数学212《空间中直线与直线之间的位置关系》PPT课件.ppt

判断下列直线的位置关系判断下列直线的位置关系:1、竖直的两条电线杆所在的直线、竖直的两条电线杆所在的直线思考:在平面内，两条不重合的直线之间有在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系几种位置关系? 2、十字路口的两条路所在的直线、十字路口的两条路所在的直线3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线所在的直线空间的两直线呢空间的两直线呢?1.1.空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系观察：观察： 观察教室内的日光灯管所在直线与黑观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线板的左右两侧所在的直线, ,想一想想一想: :它它们相交吗们相交吗? ?平行吗平行吗? ?共面吗共面吗? ?观察正方体的棱所在观察正方体的棱所在直线直线,回答类似的问题回答类似的问题.思考：思考：我们把具有上述特征的两条我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？直线取个怎样的名字才好呢？lmPml图1图2llll空间中两直线的位置关系从图中可见，直线从图中可见，直线 l 与与 m 既不相交，也不平行。空间中既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为直线之间的这种关系称为异面直线异面直线。不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面异面直线直线。（既不相交也不平行的两条直线）不同在任何一个平面内1、异面直线判断：判断：直线m和l是异面直线吗?lmml(1)(2) ,则 与 是异面直线,abab(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面异面直线的画法异面直线的画法:ab通常用一个或两个平面来衬托通常用一个或两个平面来衬托,异面直线异面直线不同在任何一个平面不同在任何一个平面的特点的特点ababb ba想一想想一想, ,做一做：做一做：1.1.已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C1 1D D1 1与与CCCC1 1上的上的点，那么点，那么MNMN与与ABAB所在的直线是异面直线吗所在的直线是异面直线吗？MNC1D1C1B1ADBAa,b,c是三条直线是三条直线,若若a,b是异面直是异面直线线, b,c是异面直线是异面直线,判断判断a,c的位的位置关系置关系,并画图说明并画图说明.想一想想一想, ,做一做：做一做： 2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这这四条线段所在直线是异面直线的有几对？四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想想一想, ,做一做：做一做：HGFEDCBA三对三对AB与与CDAB与与GHEF与与GH一定是异面直线吗？则2121,llll3. 异面直线的判定定理异面直线的判定定理异面直线定理：异面直线定理：连结平面内一连结平面内一点与平面外一点的直线，和这点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是个平面内不经过此点的直线是异面直线异面直线?B?A,ABlBl ABl与与 是异面直线是异面直线高2008级数学教学课件例例1.已知空间四边形已知空间四边形ABCD，E、F分别为分别为BC、DA的中点的中点. 求证：求证：AE和和CF是异面直线是异面直线ABCDEF证明证明:CABC平面所以所以AE和和CF是异面直线是异面直线CAEAEABC平面FABC平面空间两条直线的位置关系有且只有三种空间两条直线的位置关系有且只有三种平行直线共异面直线面直线相交直线平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个公共点个数数是否共面是否共面没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系2.2. 空间两平行直线空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？相平行。在空间中，是否有类似的规律？平行吗平行吗?中中,ABCDABC DBBDD观察观察：如图如图2.1.2-5,长方体长方体与与那么那么DD AABB AAABCDBCDA公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行。公理公理4 4实质上是说实质上是说平行具有传递性平行具有传递性，在平面、空间，在平面、空间这个性质都适用。这个性质都适用。公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行的依据。判断空间两条直线平行的依据。abcbac符号表示：符号表示：设空间中的三条直线分别为设空间中的三条直线分别为a, b, c,若若想一想想一想:空间中空间中,如果两条直线都与第三条直如果两条直线都与第三条直线垂直线垂直,是否也有类似的规律是否也有类似的规律?例题示范例题示范例例1： 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析： 欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只需证只需证EHFG且且EHFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连结连结BD,只只需证：需证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BD1212AB DEFGHC例题示范例题示范例例1： 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH = BD同理，同理，FG BD且且FG = BDEH FG且且EH =FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD2121变式一：变式一： 在例在例1中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那，那么四边形么四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析： 在例题在例题1的基础上的基础上我们只需要证明平行四我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。边形的两条邻边相等。菱形菱形变式二：变式二： 空间四面体空间四面体A-BCD中中,E,H分别是分别是AB,AD的中的中点点,F,G分别是分别是CB,CD上的点上的点,且且 ，求证求证:四边形四边形ABCD为梯形为梯形.23CFCGCBCDABCDEHFG分析：需要证明四边形分析：需要证明四边形ABCD有有一组对边平行，但不相等。一组对边平行，但不相等。例例3、如图，是、如图，是所在平面外一点，、分所在平面外一点，、分别是别是和和的重心。的重心。