2022年高考圆锥曲线经典真题 .pdf

第1页 共12页高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等. 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 . 1. （江西卷 15）过抛物线22(0)xpy p的焦点F作倾角为30o的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧） ，则AFFB13 2 (2008年安徽卷 )若过点A(4,0) 的直线l与曲线22(2)1xy有公共点 , 则直线l的斜率的取值范围为 ( ) A. 3,3B. (3,3)C. 33,33 D. 33(,)33 3(2008 年海南- 宁夏卷 ) 设双曲线221916xy的右顶点为 A,右焦点为 F, 过点 F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为 -_. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例 1. 已知双曲线 C：2x2y2=2 与点 P(1，2) (1) 求过 P(1，2) 点的直线 l 的斜率取值范围，使l 与 C分别有一个交点，两个交点，没有交点 . 解：(1) 当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=1, 与曲线 C有一个交点 .当 l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页第2页 共12页的斜率存在时，设直线l 的方程为 y2=k(x 1), 代入 C的方程，并整理得(2 k2)x2+2(k2 2k)x k2+4k6=0 (*) () 当 2k2=0, 即 k=2时，方程 (*) 有一个根， l 与 C有一个交点() 当 2k20, 即 k2时=2(k2 2k)24(2 k2)( k2+4k6)=16(3 2k) 当 =0, 即 32k=0,k=23时，方程 (*) 有一个实根， l 与 C有一个交点 . 当 0, 即 k23, 又 k2, 故当 k2或2k2或2k23时，方程 (*) 有两不等实根， l 与 C有两个交点 . 当 0，即 k23时，方程 (*) 无解， l 与 C无交点 . 综上知：当 k=2, 或 k=23，或 k 不存在时， l 与 C只有一个交点；当2k23, 或2k2, 或 k2时，l 与 C有两个交点；当 k23时，l 与 C没有交点 . (2) 假设以 Q 为中点的弦存在，设为AB ，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y12=2,2x22y22=2 两式相减得： 2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即 kAB=2121xxyy=2 但渐近线斜率为2, 结合图形知直线AB与 C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页第3页 共12页(2) 若 Q(1，1)，试判断以 Q为中点的弦是否存在 . 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例 2 直线m：1kxy和双曲线122yx的左支交于 A、 B两点，直线l过 P （0,2）和 AB线段的中点 M ，求l在y轴上的截距b的取值范围。解：由)1(1122xyxkxy消去y得022)1(22kxxk，由题意，有：0120120)1(8422122122kxxkkxxkk21k设 M （00, yx） ，则200221011112kkxykkxxx由 P（0,2） 、M （2211,1kkk） 、Q （b,0）三点共线，可求得2222kkb设22)(2kkkf817)41(22k，则)(kf在)2, 1 (上为减函数。所以)1 ()()2(fkff，且0)(kf所以1)()22(kf所以)22(b或2b考点三：弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页第4页 共12页例 3. 如图所示， 抛物线 y2=4x 的顶点为 O ，点 A的坐标为 (5，0) ，倾斜角为4的直线 l 与线段 OA相交(不经过点 O或点 A)且交抛物线于 M 、N两点，求 AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求 AMN 的最大面积 . 解：由题意，可设l 的方程为 y=x+m,5m 0. 由方程组xymxy42, 消去 y, 得 x2+(2m4)x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点M 、N，方程的判别式 =(2m4)24m2=16(1 m)0, 解得 m 1, 又5m 0, m的范围为 (5，0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m ，x1x2=m2, |MN|=4)1(2m. 点 A到直线 l 的距离为 d=25m. S=2(5+m)m1, 从而 S2=4(1m)(5+m)2 =2(22m)(5+m)(5+m)2(35522mmm)3=128. S82, 当且仅当 22m=5+m, 即 m= 1 时取等号 . 故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 82. 考点 4：圆锥曲线关于直线对称问题例 4. 