第六章-灰色系统模型.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第六章-灰色系统模型第六章-灰色系统模型 第六章灰色系统模型6.引言（五步建模思想）研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图6.）。环节后果Y前因X1X2X3环节后果前因YX(a) (b)  图6.一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。一个系统包含许多这样的环节。有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图6.所示），即为网络模型。环节环节环节环节环节图6.第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。这样得到的模型，称之为优化模型。五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：语言模型网络模型量化模型动态模型 优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。 6.2 GM(1,1)模型 定义6.2.1 设 ， 称 （6.2.1）为GM(1,1)模型的原始形式。符号GM(1,1)的含义如下：GM(1,1)Grey(灰色)Model(模型)1阶方程个变量定义6.2.2 设如定义6.2.1所示,其中称（6.2.2）为GM(1,1)模型的基本形式。定理6.2.1设为非负序列：其中；为的1AGO序列：其中，；为的紧邻均值生成序列：其中，。若为参数列，且，（6.2.3）则GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列满足证明将数据代入GM(1,1)模型，得 此即对于a,b的一对估计值，以代替，可得误差序列设=使s最小的a,b 应满足从而解得：由得，但=所以定义6.2.3设为非负序列，为的1AGO序列，为的紧邻均值生成序列，则称： 为GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程。定理6.2.2 设如定理6.2.1所述，则白化方程的解也称时间响应函数为 （6.2.6）GM(1,1)模型的时间响应序列为； （6.2.7）还原值 =； （6.2.8）定义6.2.4 称GM(1,1)模型中的参数为发展系数，b为灰色作用量。反映了及的发展态势。一般情况下，系统作用量应是外生的或者前定的，而GM(1,1)是单序列建模，只用到系统的行为序列（或称输出序列、背景值），而无外作用序列（或称输入序列、驱动量）。GM(1,1)模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的。灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模（黑箱建模）的分水岭，也是区别灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。定理6.2.3 GM(1,1)模型 可以转化为 （6.2.9）其中，证明 将代入，得 = =所以定理6.2.4 设，且为GM(1,1)模型时间响应序列，其中 ； 则 （6.2.10）证明 由定理6.2.3代入的响应值，有=但所以 例6.2.1 设原始序列 =试用下列三种GM(1,1)模型对进行模拟，并比较其模拟精度：解 第一步：对作1AGO，得 =第二步：对作准光滑性检验。由 得<0.5，<0.5。当k>3时准光滑条件满足。第三步：检验是否具有准指数规律。由 得当k>3时，准指数规律满足，故可对建立GM(1,1)模型。第四步：对作紧邻均值生成。令 得 =于是 ，第五步：对参数列进行最小二乘估计。得第六步：确定模型 及时间响应式=第七步：求的模拟值 =第八步：还原求出的模拟值。由得 =第九步：检验误差。由表6.2.1可算出残差平方和 =,=0.01511平均相对误差 表6.2.1 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.230 0.04601.40% 3 3.337 3.3545 0.01750.52% 4 3.390 3.4817 0.09172.71% 5 3.679 3.6136 0.06541.78%由知，所以于是得。