高等代数第八章-λ-矩阵(北大版)ppt课件.pptx

变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-7-28数学与应用数学变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学定义定义：若矩阵若矩阵A的元素是的元素是 的多项式，即的多项式，即 的元素，则的元素，则 P 设设P P是一个数域，是一个文字，是多项式环，是一个数域，是一个文字，是多项式环， P 称称A为为 矩阵矩阵，并把，并把A写成写成 ( ).A 注：注： 数域数域P上的矩阵上的矩阵数字矩阵也数字矩阵也 ,PP 是是 矩阵矩阵.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学其定义与运算规律与数字矩阵相同其定义与运算规律与数字矩阵相同. 对于对于 的的 矩阵，同样有行列式矩阵，同样有行列式 nn |( )|,A 它是一个它是一个 的多项式，且有的多项式，且有 |( ) ( )| |( )|( )|.ABAB 这里这里 为同级为同级 矩阵矩阵.( ),( )AB 与数字矩阵一样，与数字矩阵一样，矩阵也有子式的概念矩阵也有子式的概念. 矩阵的各级子式是矩阵的各级子式是 的多项式的多项式. 矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学若若矩阵矩阵 中有一个中有一个 级子式不为零，级子式不为零， ( )A (1)r r 而所有而所有 级的子式（若有的话）皆为零，则称级的子式（若有的话）皆为零，则称1r ( )A 的的秩为秩为r .定义定义：零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为0. 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学一个一个 的的 矩阵矩阵 称为称为可逆的可逆的，如果有一，如果有一 nn ( )A ( ) ( )( ) ( )ABBAE一个一个 的的矩阵矩阵 ，使，使 ( )B nn 定义定义：这里这里E是是n级单位矩阵级单位矩阵. 称称 为为 的逆矩阵的逆矩阵(它是唯一的它是唯一的)，记作，记作( )B ( )A 1( ).A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学（定理定理1） 一个一个 的的矩阵矩阵 可逆可逆nn ( )A 是一个非零常数是一个非零常数.( )A 证证: “ ” 若若 可逆，则有可逆，则有 ，使，使( )A ( )B ( ) ( )ABE 两边取行列式，得两边取行列式，得( ) ( )( )( )1ABABE( ) ,( )AB都是零次多项式，即为非零常数都是零次多项式，即为非零常数. 判定判定：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学“ ” 设设 是一个非零常数是一个非零常数. ( )Ad 为的伴随矩阵，则为的伴随矩阵，则 ( )A ( )A 11( )( )( ) ( )AAAAEdd( )A 可逆可逆. 11( )( ).AAd 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学 矩阵的矩阵的初等变换初等变换是指下面三种变换是指下面三种变换: 矩阵两行矩阵两行（列）（列）互换位置；互换位置； 矩阵的某一行（列）乘以非零常数矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ；是一个多项式是一个多项式.( ) 矩阵的某一行矩阵的某一行（列）（列）加另一行加另一行（列）（列）的的 倍，倍， ( ) 定义定义：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学代表第代表第 行乘以非零数行乘以非零数 c ； ( )i ci( ( )ij 代表把第代表把第 行行( (列列) )的的 倍加到第倍加到第j( ) i为了书写的方便，我们采用以下记号为了书写的方便，我们采用以下记号代表代表 两行两行( (列列) )互换；互换； , i j, i j行行( (列列).).变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学将单位矩阵进行一次将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的矩阵的初等变换所得的 矩阵称为矩阵称为 矩阵的矩阵的初等矩阵初等矩阵. 定义定义： 全部初等矩阵有三类：全部初等矩阵有三类：i行行 j行行 11011011 ( , )P i j 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学11( )( , ( ( )11p i j i 行行 j行行 11( ( )11p i cc i 行行变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学 初等矩阵皆可逆初等矩阵皆可逆. 1( , )( , )p i jp i j 11( ( )( ( )cp i cp i 1( , ( ( )( , ( )p i jp i j 对一个对一个 的的 矩阵矩阵 作一次初等行变换作一次初等行变换 sn ( )A 就相当于在就相当于在 在的左边乘上相应的在的左边乘上相应的 的初等矩的初等矩 ( )A ss 阵；对阵；对 作一次初等列变换就相当于在作一次初等列变换就相当于在 的右的右( )A ( )A 边乘上相应的边乘上相应的 的初等矩阵的初等矩阵.nn 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学为矩阵为矩阵 ，则称，则称 与与 等价等价.( )B ( )B ( )A 矩阵矩阵 若能经过一系列初等变换化若能经过一系列初等变换化 ( )A 1) 矩阵的等价关系具有矩阵的等价关系具有: 反身性反身性: 与自身等价与自身等价. ( )A 对称性对称性: 与与 等价等价 与与 等价等价. ( )A ( )A ( )B ( )B 传递性传递性: 与与 等价等价, , 与与 等价等价( )A ( )B ( )B ( )C 与与 等价等价.( )A ( )C 定义定义：性质性质：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学2) 与与 等价等价 存在一系列初等矩阵存在一系列初等矩阵 ( )A ( )B 11,StPP QQ使使11( )( ).StAPP BQQ 1.