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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date新初二年级暑假衔接数学讲义小学数学毕业试卷-周雨柔第一讲 勾股定理情景引入【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。225400A225400B256112C144400D 例3、2.8米9.6米如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？2.8米9.6米例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。AEBDC例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处。CAAB于A，DBAB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？例 7、如图所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km。现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离。MA1ABB1N例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方米B处，过了秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为米，这辆小汽车超速了吗？例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_ABCDE例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。 例12、如图254所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？4米·图2542.8例13、甲、乙两船同时从A港出发，甲朝北偏东60°方向行驶，乙朝南偏东30°方向行驶。已知甲、乙两船的航速分别为45千米/时和50千米/时，经2小时航行后，试估算两船相距多少千米？（精确到0.1千米）例14、如图1310，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。图1310BCA·68、【随堂练习】一、 填空题（每空3分，共24分）1、 若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为_；2、 已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_时，这三条线段能组成一个直角三角形；3、 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。请你写出三组勾股数：_；4、 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。 C=_ b=_ h=_ 5、 在RtABC中，C=90°，BCAC=34，AB=10，则AC=_，BC=_二、 选择题（每题3分，共15分）1、a、b、c是ABC的三边，a=5,b=12,c=13 a=8,b=15,c=17 abc=345 a=15,b=20,c=25上述四个三角形中直角三角形有 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为 （ ）A、13 B、5 C、13或5 D、无法确定3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的 （ ）A、4倍 B、2倍 C、不变 D、无法确定4、正方形的面积是4，则它的对角线长是 （ ）A、2 B、 C、 D、45、如图，在ABC中，ADBC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A、6 B、 C、 D、4三、 解答题1、 公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。2如图，C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断ABD的形状，并说明理由。2、 已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？3、 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE的周长和面积。4、 如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？【课后练习】一、填空题（每题3分，共24分）1三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定2若ABC的三边a、b、c满足a2b2c2十33810a24b26c，则ABC的面积是（）A.338B.24C.26D.303若等腰ABC的腰长AB2，顶角BAC120°，以 BC为边的正方形面积为（） A.3 B.12 C. D.4ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为（）A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33 5直角三角形三条边的比是345.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）A.15128 B. 152012 C. 121520 D.2015126在ABC中，C90°，BC3，AC4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（）A.B. C. D.257如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm图1D16cm18cm图2BA8如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（取3）（）A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm二、填空题（每小题3分，共24分）9在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是10一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为.11在ABC中，C90°，BC60cm，CA80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CAABBC的路径再回到C点，需要分的时间12如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是13在ABC中，B90°，两直角边AB7，BC24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是14已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是图315观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：324+5；列举：5、12、13，猜想：5212+13；列举：7、24、25，猜想：7224+25；列举：13、b、c，猜想：132b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b，c.16已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为；n个并排成的矩形的对角线的长为.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB，则 DA的长度为图5EFBCAD图4（a）（b）（c）（d）图6图7EDCBA 第二讲 平方根情景引入【知识要点】1、平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0只有一个平方根是0； 负数没有平方根。