所以作误差检验：由表6.2.2可得残差平方和 =0.0156 表6.2.2 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.2324 0.04561.39% 3 3.337 3.3567 0.01970.59% 4 3.390 3.4820 0.0922.71% 5 3.679 3.6105 0.06851.86%平均相对误差由，知，所以= 故 表6.2.3 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.2324 0.04561.39% 3 3.337 3.3549 0.01790.54% 4 3.390 3.4821 0.09212.72% 5 3.679 3.6141 0.06491.76% 由表6.2.3可算出残差平方和 =0.01509由三种模型的残差平方和与平均相对误差可以看出:指数模型和 精度较高,差分模型精度稍低一些。定理6.2.5 若为准光滑序列，则其GM(1,1)发展系数可表示为 （6.2.11）其中 证明 由，得 所以=由定理6.2.5可知，当b有限，足够大时，GM(1,1)发展系数主要取决于光滑比 6.3残差GM(1,1)模型当GM(1,1)模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来的模型进行修正，以提高精度。定义6.3.1 设为原始序列，为的1AGO序列，GM(1,1) 模型的时间响应式 则称 （6.3.1）为导数还原值。命题6.3.1 设为导数还原值。 为累减还原值。则 证明： =因为 所以 故 由命题6.3.1可以看出，GM(1,1) 模型既不是微分方程，也不是差分方程。但当 充分小时，有。这说明微分与差分的结果十分接近。因此GM(1,1) 模型既可以看成微分方程，又可以看成差分方程。鉴于导数还原值与累减还原值不一致，为减少往复运算造成的误差，往往用的残差修正的模拟值。定义6.3.2 设 其中为的残差序列。若存在满足，的符号一致；，则称 为可建模残差尾段，仍记为命题6.3.2 设 为可建模残差尾段，其1AGO序列 的GM(1,1)的时间响应式为 ，则残差尾段的模拟序列 其中 ， 定义6.3.3 若用修正我们称修正后的时间响应式： （6.3.3） 为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。其中残差修正值的符号应与残差尾段的符号保持一致。若用与的残差尾段 建模修正的模拟值，则根据由的到的不同还原方式，可得到不同的残差修正时间响应式。定义6.3.4 若 =则相应的残差修正时间响应式 （6.3.4）称为累减还原式的残差修正模型。定义6.3.5 若，则相应的残差修正时间响应式 （6.3.5）称为导数还原式的残差修正模型。上述各种残差GM(1,1)中的残差模拟项都是取的导数还原式，当然也可以取为累减还原式，即取 ，只要充分小，取不同的残差还原式对修正值的影响不大。例6.3.1 湖北省云梦县油菜发病率数据为 =建立GM(1,1)模型，得时间响应式为：作累减还原，得 检验其精度：列出误差检验表（见表6.3.1）由表6.3.1可以看出，模拟误差较大，进一步计算残差平方和平均相对误差 表6.3.1 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 20 35.6704 15.670478.3540% 3 40 33.4303 6.569716.4242% 4 25 31.3308 6.330825.3232%5 678910111213 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15 29.3682 27.5192 25.7901 24.1719 22.653421.2307 19.8974 18.6478 17.476810.631817.48089.20993.17198.65343.23074.39741.64782.476826.5795% 38.8642% 26.3140% 15.1043% 61.8100% 17.9483% 28.3703% 9.6926% 16.5120% 残差平方和很大，相对精度不到70%，需采用残差模型进行修正。取，得残差尾段 =此为可建模残差尾段，取绝对值，得建立GM(1,1)模型，得的1AGO序列的时间响应式: 其导数还原值为 由 =可得累减还原式的残差修正模型为其中的符号与原始残差序列的符号一致。按此模型，可对四个模拟值进行修正，修正后的精度如表6.3.2所示。 表6.3.2 残差GM(1,1)模拟误差序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差10 18 17.1858 0.81424.52% 11 15.5 16.4799 0.97996.32% 12 17 15.7604 1.23967.29% 13 15 15.0372 0.03720.25% 由表6.3.2可以算出残差平方和 平均相对误差 残差修正GM(1,1)的模拟精度的得到了明显提高。因此时残差序列已不满足建模要求，若对修正精度仍不满意，就只有考虑采用其他模型或对原始数据序列进行适当取舍。