变化率与导数（公开课用）ppt课件.ppt

牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分导数及其应用3.1.13.1.1变化率问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度变化率问题第一次第二次0.62dm0.16dm问题一:气球膨胀率34( )3V rr33( )4Vr V(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L当气球的空气容量从当气球的空气容量从V1增加到增加到V2时，时，气球的平均膨胀率是多少？气球的平均膨胀率是多少？思考思考1212)()(VVVrVr 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, , 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h h ( (单位单位:m):m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t t ( (单位单位: :s s) ) 存在函数关系存在函数关系105 . 69 . 4)(2ttth 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态, 那么那么:v在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv);m/s(2 . 812) 1 ()2(hhv问题二:高台跳水 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt 平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.探究探究式子式子2121()()f xf xxx平均变化率的定义若设若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为则平均变化率为这里这里x看作是相对于看作是相对于x1的一的一个个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同理同理 y=f(x2)-f(x1)yx =f(x2) - f(x1) x2 x1 =f(x1+x) f(x1) x称为函数称为函数 f (x)从x1到到 x2的的平均变化率平均变化率. 思考思考? 观察函数观察函数f(x)f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么? ?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y例例1 1、已知函数、已知函数 ，分别计算，分别计算 在下列区间上在下列区间上 的平均变化率：的平均变化率： 2)(xxf)(xf（1 1）11，33；（2 2）11，22；（3 3）11，1.11.1432.1例例2.求函数求函数y=5x2+6在区间在区间2，2+x 内的平均变化率。内的平均变化率。解 y=5(2+ x)2+6-(522+6) =20 x+5x2所以平均变化率为xxy5201. 一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间，则在一段时间1，2内的平均速度为（）内的平均速度为（） A4 B8 C 6 D6C课堂练习课堂练习2.设函数设函数y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，函数时，函数的改变量为（）的改变量为（） Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0)D 3. 3. 已知已知f(x)=2xf(x)=2x2 2+1+1 (1) (1)求求: : 其从其从x x1 1到到x x2 2的平均变化率；的平均变化率； (2) (2)求求: : 其从其从x x0 0到到x x0 0+ +xx的平均变化率，的平均变化率， 并求并求x x0 0=1, =1, xx= = 时的平均变化率。时的平均变化率。12（1）2(x1+x2)（2）4x0+2x 5课堂练习课堂练习小结：小结： 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率121)()f xfxxx2f(x2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: : 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义：121)()fxfxxx2f(x(1)求函数的改变量：求函数的改变量：f；(2)计算平均变化率计算平均变化率表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)连线（割线）的斜率。连线（割线）的斜率。 在高台跳水中，函数关系在高台跳水中，函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10hto如何求如何求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？20时时20时时2瞬时速度：瞬时速度：物体在某一时刻的速度物体在某一时刻的速度2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度 可以得到如下表格3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001,105 . 69 . 4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势? .0221 .13时的极限趋近于当是称确定值tthth1 .13,0, 2 定值定值趋近于确趋近于确平均速度平均速度时时趋势近于趋势近于当当vtt0limt(2)(2)13.1htht 瞬时速度 0limt （在局部）先求平均速度，然后（在局部）先求平均速度，然后取极限。取极限。如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?思考思考 示？处的瞬时变化率怎么表在、函数、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？0 xlim思考思考导数的定义导数的定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作)(0 xf 或或 , 0|xxy导数就是瞬时变化率xxfxxflimxylim0 x0 xxxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：导数的作用：导数的作用：在例在例2中，高度中，高度h关于时间关于时间t的导数是运动员的的导数是运动员的瞬时速度；瞬时速度；在例在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积关于体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬时膨胀率瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基本步骤是处的导数的基本步骤是:);()() 1 (00 xfxxfy 求函数的增量求函数的增量;)()()2(00 xxfxxfxy 求平均变化率求平均变化率.lim)() 3 (00 xyxfx 取极限，得导数取极限，得导数注意：注意：x可正也可负可正也可负. 一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x/00(1)limlim(63)6xxyfxx例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 ( 1)( 1)yfxf 解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)xx 2()3xx 2()3yxxxx平均变化率3x /00( 1)limlim(3)3xxyfxx例例1.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt.,21| ,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由练习练习 .,62).80(157:,.,20并说明它们的意义并说明它们的意义的瞬时变化率的瞬时变化率原油温度原油温度时时和第和第计算第计算第为为单位单位的温度的温度原油原油时时如果在如果在和加热和加热行冷却行冷却油进油进对原对原需要需要品品产产柴油、塑胶等各种不同柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、将原油精炼为汽油、例例hhxxxxfCxh ,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 , 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.运算过程运算过程请同学们自己完成具体请同学们自己完成具体0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第与第时 原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近 原油温度大约以的速率下降在附近 原油温度大约以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。 35f 13f）（，解：这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大约以原油温度大约以3的速率上升。的速率上升。练习：练习：小结：小结： 1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限yx00()limxyfxx xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即： 000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或表示“平均变化率”xy 附近的变化情况。