（）设设 矩阵矩阵 的左上角元素的左上角元素 ( )A 11( )0,a 且且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定中至少有一个元素不能被它整除，那么一定( )A 可以找到一个与可以找到一个与 等价的矩阵等价的矩阵 ，它的左上它的左上( )A ( )B 角元素角元素 ，且且 . 11( )0b 1111( )( )ba 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学证：根据证：根据 中不能被中不能被 除尽的元素所在的除尽的元素所在的( )A 11( )a 位置，分三种情形来讨论位置，分三种情形来讨论:i) 若在若在 的第一列中有一个元素的第一列中有一个元素 不能被不能被 ( )A 1( )ia 11( )a 除尽，除尽，其中余式其中余式 ，且且 11( )( )r xa ( )0r 对对 作下列初等行变换作下列初等行变换:( )A 11111( )( )( )1( )( )( )iaaAiqar 111( )( ) ( )( ),iaaqr则有则有 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学1, 11( )( ).( )irBa ( )B 的左上角元素的左上角元素 符合引理的要求符合引理的要求，( )r ( )B 故故 为所求的矩阵为所求的矩阵.ii) 在在 的第一行中有一个元素的第一行中有一个元素 不能被不能被 ( )A 1( )ia 11( )a 除尽除尽，这种情况的证明这种情况的证明i)与类似与类似.iii) 的第一行与第一列中的元素都可以被的第一行与第一列中的元素都可以被 ( )A 11( )a 除尽，但除尽，但 中有另一个元素中有另一个元素 ( )A ( ) (1,1)ijaij 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学被被 除尽除尽. 11( )a 对对 作下述初等行变换作下述初等行变换:( )A 1111( )( )( )( )( )jiijaaAaa 1111( )( )0.( )( ) ( ) .jijjaaaa 111( )( ) ( ).iaa 我们设我们设 1( )i 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学1111( )( )(1( )( )0( )( ) ( )ijjijjaaaaa 1( )A 矩阵矩阵 的第一行中，有一个元素：的第一行中，有一个元素： 1( )A 1( )(1( )( )ijjaa 不能被左上角元素不能被左上角元素 除尽，转为情形除尽，转为情形 ii) .11( )a 证毕证毕. 1i 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学2.（）任意一个非零的任意一个非零的 的的 一矩阵一矩阵sn ( )A 都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵 12( )( )( )00rddd 其中其中 1,( ) (1,2, )irdir 是首项系数为是首项系数为1的的多项式，且多项式，且1( )( ) (1,2,1).iiddir 称之称之为为的的标准标准形形.( )A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学证证: 经行列调动之后，可使经行列调动之后，可使 的左上角元素的左上角元素( )A 11( )0a , ,若若 不能除尽不能除尽 的全部元素，的全部元素， 11( )a ( )A 由引理，可以找到与由引理，可以找到与 等价的等价的 ，且，且 ( )A 1( )B 由引理，又可以找到与由引理，又可以找到与 等价的等价的 ，且，且1( )B 2( )B 如此下去，将得到一系列彼此等价的如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵：矩阵：左上角元素左上角元素 ，1( )0b 111( )( ) .ba 1( )B 若若 还不能除尽还不能除尽 的全部元素，的全部元素，1( )B 1( )b 左上角元素左上角元素 ， 21( )( ) .bb 2( )B 2( )0b 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学但次数是非负整数，不可能无止境地降低但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个因此在有限步以后，将终止于一个 矩阵矩阵( )sB 它的左上角元素它的左上角元素 ，而且可以除尽而且可以除尽 ( )0sb ( )sB 的全部元素的全部元素 即即( ),ijb ( )( )( ),1,2, ;1,2, .ijsijbbqjisjn对对 作初等变换作初等变换:( )sB 12( ),( ),( ),.ABB 它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学213121132 1(),3 1(),2 1(),3 1(),1( )000( )( )0sqqqqbBA 中的全部元素都是可以被中的全部元素都是可以被 除尽的，除尽的，1( )A ( )sb 因为它们都是因为它们都是 中元素的组合中元素的组合. ( )sB 如果如果 ，则对于则对于 可以重复上述过程，可以重复上述过程， 1( )0A 1( )A 进而把矩阵化成进而把矩阵化成 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学122( )000( ),00( )00ddA 其中其中 与与 都是首都是首1多项式多项式(与与 1( )d 2( )d 1( )d ( )sb 只差一个常数倍数），而且只差一个常数倍数），而且12( )|( ),dd2( )d 能除尽能除尽 的全部元素的全部元素.2( )A 如此下去，如此下去， 最后就化成了标准形最后就化成了标准形.