6.4 GM(1,1)模型群在实际建模中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数的值也不一样。这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。例如我国的粮食产量，若采用建国以来的数据建立GM(1,1)模型，发展系数偏小；而舍去1978年以前的数据，用剩余的数据建模，发展系数明显增大。定义6.4.1 设序列 将取为时间轴的原点，则称t <n为过去，t=n为现在，t>n为未来。定义6.4.2 设序列， = 为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值，则当时，称为模型模拟值；当t>n时，称为模型预测值。建模的主要目的是预测，为提高预测精度，首先要保证有充分高的模拟精度，尤其是t=n 时的模拟精度。因此建模数据一般应取为包括在内的一个等时距序列。定义6.4.3 设原始数据数列 用建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)； 用建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)；设为最新信息，将置入，称用建立的模型为新信息GM(1,1)；置入最新信息，去掉最老信息，称用建立的模型为新陈代谢GM(1,1)。例6.4.1取例6.3.1的原始序列的最后4个数据建模：=其1AGO序列的紧邻均值生成序列，所以的GM(1,1)时间响应式为模拟序列令，得的模拟序列模拟精度比例6.3.1中建立的全数据GM(1,1)有明显的提高，尤其是模拟值的相对误差，全数据GM(1,1)是部分数据GM(1,1)的4倍多，说明适当选取建模数据可使模拟精度大大提高。例6.4.2 对于例6.2.1中的原始数据序列 补充新信息。试建立新信息模型和新陈代谢模型，并进行比较。解 新信息模型。新信息序列为 ，=于是得GM(1,1)的时间响应式模拟值：残差：相对误差： 新陈代谢模型。去掉一个最老的信息，置入一个最新信息，得建模序列 此时 ，GM(1,1)时间响应式为模拟值：残差：相对误差：精度比较。见表6.4.1。 表6.4.1 三种模型精度比较模型类别参 数 模拟值残 差相对误差老信息模型0.03723.06533.61360.06541.78%新信息模型0.04293.023.6533.81260.0260.03740.71%0.97%新陈代谢模型0.05233.03923.65953.8560.01950.0060.53%0.16%由表6.4.1可见，对的模拟精度，新信息模型和新陈代谢模型都比老信息模型高。这表明新信息GM(1,1) 模型和新陈代谢GM(1,1) 模型预测效果会比老信息模型的预测效果好。事实上，在任何一个灰色系统的发展过程中，随着时间的推移，将会不断的有一些随机扰动或驱动因素进入系统，使系统的发展相继地受其影响。因此，用GM(1,1)模型进行预测，精度较高的仅仅是原点数据以后的1到2个数据。一般说来，越往未来发展，越是远离时间原点，GM(1,1)的预测意义就越弱。在实际应用中，必须不断地考虑那些随着时间推移相继进入系统的扰动或驱动因素，随时将每一个新得到的数据置入中，建立新信息模型进行动态预测。从对的模拟精度看，新陈代谢模型高于新信息模型。从预测角度看，新陈代谢模型是最理想的模型。随着系统的发展，老数据的信息意义将逐步降低，在不断补充新信息的同时，及时地去掉老信息，建模序列更能反映系统在目前的特征。尤其是系统随着量变的积累，发生质的飞跃或突变时，与过去的系统相比，已是面目全非。去掉已根本不可能反映系统目前特征的老数据，显然是合理的。此外，不断地进行新陈代谢，还可以避免随着信息的增加，计算机内存不断扩大，建模运算量不断增大的困难。6.5 GM(1,1)模型的适用范围邓聚龙教授对GM(1,1)模型作了十分深入的研究，得到了GM(1,1)模型的多种不同形式。主要有：（1）（2）（3）（4）（5），；（6）（7）（8）（9）（10），k>3（11）（12）（13）命题6.5.1 当时，GM(1,1)模型无意义。证明 采用最小二乘法估计模型参数，有 当时，无法确定模型参数，故此GM(1,1)模型无意义。命题6.5.2 当GM(1,1)发展系数时，GM(1,1)模型无意义。证明 由GM(1,1)表达式 可知，当时，；当时，；当|>2时，为常数，而随着k的奇偶性不同而改变符号，因此随着k的奇偶性不同而变号。由以上讨论可知是GM(1,1)发展系数的禁区。当时，GM(1,1)模型失去意义。一般地，当|<2时，GM(1,1)模型有意义。但随着的不同取值，预测效果也不同。对于2<<0，即发展系数<<的情形，我们分别取=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.5,1.8等进行模拟分析。