而成的旋转体体积之差轴旋转而成的旋转体体积之差, 所以所以x=1x图图5- -1421yO42yx 2224001116yVdyy dy 2250080yy3282805OaA(x)bx图图 5- -152 2. .平平行行截截面面面面积积为为已已知知的的立立体体体体积积 *AOBxa-aPQRyx图图5- -1622231( )dtan d211tantan23aaaaaaVA xxaxxa xx. * *四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 在平面几何中，直线的长度容易计算，而曲线（除在平面几何中，直线的长度容易计算，而曲线（除圆弧外）长度的计算就比较困难圆弧外）长度的计算就比较困难. .现在将讨论这一问题现在将讨论这一问题. . 用用直直线线段段连连接接分分点点, ,得得折折线线 121nAM MMB, ,以以折折线线长长度度作作 为为弧弧AB长长 s 的的近近似似值值 11niiisMM, , 当当11max0iii nMM 时时, ,上上述述和和 式式的的极极限限即即为为曲曲线线段段弧弧AB的的弧弧长长. . yOxM1Mi-1MiMn-1B=MnA=M0图图 5- -17下面推导弧长的计算公式下面推导弧长的计算公式. 设曲线弧设曲线弧AB由参数方程由参数方程 ,xttyt 给出给出,其中其中 ,tt在区间在区间, 上具有连续的且不同时为零的导数上具有连续的且不同时为零的导数,端点对应于端点对应于 t,端点端点 B 对应于对应于 t. xyxx+dxAMNPdsdxdyy=f (x)ysO图图 5 - -18使得弧长微分使得弧长微分(即弧微分即弧微分) 2222ddddsxyttt, 于是弧于是弧AB的长度为的长度为 22dsttt. 解解 dd(1 cos ),sin ,ddxyatattt 故故弧弧长长微微元元 22222d(1 cos )sind2(1 cos )d2sind2sind ,22satat tattttatat 于于是是 22002sin d4cos822ttsataa. . xyO图图5- -19(1 sin )(1 cos )xatyat2a 解解 曲曲线线由由直直角角坐坐标标方方程程给给出出, ,取取 x 为为参参数数( (即即积积分分变变量量) ), ,弧弧长长微微元元 22dd1 () d1ddysxxxx, , 于于是是 12012201d11ln(1)2221ln 12 .22sxxxxxx 例例 7 7 求抛物线求抛物线22xy 对应对应01x一段的弧长一段的弧长. 当当曲曲线线由由极极坐坐标标方方程程 给给出出时时, ,它它有有以以为为参参数数的的参参数数方方程程 cos ,sin ,xy 由由此此不不难难证证明明弧弧微微分分为为 22dddds. . 应应注注意意的的是是: :弧弧长长微微元元非非负负, ,取取积积分分时时, ,上上限限要要大大于于下下限限. . 图图 5- -20 xO5cm1.1.变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 五、定积分的其他应用五、定积分的其他应用在在区区间间0,0.05中中任任一一小小区区间间,dx xx上上拉拉力力所所做做的的功功, ,即即功功的的微微元元 dd100 dWF xx x, , 于于是是拉拉力力使使弹弹簧簧拉拉长长5cm0.05m所所做做的的功功 0.050.05200100 d500.125(J)Wx xx. . xyOxdx图图 5- -21取取 x 为积分变量为积分变量, ,0,4x. .与小区间与小区间,dx xx对应的是厚对应的是厚度为度为dx的一层水的一层水, ,这层水的体积这层水的体积 223dd 16dmVyxxx, , 其所受重力其所受重力 2dd16dkPg VgxxN, , 其中水的密度其中水的密度3310/mkg, ,重力加速度重力加速度29.8m/gs, ,把把这层水抽出这层水抽出, ,至少需提升至少需提升 x( (单位单位: :m) )距离距离, ,故需做功至少故需做功至少为为 2d16dkJWWgxx x 因此因此, ,把水抽干需做的功至少为把水抽干需做的功至少为 420422016d116641964.4 kJ4Wgxx xgxg Oyxhxx+dx2a图图 5- -222 2. .