( )A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学例例 用初等变换化用初等变换化 矩阵为标准形矩阵为标准形.2232121( )11A23 1231211( )011 1A 解：解：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学21,3321211011 13 12321 21101 22 1(21),3 1(1)3210000 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学22,32310000 3 2()22100000 3 2(1)3( 1)21 0000( )0 0B 即为即为 的标准形的标准形.( )B ( )A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学1. 定义定义：注：注：阶阶行列式因子行列式因子.k的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式 称为称为 的的 ( ),kD ( )A 中必有非零的中必有非零的 级子式，级子式， 中全部中全部 级子式级子式( )A kk( )A 设矩阵设矩阵 的秩为的秩为 ，对于正整数，对于正整数 ， rk1,kr( )A 若若 秩秩 ，则，则 有有 个行列式因子个行列式因子. ( )Ar r( )A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学行列式因子行列式因子.1) （定理（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级等价矩阵具有相同的秩与相同的各级（即初等变换不改变（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证，证：只需证， 矩阵经过一次初等变换，秩与行矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的列式因子是不变的2. 有关结论有关结论设设 经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成 ， 与与( )B ( )A ( )f 分别是分别是 与与 的的 k 级行列式因子级行列式因子( )A ( )g ( )B 下证下证 ，分三种情形：，分三种情形：fg 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学 级子式反号级子式反号. k公因式，公因式，此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或k( )B 者等于者等于 的某个的某个 级子式，级子式，k( )A 或者与或者与 的某个的某个( )A 因此，因此， 是是 的的 级子式的级子式的k( )B ( )f ,( )( ).i jAB( )( ).fg从而从而 ( )( ).i cAB 级子式的级子式的 c 倍倍.k者等于者等于 的某个的某个 级子式，或者等于级子式，或者等于 的某个的某个( )A k( )A 此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或k( )B 因此，因此， 是是 的的 级子式的级子式的( )f k( )B 公因式，公因式，( )( ).fg从而从而 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学此时此时 中包含中包含 两行两行( )B , i j级子式相等；级子式相等； .ijAB 的和不包含的和不包含 行的那些行的那些 级子式与级子式与 中对应的中对应的kjk( )A 中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的行的 级级kji( )B 子式，按子式，按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个( )A ikk级子式的级子式的 倍的和，倍的和，( ) 即为即为 的两个的两个 级子式级子式( )A k从而从而 ( )( ).fg的组合，的组合， 因此因此 是是 的的 级子式的公因式，级子式的公因式，k( )f ( )B 同理可得，同理可得，( )( ).gf( )( ).fg变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学2）若若 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为 ( )A 1( )( )( )00rddD 其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且1( ),( )rdd1( )( ),1,2,1,iiddir 则则 的的 级行列式因子为级行列式因子为( )A k12( )( )( )( ),1,2,.kkDdddkr变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学证：证： 与与 等价，等价，( )A ( )D 完全相同，则这个完全相同，则这个 级子式为零级子式为零.k在在 中，若一个中，若一个 级子式包含的行、列指标不级子式包含的行、列指标不k( )D ( )( )AD与与 有相的秩与行列式因子有相的秩与行列式因子.12(1, ,),ki iir级子式级子式所以只需考虑由所以只需考虑由 行与行与 列组成的列组成的12, ,ki ii12, ,ki iik1( )( ).kiidd即即而这种而这种 级子式的最大公因式为级子式的最大公因式为k12( )( )( ).kddd所以，所以， 的的 级行列式因子级行列式因子( )A k12( )( )( )( ),1,2,.kkDdddkr变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学证：设证：设 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为 ( )A 3）（定理（定理4） 矩阵的标准形是唯一的矩阵的标准形是唯一的. 1( )( )( )00rddD 其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且1( ),( )rdd1( )( ),1,2,1,iiddir 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学于是于是 211211( )( )( )( ),( ),( )( )( )rrrDDdDddDD 即由即由 的行列式因子所唯一确定的行列式因子所唯一确定. 