取k=0,1,2,3,4,5,由可得如下数列：=0.1,=(1,1.1051,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487) =0.2，=(1,1.2214,1.4918,1.8221,2.2255,2.7183) =0.3, =(1,1.3499,1.8221,2.4596,3.3201,4.4817) =0.4, =(1,1.4918,2.225,3.3201,4.9530,7.3890) =0.5, =(1,1.6487,2.7183,4.4817,7.3890,12.1825) =0.6, =(1,1.8821,3.3201,6.0496,11.0232,20.0855) =0.8, =(1,2.2255,4.9530,11.0232,24.5325,54.5982) =1, =(1,2.7183,7.3890,20.0855,54.5982,148.4132) =1.5, =(1,4.4817,20.0855,90.0171,403.4288,1808.0424) =1.8, =(1,6.0496,36.5982,221.4064,1339.4308,8103.0839)分别以，为原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的时间响应式：由，得，由于GM(1,1)模型中为均值生成，对于增长序列，具有弱化其增长趋势的作用。指数序列建立GM(1,1)发展系数减小。比较原始序列与模拟序列的误差（见表6.5.1）。表6.5.1模拟误差发展系数平均相对误差 0.1 0.004 0.104% 0.2 0.010 0.499% 0.3 0.038 1.300% 0.4 0.116 2.613% 0.5 0.307 4.520% 0.6 0.741 7.074% 0.8 3.603 14.156% 1 14.807 23.544% 1.5 317.867 51.033% 1.8 1632.240 65.454%可以看出，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加。当发展系数小于或等于0.3时，模拟精度可以达到98%以上，发展系数小于或等于0.5时，模拟精度可以达到95%以上，发展系数大于1，模拟精度低于70%，发展系数大于1.5，模拟精度低于50%。 进一步考察1步，2步，5步，10步预测误差（见表6.5.2） 表6.5.2预测误差0.10.20.30.40.50.60.811.51.81步误差0.129%0.701%1.998%4.317%7.988%13.405%31.595%65.117%2步误差0.137%0.768%2.226%4.865%9.091%15.392%36.979%78.113%5步误差0.160%0.967%2.912%6.529%12.468%21.566%54.491%10步误差0.855%1.301%4.067%9.362%18.330%32.599%88.790% 可以看出，当发展系数小于0.3时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上；当0.3<0.5时，1步和2步预测精度皆在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数大于0.8时，1步预测精度已低于70%。表7.5.2中的横线表示误差已大于100%。通过以上分析，可得下述结论：（1）当0.3时，GM(1,1)可用于中长期预测；（2）当0.3<0.5时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；（3）当0.5<0.8时，用GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；（4）当0.8<1时，应采用残差修正GM(1,1)模型；（5）当>1时，不宜采用GM(1,1)模型。6.6 GM(1, N)和GM(0, N)模型一、GM(1,N)模型定义6.6.1 设为系统特征数据序列，而 为相关因素序列，为的1AGO序列（），为的紧邻均值生成序列，则称 （6.6.1）为GM(1,N)模型。 定义6.6.2 在GM(1,N)模型中，称为系统发展系数，称为驱动项，称为驱动系数，称为参数列。定理6.6.1 设为系统特征数据序列，（）为相关因素数据序列，为诸的1AGO序列，为的紧邻均值生成序列，则参数列的最小二乘估计满足 定义6.6.3 设，则称 （6.6.2）为GM(1,N)模型 的白化方程，也称影子方程。定理6.6.2 设，（），B，Y如定理6.6.1所述， 则 白化方程的解为： = （6.6.3）当（）变化幅度很小时，可视为灰常量,则GM(1,N)模型 的近似时间响应式为： （6.6.4）其中取为。 