2、算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。3、开平方 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即有意义的条件是a0。4、开平方与平方的关系：互为逆运算。5、（a0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。6、形如【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。； 64； 0.09； ； 0。例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根：； 0.0036； ； ； 例2、填空：（1）= ； （2）= ；（5）= ； （6）= ；（9）对于任意数x，= ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1） （2）（3）（4）例4、已知；求x+y的值。例5、已知，求xyz的值。例6、x为何值时，有意义。例7、已知的平方根是，的平方根是，求的平方根。例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为，他要用50块正方形的花岗岩。请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题： 1一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。 A0B1 C±1D0或1 2下列语句正确的是（ ）。 A4的平方根是2B0没有算术平方根 C-1的算术平方根是-1D3有两个平方根 3表示（ ）。 A5的平方根B5的算术平方根 C5的负的平方根D5开平方 49的平方根是±3，用数学符号表示为（ ）。 A BCD 5以下各数没有平方根的是（ ）。 A BCD 6下列说法正确的是（ ）。 A的平方根是±2B一定没有平方根 C0.9的平方根是±0.3D一定有平方根二、填空题： 149的算术平方根是 ，平方根是 。 2 有两个平方根， 的平方根有且只有一个， 没有平方根。 3平方根是±9的数是 。 4-5是 的负的平方根。 5的平方根是 ，算术平方根是 。 6有意义，那么x的取值范围是 。 7若，则x= ，若，则x= 。三、解答题： x为何值时，有意义。若，求的值。 解下列方程：（）； （）；6为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28，那么花坛的半径应为多少米？（取3.14）【课后作业】 1下列各式中，正确的是（ ）。 AB CD一定有平方根 2平方根是±的数是（ ） A±BCD 3对于，当x 时，它有意义？ 4当一个数a的值为 时（在线上填入一个你认为合适的数），它有两个平方根，平方根是 。 5一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是 。 7求下列各式的值： （1）； （2）； 8解下列方程:（1）（2）（3） 9若，求的值。第三讲 立方根情景引入【知识要点】1、立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于a，即，那么这个数就叫做a的立方根。2、性质：正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。3、立方根的表示方法： 每个数a都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“”，读作“三次根号a”。4、开立方与立方的关系： 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 开立方与立方互为逆运算。记：5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。6、n次方根的定义： 如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。7、n次方根的性质： （1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根； （2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负。【典型例题】例1-1 下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来； （1）-27 （2） （3）0 （4） （5）-1 （6）-125 （7） （8）例1-2 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） 例2 求满足下列各式的未知数： （1） （2）（3） （4）例3 已知，求的值。例4 阅读下题，回答问题：已知，求的值。（2）若，求的值。例5 邦德学校教学楼顶上有一正方体水池，其体积为64米，求正方体底面积是多少平方米？例6 很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都早死了，人们找不到水喝，于是大家一同到庙里去向神祈求。神说，我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨水。大家觉得很好办，于是很已然做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍。可是神愈发恼怒，他说，你们竞敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的2倍，我要加倍惩罚你们！请大家想一想，新祭坛的体积到底是原祭坛的多少倍？要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍？【课堂练习】一、选择题 1、如果-m是n的立方根，那么下列结论正确的是（ ） A、m也是n的立方根B、m也是-n的立方根 C、-m也是-n的立方根D、以上答案都不正确 2、的平方根与-8的立方根之和是（ ） A、0B、-4C、0或-4D、4 3、下列四个说法中： 1的算术平方根是1；的立方根是±； -27没有立方根；互为相反数的两数立方根互为相反数 其中正确的是（ ）A、B、C、D、二、填空题 1、是 的立方根，是 的立方根。 2、的立方根是 。 3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。 4、一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 。 5、的平方根是 ，的立方根是 。三、求下列各式的值： （1）（2） （3）（4）四、已知，且，求的值。五、解答题 1、李师傅打算制作一个正方体水箱，使其容积是3.375，试问此木箱至少需多少木板？ 2、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少？（球的体积公式是）【课后作业】 1若，那么的值是（ ） A、64B、-1C、-125D、125 2若，则的值是（ ） A、B、C、D、 3平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身是 。 40.064的立方根等于 ，的立方根等于 。 581的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。 6求下列各式的值：（1）（2） 7求下列各式中的的值：（1）（2）（3）（4） 8希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为64，打算由一名建筑工人独立完成，已知该建筑工人一天可垒1米高，一天的工资为40元，问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱？第四讲 实数综合【知识要点】 1实数 有理数和无理数统称为实数，实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类 2实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如：的相反数为，倒数为，的绝对值为。 3实数与数轴上点的关系 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4实数的运算 （1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。 （2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。一、填空题 1在中，属于有理数的是 ，属于无理数的是 。2设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，则 。 3计算 ； 。 4化简： 。 5的相反数是 ；= 。 6若= 。 7计算 。 8比较大小： 。 9比较大小： 。 10若是4的平方根，则x= ；若是-8的立方根，则x= 。二、单项选择题 1若有意义，则x的取值为（ ）Ax3Bx3Cx3Dx=3 2下列各式中：，计算正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个3已知a、b是实数，下列命题中正确的是（ ）A：BC D 4设a、b均为负实数，且，则（ ）ABCD 5若数轴上表示数a的点在原点左边，则化简的结果是（ ） ABCD 6下列答句中不正确的是（ ） A无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽； B8的立方根是±2； C绝对值等于的实数是； D每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。7下列计算正确的是（ ） AB CD 8一个三角形的三边的长为，则此三角形的周长是（ ） AB CD 9底面为正方形的水池容积是，池深，则底面边长是（ ） A3.24mB1.8mC0.324mD0.18m 10已知x是169的平方根，且，则y的值是（ ）A65B±65CD65或 11设a是不等于零的有理数，b是无理数，那么下面四个数中必然为无理数的是（ ） ABCD 12已知n为任意整数，同表示的数是（ ） A一定是整数B一定是无理数 C一定是有理数D可能是有理数，也可能是理数 13下列命题中，正确的个数是（ ） （1）两个有理数的和是有理数 （2）两个无理数的和是无理数 （3）两个无理数的积是无理数 （4）无理数与有理数的积是无理数 （5）无理数除以有理数是无理数 （6）有理数除以无理数是无理数 A2个B3个C4个D5个 14下列计算正确的是（ ） AB CD15与相乘，结果为1的数是（ ）ABCD16下列计算正确的是（ ） AB CD17数轴上表示实数x的点在表示-1的点的左边，则式子的值是（ ）A正数B-1C小于-1D大于-118设之间的大小关系是（ ） AabcBacbCbacDcba 19若a0，则的值为（ ） A-2aB0C2aD±2a 20化简，甲、乙两同学的解法如下： 甲： 乙： 对于他们的解法，正确的是（ ） A甲、乙的解法都正确B甲正确、乙不正确 C甲、乙的解法都错误D乙正确、甲不正确三、解答题 1计算：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； 2已知实数x，y满足等式，求的平方根。 3已知的平方根。 4已知x，y是正数a的两个平方根，且，求a。 5已知的值。 6已知a是有理数，且，求a的值。 7设的小数部分为b，求的值。 8一正方形鱼池的边长是6m，另一正方形鱼池的面积比第一个大45，求另一个鱼池的边长。 9大正方形边长为，小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积。ABCD 10四边形ABCD中，ABBC，CDBC，AB=CD，CD=，BC=，求四边形的周长和面积。 11求等式中字母x的值。 12已知：x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根。 第五讲 非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子叫做二次根式） （1） （2）若a>b>0，则。2、最简二次根式 要满足下列条件的根式是最简二次根式： （1）被开方数的每一个因式的指数是1。 （2）被开方数不含有分母。3、二次根式运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）；4、复合二次根式的化简： 设法找到两个正数x，y（x>y），使xy=a，x·y=b，则5、非负数的三种形式：绝对值、平方项、算术平方根。【典型例题】例1-1 已知，求的值。例1-2 已知，求的值。例2 化简。例3-1 设ABC的三边分别是a、b、c，且。试判断ABC的形状。例3-2 已知，若x、y、z代表ABC的三边，试判断ABC的形状。例4-1 已知，求的值。例4-2 已知，求的值。例5 已知a、b为实数，且满足，则的值是多少？例6 若实数a，b，c满足，且，则的值为多少？例7 若u，v满足，求的值。例8-1 设，化简根式。例8-2 化简。例8-3 已知，那么ab的值是多少？例9 求的整数部分。思考题：化简。【课堂练习】一、选择题。 1已知x，y是实数，若，则实数a的值是（ ）。 ABCD 2实数a满足，则a是（ ）。 A零或负数B非负数 C非零实数D负数 3如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）。 A大于零 B等于零 C不小于1 D大于1 4是一个实数，则x可取值的个数为（ ）。 A0个B1个C2个D无数个 5已知实数x、y满足，则的值是（ ）。 A0 B5C2D-5 6若a，b是实数，且，则a与b的大小关系是（ ）。 Aa>bBa<bCabDab 7若a、b是实数，则下列命题正确的是（ ）。 A若，则B若，则 C若，则D若，则二、填空题。 1若有意义，则x= 。 2若两个实数x和y互为倒数，则xy= 。 3的算术平方根的倒数的相反数是 。 4化简的结果是 。 5代数式的值是 。 6的值为 。 7若则x= ,y= 。 8若a与它的绝对值的和为零，则 。 9等式成立的条件是 。 10已知的结果是 。三、解答题。 1已知求ab+xy的值。 2若a、b为实数，且b=。 3设a、b、c是实数，若a+b+c=2的值。 4已知x+y+z=2,若x、y、z代表ABC的三边，试判断ABC的形状。 5若实数a、b、c满足a=2b+值为多少？ 6已知s、t为实数，且，求实数S3-t-1的倒数的相反数是多少？ 7化简。 8计算： 9化简：、补选题：9的值等于（ ）。 A BC D10，那么xy的值是（ ）。 ABC D 11化简得（ ）。 AB5-CD 12式子成立的条件是（ ）。 ABCD。 13等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两个不同的实数，则的值是（ ）。 A3BC2D-3第六讲分母有理化【知识要点】 1二次根式的定义： 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a0)，那么我们称x为a的平方根。（也称作a的二次方根），即“”可称为二次根式。 2分母有理化的定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 3有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 4有理化的因式确定方法： 单项二次根式：利用·=a来确定，如：与，与，与等分别互为有理化因数。 两项二次根式：利用平方差公式（a+b）(a-b)来确定。 如：a+与a-,-,a+b与a-b分别互为有理化因式。 5分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后结果都乘以最简二次根式的有理式。【典型例题】例1 化简下列各式。； ； ； ； ； ； ；例2 计算： 例3 比较大小。 例4 已知x=3,y=,求的值