1( ),( )rdd( )A 由由2），）， 的的 级行列式因子为级行列式因子为k( )A 12( )( )( )( ),1,2,.kkDdddkr4）秩为秩为 的的 矩阵的矩阵的 个行列式因子满足：个行列式因子满足：r r1( )( ),1,2,1.kkDDkr 所以所以 的标准形唯一的标准形唯一.( )A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学1. 定义定义： 矩阵矩阵 的标准形的标准形( )A 称为称为 的的不变因子不变因子.( )A 12( ),( ),( )rddd的主对角线上的非零元素的主对角线上的非零元素1( )( )( )00rddD 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学有相同的标准形，有相同的标准形，1)（定理定理5） 矩阵矩阵 、 等价等价 ( )( )AB( )( )AB、 有相同的不变因子有相同的不变因子. 证：必要性显然证：必要性显然. 只证充分性只证充分性. 2. 有关结论有关结论所以所以 与与 等价等价.( )( )AB若若 与与 有相同的行列式因子，则有相同的行列式因子，则( )( )AB与与 也有相同的不变因子，也有相同的不变因子，( )( )AB( )( )AB、 有相同的行列因子有相同的行列因子. ( )( )AB从而从而 与与变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学则则 ， 为一非零常数为一非零常数.( )Ad d 的第的第n个行列式因子个行列式因子 ( )A 1.nD 1( )( ),1,2,1.kkDDkn 证；若证；若 可逆，可逆，( )A 因子全部为因子全部为1， 的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵 ，即，即E( )A 与与 等价等价.E( )A 2）若若 的的 矩阵矩阵 可逆，则可逆，则 的不变的不变nn ( )A ( )A 又又 的的n个行列式因子满足个行列式因子满足: ( )A ( )1,1,2, .kDkn 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学从而不变因子从而不变因子 1( )( )1,1,2,( )kkkDdknD 所以，所以， 的标准形为的标准形为 ( )A .E矩阵的乘积矩阵的乘积.注注： 可逆可逆 与与 等价等价.( )A E( )A 3)（定理（定理6） 可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等( )A ( )A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学证：证： 可逆可逆 与与 等价等价( )AE ( )A 存在初等矩阵存在初等矩阵11,stPP QQ使使11( )stAPP EQQ 11.stPPQQ 存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆( )P ss nn ( )( ) ( ) ( ).BPAQ 推论推论：两个：两个 的的 矩阵矩阵 、 等价等价 sn ( )( )AB矩阵矩阵 ，使，使 ( )Q 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学例例、求、求 矩阵的不变因子矩阵的不变因子 2200100001A 21000210200210002A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学 22,1. 11D ( )A 的非零二级子式为的非零二级子式为: 2201 ,0 23201.01 解：解：1） 的非零的非零1级子式为级子式为: ( )A 20,01 2200( )00001A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学 21 .D 又又 3231.DA所以，所以， 的不变因子为的不变因子为 ： A 211211,1 ,DdDdD 23321.DdD 2200( )00001A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学2） 1002101,021 又又 1223,DDDD 121.DD而而 442.DA的不变因子为的不变因子为 ( )A 412341,2.dddd 31.D 2100021000210002A 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学练习：求练习：求 的不变因子的不变因子( )A 1210001000000001nnaaAaa 答案答案: 111,ndd 111.nnnnndAaaa 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学定理：定理：数字矩阵数字矩阵 相似相似 与等价与等价.,A BEAEB变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学设设P为数域为数域 若有若有 ，,n nA BP 00,n nP QP 则则A与与B相似相似.证：由证：由 00PEB Q EA 0000PQP BQ 得得 0000,PQEP BQA即即100,PQ 00EAPEB Q 使使 A与与B相似相似.100.AQBQ 0000P EQP BQ 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学对任意对任意 及任意及任意 -矩阵矩阵n nAP ,UV 0UEA QU使使 0VREAV 一定存在一定存在 -矩阵矩阵 及及 ,QR00,n nUVP 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学证：证：这里这里 且且 01,n nmD DDP 00.D 1011,mmmmUDDDD 设设 i) 若若 则令则令 0,m 000,.QUD ii）若若 设设 0,m 120121( ),mmmmQQQQQ这里这里 为待定矩阵为待定矩阵.n niQP 于是于是 1010mmQQAQ 1121m kkkmmmQAQQAQAQ EA Q 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学要使式成立，只需取要使式成立，只需取 00101112110kkkmmmmmQDQAQDQAQDQAQDAQUD 即即 00110111201kkkmmmmmQDQDAQQDAQQDAQUDAQ 即可即可.