反映了函数在处的瞬时变化率，在表示函数000 x0 xxxxxfxylimxf2 一、复习一、复习1、导数的定义、导数的定义其中：其中： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的的割线割线）的斜率。）的斜率。其几何意义是？其几何意义是？ 0000,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道 导数表示函数在处的瞬时变化率 反映了函数在附近的变化情况 那么 导数的几何意义是什么呢3.1.33.1.3导数的几何意义导数的几何意义P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx21 图图 1 2 3 4 ?,4, 3, 2, 1,2100什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP P Pnoxyy=f(x)割割线线切线切线T（曲线在某一点处）切线的定义（曲线在某一点处）切线的定义当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线. 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 2l1lxyABC此处切线的定义与以此处切线的定义与以前的定义有何不同？前的定义有何不同？思考思考xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲，就是曲线在点线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：探究探究)(0 xf 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的处的导数的几何意义导数的几何意义，就是曲，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的处的切线的斜率切线的斜率，即曲线，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故故曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 结论结论xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,.,.以直代曲以直代曲想方法想方法这是微积分中重要的思这是微积分中重要的思附近的曲线附近的曲线点点这这替替近似代近似代切线切线我们用曲线上某点处的我们用曲线上某点处的这里这里近似代替无理数近似代替无理数用有理数用有理数如如例例刻画复杂的对象刻画复杂的对象数学上常用简单的对象数学上常用简单的对象14163当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个有一个极限位置极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切线切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限如有极限,则在此则在此点有切线点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.例例1:（1）求函数）求函数y=3x2在点在点(1,3)处的导数处的导数.22103(1)3 1|limxxxyx 解：2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：（2）求曲线）求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.2036limxxxx 0lim 3(2)xx 6202lim2xxxx 例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图 .,210变化情况变化情况在上述三个时刻附近的在上述三个时刻附近的线线刻画曲刻画曲处的切线处的切线在在我们用曲线我们用曲线解解thtttxh .,.,10000几乎没有升降几乎没有升降较平坦较平坦附近曲线比附近曲线比在在所以所以轴轴平行于平行于处的切线处的切线在在曲线曲线时时当当ttxltthtt .,. 0,2111111附近单调递减附近单调递减在在即函数即函数降降附近曲线下附近曲线下在在所以所以的斜率的斜率处的切线处的切线在在曲线曲线时时当当ttthttthltthtt .,. 0,3122222单调递减单调递减附近也附近也在在即函数即函数附近曲线下降附近曲线下降在在所以所以的斜率的斜率处的切线处的切线在在曲线曲线时时当当ttthttthltthtt .,31 . 12121附近下降得缓慢附近下降得缓慢附近比在附近比在在在这说明曲线这说明曲线程度程度的倾斜的倾斜的倾斜程度小于直线的倾斜程度小于直线直线直线可见可见从图从图ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图hto3t4t 附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数数在在两两点点附附近近单单调调递递增增点点附附近近曲曲线线上上升升，即即函函，所所以以在在两两斜斜率率均均大大于于处处的的切切线线的的、函函数数在在0tt43附附近近上上升升的的快快速速附附近近比比在在这这说说明明曲曲线线在在处处切切线线的的倾倾斜斜程程度度，处处切切线线的的倾倾斜斜程程度度大大于于但但是是4343tttt80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .图图 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到精确到率率物浓度的瞬时变化物浓度的瞬时变化血管中药血管中药时时估计估计根据图象根据图象函数图象函数图象变化的变化的单位单位随时间随时间位位单单物浓度物浓度表示人体血管中药表示人体血管中药它它如图如图例例 ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf .在此点处的切线的斜率曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411 .,.,.41804180 ft所以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. tft药物浓度的瞬时变化率 )()(xyyxf需需指指明明自自变变量量时时记记作作或或记记作作：）的的导导函函数数（简简称称为为导导数数我我们们称称它它为为 xf,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxfxyyxf即： 这这样样，是是一一个个确确定定的的值值；时时，当当是是一一个个确确定定的的值值；时时，当当是是一一个个确确定定的的值值；时时，当当是是一一个个确确定定的的值值；时时，当当是是一一个个时时，当当到到：的的导导数数的的过过程程中中可可以以看看再再如如，从从求求函函数数 xfxx 35f5x13f3x 56f6x32f2x157xxxf002 确定的值；函数的导函数函数的导函数 的的函函数数，是是一一个个变变化化时时，当当xxfx 函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之间的区别与联系。之间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。0 x0()fx( )fx0 xx0 x0()fx( )f x0 x0()fx0 x( )fx练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.12)1 () 1 (lim0 xxffx, 12)1 () 1 (lim)(0 xxffxfx是是可可导导函函数数且且解解： 01(1)(1)lim1,21 (1)xffxx. 2) 1 ( f故所求的斜率为故所求的斜率为-2.0(1)(1)lim2,(1) 1xfxfx课堂练习课堂练习:如图（见课本如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。出其导函数图像的大致形状。P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习练习:xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：.)0( |2的的导导数数数数：利利用用导导数数的的定定义义求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 当时.0101 xxy0,xyx当时()1,yxxxxx则0lim1;xyx ()()1,yxxxxx 0lim1;xyx 思考：思考： 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为： 其中位移单位是其中位移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，代入上式，得得: ./05.20005. 2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 小结：小结： 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率121)()f xfxxx2f(x2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: :(1)(1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(xf=y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )f f（x x1 1xx）f(xf(x1 1););(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义： 表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1), B(x), B(x2 2,f(x,f(x2 2)连线连线（割线）的斜率。（割线）的斜率。121)()fxfxxx2f(x4.4.函数在函数在x=xx=x0 0的瞬时变化率的瞬时变化率0000()()limlimxxf xxf xfxx