已知椭圆的中心在圆点, 一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为(4), (I) 求椭圆的方程 ; (II)若存在过点 A(1,0) 的直线l, 使点 F 关于直线l的对称点在椭圆上 , 求的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页第5页 共12页【解析】 (I) 设椭圆的方程为22221(0)xyabab由条件知2222,acac且所以,2224bac故椭圆的方程是221(4)4xy(II)依题意 , 直线l的斜率存在且不为0, 记为k, 则直线l的方程是(1)yk x, 设点 F(2,0) 关于直线l的对称点为/00(,)Fxy, 则0002002022(1)2212121yxkxkykkyxk解得因为/00(,)Fxy在椭圆上 , 所以222222()()1114kkk即422(4)2 (6)(4)0kk故2kt, 则22(4)2 (6)(4)0tt因为2(4)4,0(4)所以于是,当且仅当232(6)4 (4)0,2 (6)0,(4)(*) 上述方程存在正实根 , 即直线l存在. 解(*) 得16,1643346所以即的取值范围是1643规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时, 应将直线l方程与圆锥曲线C 的方程联立 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页第6页 共12页消去y( 也可消去x) 得一个关于变量x的一元方程220.axbx当0a时, 若有0, 则l与 C 相交; 若0, 则l与 C 相切; 若0, 则l与 C 相离. 当0a时, 得到一个一元一次方程 , 若方程有解 , 则有直线l与C相交, 此时只有一个公共点 ; 若 C为双曲线 , 则l平行于双曲线的渐近线 ; 若 C为抛物线 , 则l平行于抛物线的轴 . 所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时, 直线与双曲线、抛物线可能相切 , 也可能相交 . 2. “设而不求”的方法若直线l与圆锥曲线C 有两个交点A 和 B 时,一般地 , 首先设出交点A(11,xy)、B(22,xy), 它们是过渡性参数, 不须求出 , 有时运用韦达定理解决问题, 有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解. 3. 韦达定理与弦长公式斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若 A(11,x y),B(22,xy) 则2| | 12|1ABxxk21| 12 | 1(0)yykk, 然后再结合韦达定理可求出弦长等. 专题能力训练：一、选择题1. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆42x+y2=1相交于 A、 B两点， 则|AB| 的最大值为 ( ) A.2 B.554C.5104D.51082. 抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k 0) 交于 A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是x3, 则恒有 ( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页第7页 共12页C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 1. 解析：弦长 |AB|=55422t5104. 答案： C 2. 解析： 解方程组bkxyaxy2, 得 ax2kxb=0,可知 x1+x2=ak,x1x2= ab,x3= kb,代入验证即可 . 答案： B 3. 斜率为 2 的直线l过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点 , 且与双曲线的左、右两支分别相交 , 则双曲线的离心率e的取值范围是 ( D ) A. 2eB. 13eC. 15eD. 5e4. 过点 A(4,0) 的直线与抛物线24yx交于另外两点B、C,O是坐标原点 , 则三角形 BOC 是 ( C ) A.锐角三角形B.钝角三角形C. 直角三角形D.形状不确定二、填空题5. 已知两点 M(1，45) 、 N(4， 45)， 给出下列曲线方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,22x+y2=1,22xy2=1, 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP| 的所有曲线方程是_. . 解析：点 P在线段 MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 . 答案：6. 正方形 ABCD 的边 AB在直线 y=x+4 上，C、D两点在抛物线 y2=x 上，则正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页第8页 共12页ABCD 的面积为 _. 7. 在抛物线y2=16x 内，通过点 (2 ，1) 且在此点被平分的弦所在直线的方程是_. 6 解析：设 C、D所在直线方程为y=x+b, 代入 y2=x, 利用弦长公式可求出 |CD|的长，利用 |CD|的长等于两平行直线y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出b 的值，再代入求出 |CD|的长. 答案： 18 或 50 7. 解析：设所求直线与y2=16x 相交于点 A、B，且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2, 两式相减得， (y1+y2）(y1 y2)=16(x1 x2). 即21212116yyxxyykAB=8. 