求证：求证：，、一条直线与两条异面直线中的一条相交，、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）那么它与另一条之间的位置关系是（）、平行、相交、平行、相交、异面、可能平行、可能相交、可能异面、异面、可能平行、可能相交、可能异面、两条异面直线指的是（）、两条异面直线指的是（）、没有公共点的两条直线、没有公共点的两条直线、分别位于两个不同平面的两条直线、分别位于两个不同平面的两条直线、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线、不同在任何一个平面内的两条直线、不同在任何一个平面内的两条直线练习：练习：3、下列命题中，其中正确的是、下列命题中，其中正确的是（）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行3.3. 等角定理等角定理提出问题提出问题: :在平面上在平面上, ,我们容易证明我们容易证明“如果一个角如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角相等或互补”。在空间中。在空间中, ,结论是否仍然成立结论是否仍然成立呢呢? ?观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的大小的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？关系如何？3.3. 等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。ABCDEF3.3. 等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。ABCDEF定理的推论定理的推论: :如果两条相交直线和另两条相如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行交直线分别平行, ,那么这两条直线所成的锐那么这两条直线所成的锐角角( (或直角或直角) )相等相等. .两直线的夹角：两直线的夹角：90两直线相交所成的两直线相交所成的4个角中个角中,其中其中不大于不大于 的角叫做两直线的夹角的角叫做两直线的夹角三、两条异面直线所成的角三、两条异面直线所成的角如图所示，如图所示，a，b是两条是两条异面直线，异面直线，在空间中任选一点在空间中任选一点O，过过O点分别作点分别作 a，b的平行线的平行线 a和和 b，abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），（或直角）， 称为称为异面直线异面直线a，b所成的角所成的角。？任选任选Oa若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。，则称它们互相垂直。异面直线异面直线a与与b垂直也记作垂直也记作ab异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围： 0 90 （ ，平平移移异面直线所成的角异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作就说两条直线互相垂直，记作abab。ba aOab 记记作作：高2008级数学教学课件例例 1.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，指出下列各中，指出下列各对线段所成的角：对线段所成的角： 1）AB与与CC1； 2）A1 B1与与AC； 3) A1B与与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与与CC1所成的角所成的角= 9 02）A1 B1与与AC所成的角所成的角= 4 53）A1B与与D1B1所成的角所成的角 = 6 0求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移作角平移作角作作(2)补形说角补形说角证证(3)计算求角计算求角求求高2008级数学教学课件例例2.正四面体正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角四个面都是全等的等边三角形形)中中,M,N分别是分别是BC和和AD的中点的中点,求异面直线求异面直线AM和和CN所成角的余弦值所成角的余弦值.ABCDMNH解解:连结连结DM，取，取DM中点中点H 连结连结NH、CH，则有，则有NHAM 所以所以CHN为为AM和和CN所成的角所成的角令令BC=a73,44CHa NHa2cos3C N H32AMDMCNa则有：( (或其补角或其补角) )高2008级数学教学课件例例3.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,对角线对角线AC=10,BD=6,M,N分别为分别为AB,CD的中点的中点,MN=7,求异面直线求异面直线AC和和BD所所成的角成的角ABCDMNPNPM=1200即异面直线即异面直线AC和和BD所成的角是所成的角是600解解:取取AD中点中点P，连结，连结MP、NP MPBD、NPACMP=3、NP=5NPM就是就是AC和和BD所成的角所成的角(或其补角或其补角)1cos2N PM 为什么？为什么？高2008级数学教学课件例例4.长方体长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线，求异面直线A1C1与与BD1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取取BBBB1 1的中点的中点MM，连，连O O1 1MM，则，则O O1 1MM D D1 1B B，如图，连如图，连B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或所成的角（或其补角）其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？平移法：平移法：即根据即根据定义，以定义，以“ “运动运动” ”的观的观点，用点，用“ “平移转化平移转化” ”的方的方法，使之成为相交直法，使之成为相交直线所成的角。线所成的角。高2008级数学教学课件补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。面直线的关系。 BDB1A1D1C1ACF1EFE1例例5.长方体长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线，求异面直线A1C1与与BD1所成角的余弦值。所成角的余弦值。高2008级数学教学课件定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：3.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是： 定角定角求角求角1.异面直线及其所成的角定义异面直线及其所成的角定义;2.异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围:(0,2高2008级数学教学课件4.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3） 当当 cos = 0 时，所成角为时，所成角为 90o