累减还原式为GM(1,N)差分模拟式为： 二、GM(0,N)模型定义6.6.4 设为系统特征数据序列，（）为相关因素序列，为诸（）的1AGO序列，则称 （6.6.5）为GM(0,N)模型。 GM(0,N)模型不含导数，因此为静态模型。它形如多元线性回归模型但与一般的多元线性回归模型有着本质的区别。一般的多元线性回归建模以原始数据序列为基础，GM(0,N)的建模基础则是原始数据的1AGO序列。定理6.6.3 设，如定义6.6.4所述， ，则参数列的最小二乘估计为 例6.6.1 设系统特征数据序列为相关因素数据序列为试分别建立GM(1,2)和GM(0,2)模型。解 设GM(1,2)白化方程为 对和作1AGO，得=（2.874，6.152，9.459，12.849，16.528）=（7.04，14.685，22.76，31.29，40.064）的紧邻均值生成序列=（4.513，7.8055，11.154，14.6885）于是有=所以 得估计模型 近似时间响应式 =由此可得 ，作IAGO还原 =（2.874，2.770，3.548，3.535，3.582） 表6.6.1 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 2.770 0.50815.5% 3 3.307 3.548 0.2417.3% 4 3.390 3.535 0.1454.3% 5 3.679 3.582 0.0972.6% 设GM(0,2)模型为，由 =，可得的最小二乘估计故由GM(0,2)估计式。 由此可得 ，作IAGO还原 =（2.421，3.153，3.331，3.518，3.619） 表6.6.2 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.153 0.1253.8% 3 3.307 3.331 0.0240.7% 4 3.390 3.518 0.1283.8% 5 3.679 3.619 0.061.6% 6.7 GM(2,1)和Verhulst模型GM(1,1) 模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列，可以考虑建立GM(2,1)，DGM和Verhulst模型。一、GM(2,1)模型定义6.7.1设原始序列其1AGO序列和1IAGO序列分别为：和其中；的紧邻均值生成序列为 则称 （6.7.1）为GM(2,1)模型。 定义6.7.2 称 （6.7.2）为GM(2,1)模型的白化方程。 定理6.7.1 设，如定义6.7.1所述，且，=则GM(2,1)参数列的最小二乘估计为 定理6.7.2 关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论：若是 的特解，是对应齐次方程的通解，则+是GM(2,1)白化方程的通解。 齐次方程的通解有以下三种情况：当特征方程有两个不相等的实根时， （6.7.3）当特征方程有重根r 时， （6.7.4）当特征方程有一对共轭复根，时， （6.7.5）白化方程的特解有以下三种情况：当零不是特征方程的根时，=；当零是特征方程的单根时，；当零是特征方程的重根时，。 例6.7.1 设原始序列为 =（2.874，3.278，3.337，3.39，3.679）试建立GM(2,1)模型。解 的1AGO序列和1IAGO序列分别为 的紧邻均值生成序列= =故得GM(2,1)白化方程特征方程为，有两个不相等的实根，所以白化方程的齐次式的通解为零不是特征方程的根，易得GM(2,1)白化方程的一个特解于是有设，则将 代入 可得 由此可解出，所以 于是GM(2,1)时间响应式 所以做IAGO还原表6.7.1 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.1021 0.17595.4% 3 3.307 3.3059 0.03110.09% 4 3.390 3.4206 0.03060.09% 5 3.679 3.5392 0.13993.8%二、DGM模型 定义6.7.3 设原始序列其1AGO序列为：1IAGO序列为则 （6.7.6）为DGM(2,1)模型。 定义6.7.4 称 （6.7.7）为DGM(2,1)模型的白化方程。 定理6.7.3 若为参数列，而， 如定义6.7.3所述， ，=则DGM(2,1)模型 的最小二乘估计满足 定理6.7.4 设为非负序列，为的1AGO序列，如定理6.7.3所述，则白化方程的时间响应函数为 （6.7.8）DGM(2,1)模型的时间响应序列为 （6.7.9）还原值为证明 的通解为下面来确定任意常数。由于，即，所以 （6.7.10）又因为，所以，而，故 （6.7.11）由式（6.7.10）和（6.7.11）得，故白化方程的时间响应函数为