二阶常系数线性差分方程ppt课件.ppt
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解二、二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第八节二阶常系数线性差分方程第八节二阶常系数线性差分方程三、小结 1.1.定义定义 )(12xfbyayyxxx 形如形如)(0,(为为已已知知函函数数均均为为常常数数，其其中中xfba 常常系系数数线线性性差差分分方方程程的的差差分分方方程程，称称为为二二阶阶称称为为齐齐次次的的时时称称为为非非齐齐次次的的，否否则则0)( xf称称为为相相应应的的齐齐次次方方程程012 xxxbyayy2.解的结构定理解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解二阶常系数线性差分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.即. xxxyyy一一 、二、二阶常系数齐次线性差分方程的求解阶常系数齐次线性差分方程的求解，代代入入得得为为对对应应齐齐次次方方程程一一个个解解设设)0( xxY012 xxxba 02 ba 即即其其根根程程的的特特征征方方程程此此方方程程称称为为对对应应齐齐次次方方,24,242221baabaa .称称为为相相应应方方程程的的特特征征根根.42式式的的符符号号来来确确定定其其通通解解形形现现根根据据ba 如如下下形形式式：，此此时时的的通通解解具具有有与与有有两两个个相相异异的的实实特特征征根根21 ),(212211为为任任意意常常数数AAAAyxxx (2)第二种情形第二种情形时时ba42 的的通通解解具具有有如如下下形形式式：，此此时时征征根根方方程程有有两两个个相相等等的的实实特特221a ),()2)(2121为任意常数为任意常数AAaxAAyxx (1)第一种情形第一种情形时时ba42 (3)第三种情形第三种情形时时ba42 ,征征根根方方程程有有一一对对共共轭轭的的复复特特 iabiaiabia 2221421421：把把它它们们化化为为三三角角表表示示式式aabbr2224tan, sin,cosrr 则则)sin(cos),sin(cos21 irir )sin(cos)sin(cos2)2(1)1( iryiryxxxxxx 解可以证明解可以证明都是对应齐次方程的特都是对应齐次方程的特)(21)(21)2()1()2()1(xxxxyyiyy 及及有有以以下下形形式式的的通通解解：也也都都是是特特解解故故可可得得具具),()sincos(2121是是任任意意常常数数AAxAxAryxx 二、二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（即方程为即方程为为常数为常数),()()1(ccxf cbyayyxxx 12.sxkxy 可可设设其其特特解解形形式式为为代代入入原原方方程程得得，即即时时，取取当当,001)kysbaix back 1bacyx 1所所求求特特解解ack 2acxyx 2此此时时有有特特解解，即即时时，取取且且当当22201)kxysabaiiix 221cxyx ，即即取取时时且且当当kxysabaiix , 1,201)代入原方程得代入原方程得此时有特解此时有特解解解022 0)1)(2( 即即1, 221 解得解得21)2(AAyxx , 21, 02111 aba但但xxyx42112 21)2(4AAxyxx 所所给给方方程程通通解解为为42,240,2121121210 AAAAyAAAAy即即即即由由34,3421 AA可得可得34)2(344 xxxy故故此此时时特特解解为为，即方程为，即方程为都是常数都是常数)1,()()2( qccqxfxxxxxcqbyayy 12.的的特特解解设设其其具具有有形形式式为为xsxqkxy ，得得其其特特解解为为取取时时当当0,0)2 sbaqqibaqqcqyxx 2得其特解为得其特解为时，取时，取但但当当1020)2 saqbaqqiiaqcxyqxx 21得其特解为得其特解为时，取时，取但但当当2020)2 saqbaqqiiiaqcxyqxx 41，即方程为，即方程为为常数为常数)()()3(ccxxfn nxxxcxbyayy 12).,()(1010为为待待定定系系数数其其中中的的特特解解设设其其具具有有形形式式为为nnnsxBBBxBxBBxy ; 001) sbai时，取时，取当当; 1201) sabaii时时，取取且且当当. 2201) sabaiii时时，取取，且且当当.,其其特特解解可可确确定定定定特特解解代代入入原原方方程程分分别别就就以以上上情情形形，将将设设例例 1 1 求求差差分分方方程程xyyyxxx 4512的的特特解解 解解0104511 baxBByx10 可设可设xxBBxBBxBB 10101044)1(55)2(代入方程代入方程比比较较两两端端同同次次项项系系数数有有 1100710110BBB101,100710 BBxyx1011007 则则xxxAAxy)4()1(101100721 故故通通解解为为例例 2 2 求差分方程求差分方程24312 xxxyyy的通解的通解 解解23, 04311 aba且且)(10 xBBxyx :代入方程得代入方程得xxBxBxBxBxBxB 21021021044)1(3)1(3)2()2(101,50710 BB可得可得,)4(),101507(21AAyxxyxxx 又又通通解解为为21)4()101507(AAxxyxx 三、小结1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解二阶常系数齐次线性差分方程求通解2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解二阶常系数非齐次线性差分方程求通解练习题)2, 2( , 022)2() 1, 1( , 0164) 1 (110121012yyyyyyyyyyxxxxxx解解及及特特解解、求求下下列列差差分分方方程程的的通通1.(1)4 (cossin),3314 ()sin;32 3xxxxyAxBxyx (2)( 2) (cossin),44( 2) 2 cos14xxxxyAxBxyx 练习题答案练习题答案