水水压压力力 例例 1 10 0 设设有有一一等等腰腰三三角角形形闸闸门门,垂垂直直置置于于水水中中,底底边边与与水水面面相相齐齐,一一直直闸闸门门底底边边长长为为 a(单单位位: m),高高为为 h(单单位位:m)，试试求求闸闸门门的的一一侧侧所所受受的的水水压压力力. 对应小区间对应小区间,dx xx, ,闸门上有高为闸门上有高为 dx的小条的小条, ,其面其面积积2d2 d1dmxAAy xaxh, ,其上的压强近似等其上的压强近似等于于2kN/m,gxg为重力加速度为重力加速度, ,故其上所受的水压力故其上所受的水压力 d1dkNxFFagxxh, , 于是整个闸门所受水压力为于是整个闸门所受水压力为 23200111dkN236hhxgFagxxagxxahhh. . *3.*3.定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 在第四章中已经介绍了经济学中常见的几种函数在第四章中已经介绍了经济学中常见的几种函数, ,如成本函数如成本函数( )C Q, ,收益函数收益函数( )R Q, ,利润函数利润函数( )L Q, ,需求需求函数函数( )Qf P, ,供给函数供给函数 QP, ,又介绍了它们的导又介绍了它们的导数数, ,分别为边际成本函数分别为边际成本函数 C Q, ,边际收益函数边际收益函数 R Q, ,边际利润函数边际利润函数( )L Q, ,边际需求函数边际需求函数 QfP以及边际以及边际供给函数供给函数 QP, ,其中其中 Q 表示产量表示产量, ,销售量销售量, ,需求量需求量或供给量或供给量,P 为价格为价格. .由某一经济函数求它的边际函数由某一经济函数求它的边际函数是求导运算是求导运算, ,在实际问题中也有相反的要求在实际问题中也有相反的要求, ,即已知边即已知边际函数际函数, ,需考虑对应的经需考虑对应的经济函数济函数, ,这是积分运算这是积分运算. .下面下面通过具体例子说明定积分在经济中的应用通过具体例子说明定积分在经济中的应用. . 在第三章中已经介绍了经济学中常见的几种函数在第三章中已经介绍了经济学中常见的几种函数例例1111 每天生产某产品每天生产某产品Q单位时单位时, ,固定成本价为固定成本价为2020元元, ,边际成本函数为边际成本函数为 0.42C QQ( (元元/ /单位单位).). (1)(1)求成本函数求成本函数( )C Q； (2)(2)如果这种产品销售价为如果这种产品销售价为 1818 元元/ /单位单位, ,且产品可以且产品可以全部售出全部售出, ,求利润函数求利润函数( )L Q； (3)(3)每天生产多少单位产品时每天生产多少单位产品时, ,才能获得最大利润才能获得最大利润? ? 解解 (1)边际成本的某个函数边际成本的某个函数 1C Q为可变成本为可变成本,它满它满足足 100C,故故 2100.42 d0.22QC QttQQ. 成本函数是可变成本成本函数是可变成本 1C Q与固定成本与固定成本 0C之和之和,于是于是 210( )0.2220.C QC QCQQ (2)(2)利润函数是收益函数与成本函数之差利润函数是收益函数与成本函数之差, ,于是于是 22( )( )( )180.2220160.220.L QR QC QQQQQQ 3160.4 .L QQ 令令 0,L Q得得40Q , ,即当每天生产即当每天生产 4040 单位产品时单位产品时, ,利润最大利润最大, ,最大利润为最大利润为 24016 400.2 4020300L( (元元).). 例例 12 12 已知生产某产品已知生产某产品Q单位时单位时, ,总收益的变化率总收益的变化率( (即边际收益即边际收益) )为为 2000 ,100 xR xx (1)(1)求生产该产品求生产该产品 5050 单位时的总收益单位时的总收益； (2)(2)如果已经生产了如果已经生产了 100100 单位单位, ,求再生产求再生产 100100 单位时单位时, ,总收益的增加量总收益的增加量. . 内容小结内容小结1. 定积分的定积分的几何应用几何应用作业作业P205 1(1), (4), (6), *4, *5求平面图形的面积求平面图形的面积求旋转体体积求旋转体体积*求平行截面面积为已知的立体体积求平行截面面积为已知的立体体积2. 定积分的定积分的物理应用物理应用*求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长求变力沿直线所作的功求变力沿直线所作的功求水压力求水压力