同理可证同理可证. 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学设设 ，则，则A与与B相似相似 ,n nA BP 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.EA EB 证：证： 若若A与与B相似，则存在可逆矩阵相似，则存在可逆矩阵T，于是于是 1TEB T 由定理由定理6之推论，得之推论，得EA 与与 等价等价. EB 1.ATBT 使使EA 1ETBT 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学若若 与与 等价，等价，EA EB 则存在可逆则存在可逆 矩阵矩阵 ，使，使 ( ),( )UV( )() ( ).EAUEB V ( )R 及及 ，使，使00,n nU VP 存在存在 矩阵矩阵 ( ),Q 由引理由引理2，对于，对于A，( ),( )UV 0UEA QU 0VREAV 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学由，有由，有 1UEAEB V 0EBREAV即，即， 10UEB REAEB V 比较两端，得比较两端，得 1n nTUEB RP 0TEAEB V 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学下证下证T可逆可逆. 由有，由有， .UTEUEB R即即 EUTUEB R 1UTEA VR 10EA QUTEA VR 10U TEAQVR 比较两端，得比较两端，得 10EAQVR 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学故故T可逆可逆.由引理由引理1，A与与B相似相似. 0.U TE 10.EATEB V 于是于是 推论推论: :设设 则则 相似相似 ,n nA BP ,A B特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB 证证: 相似相似,A BEA 与与 等价等价.EB 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学矩阵矩阵A的不变因子的不变因子.推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子定义为此线性变换的不变因子定义为此线性变换的不变因子. 矩阵矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 的不变因子也称为的不变因子也称为EA 对对 有秩有秩 ,n nAP ().EAn 从而，从而，A有有n个不变因子，这个不变因子，这n个个不变因子的乘积不变因子的乘积 等于等于 ,EA 1( ).niidEA 即，即，变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学例例1. 证明：下列三个矩阵彼此都不相似证明：下列三个矩阵彼此都不相似.0 00 01 000 ,01 ,010 00 00 0aaaAaBaCaaaa证：证： 的不变因子是：的不变因子是： EA 123,dadada的不变因子是：的不变因子是： EB 的不变因子是：的不变因子是： EC 21231,ddada 31231,1,ddda 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学故故 的不变因子各不相同的不变因子各不相同. ,A B C,A B C彼此不相似彼此不相似. 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）把矩阵把矩阵 的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子n nAC 称为称为A的初等因子的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学222221,1,1,(1), (1) (1),(1) (1)(1) 9个个 则则A的初等因子有的初等因子有7个，它们是个，它们是222(1) , (1) , (1) , (1), (1),例例1、若、若12级复矩阵级复矩阵A的不变因子是的不变因子是:22() , ()ii变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学 设设n级矩阵级矩阵A的不变因子为已知：的不变因子为已知：12( ),( ),( )ndxdxdx将将 分解成互不相同的一次因式分解成互不相同的一次因式( )(1,2, )idxin 的方幂的乘积的方幂的乘积:11121112( )()()(),rkkkrdx21222212( )()()(),rkkkrdx1212( )()()().nnnrkkknrdx分析分析: :变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学则其中对应于则其中对应于 的那些方幂的那些方幂 :1i jk ()(1)i jkji jk就是就是A的全部初等因子的全部初等因子. 注意到不变因子注意到不变因子 满足满足12( ),( ),( )ndxdxdx1( )|( ),1,2,1iidxdxin 从而有从而有1,()|(),1,2,1,1,2,i jijkkjjinjr 因此有因此有,12,1,2,jjnjkkkjr变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分数学与应用数学即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必的分解式中，次高的必( )nd 出现在出现在 的分解式中的分解式中. 1( )nd 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的唯一确定的.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系