故所求直线方程为y=8x15. 答案： 8xy15=0 三、解答题8. 已知抛物线 y2=2px(p0), 过动点 M(a,0) 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B，且|AB| 2p. (1) 求 a 的取值范围 . (2) 若线段 AB的垂直平分线交x 轴于点 N，求 NAB面积的最大值 . 9. 知中心在原点，顶点A1、A2在 x 轴上，离心率 e=321的双曲线过点 P(6，6). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页第9页 共12页(1) 求双曲线方程 . (2) 动直线 l 经过 A1PA2的重心 G ，与双曲线交于不同的两点M 、N，问：是否存在直线 l, 使 G平分线段 MN ，证明你的结论 . 10. 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0) 为圆心， 1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与 A点关于直线 y=x 对称. (1) 求双曲线 C的方程. (2) 设直线 l 过点 A，斜率为 k, 当 0k1 时，双曲线 C的上支上有且仅有一点B到直线 l 的距离为2，试求 k 的值及此时 B点的坐标 . 11. 已知过双曲线方程22142xy(1) 过 M(1,1) 的直线交双曲线于A、B两点, 若 M为弦 AB的中点 ,求直线 AB的方程; (2) 是否存在直线l, 使1(1, )2N为l被双曲线所截得弦的中点,若存在 , 求出直线l的方程;若不存在 ,请说明理由 . 8 解：(1) 设直线 l 的方程为： y=xa, 代入抛物线方程得 (x a)2=2px, 即 x22(a+p)x+a2=0 |AB|=224)(42apa2p. 4ap+2p2p2, 即 4app2 又p0, a4p. (2) 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ，AB的中点 C(x,y), 由(1) 知， y1=x1a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=222,2212121axxyyypaxx=p. 线段 AB的垂直平分线的方程为yp=(x ap), 从而 N点坐标为 (a+2p,0 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页第10页 共12页点 N到 AB的距离为papa22|2|从而 SNAB=2222224)(4221papppapa当 a 有最大值4p时，S有最大值为2p2. 9. 解：(1) 如图，设双曲线方程为2222byax=1. 由已知得321, 16622222222abaeba, 解得 a2=9,b2=12. 所以所求双曲线方程为12922yx=1. (2)P 、A1、A2的坐标依次为 (6,6) 、(3，0) 、(3，0） ，其重心 G的坐标为 (2 ，2）假设存在直线 l ，使 G(2，2) 平分线段 MN ，设 M(x1,y1) ，N(x2,y2).则有34912441089121089122121212122222121xxyyyyxxyxyx，kl=34l 的方程为 y=34 (x 2)+2, 由)2(3410891222xyyx, 消去 y, 整理得 x24x+28=0. =164280, 所求直线 l 不存在 . 10. 解：(1) 设双曲线的渐近线为y=kx, 由 d=1|2|2kk=1, 解得 k=1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页第11页 共12页即渐近线为 y=x, 又点 A关于 y=x 对称点的坐标为 (0，2). a=2=b,所求双曲线 C的方程为 x2y2=2. (2) 设直线 l ：y=k(x 2)(0 k1), 依题意 B点在平行的直线 l 上，且 l 与l 间的距离为2. 设直线 l ：y=kx+m,应有21|2|2kmk, 化简得 m2+22km=2. 把 l 代入双曲线方程得 (k2 1)x2+2mkx+m2 2=0, 由=4m2k2 4(k2 1)(m22)=0. 可得 m2+2k2=2 、 两 式 相减 得k=2m,代入 得 m2=52, 解 设m=510,k=552, 此 时x=2212kmk,y=10. 故 B(22,10). 11. 解析(1) 设1122(,),(,)A xyB xy, 则1212(,)22xxyyM则有2211142xy . 2222142xy . -得12121212()()2()()0 xxxxyyyy12122,2xxyy121212AByykxx11(1)2AByx直线方程为210 xy双曲线的一条渐近线方程为22yx, 而1222, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页第12页 共12页210 xy直线与双曲线交于两点 . 210 xy为所求. (2) 假设过 N直线l交双曲线于 , 1122(,),(,)C x yD xy则有2211142xy,2222142xy. 两式相减得12121212()()2()()0 xxxxyyyy121212,2,1xxxxyy12121CDyykxx双曲线的一条渐近线方程为22,122yx 而, 直线l与双曲线没有公共点 . 以1(1, )2N为弦中点的直线不存在 . 【点评】 ”设而不求”是保证A、B两交点存在的情况下 , 所采用整体运算求直线方程的方法 , 但如果是假定直线与曲线存在两个交点A、B 为前提下求出直线l,则必须验证l与圆锥曲线公共点的存在性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页