线性代数-第一章总结.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date线性代数-第一章总结第一章 行列式第一章 行列式线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。§ 1 二阶、三阶行列式一、内容提要1二阶行列式的定义 其中称为行列式的元素，的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即： =其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。2三阶行列式的定义 三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示： 其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。二、例题分析例1 求解二元线性方程组 解： 由于系数行列式 ， 所以方程组有唯一解为： ， 。 例2 计算行列式 解 例3 计算行列式； ； 解： 由对角线法则有： ； ；特别地: ； 三、小结对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。由例3得结论：（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。（2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。§ 2 全排列及其逆序数 一、内容提要 排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用表示.。逆序 在一个排列中，若，则称这两个数组成一个逆序.逆序数 排列中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为。排列中，考虑元素，如果比大的且排在前面的元素有个，则称元素的逆序数是。记为。奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。特别地，标准排列1，2，···，n的逆序数。规定，标准排列是偶排列。二、例题分析排列中，考虑比大，且排在前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ······ + （前面比大的数的个数） ；同样，考虑比小，且排在后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ······ + （后面比小的数的个数）。例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。 （1）5 3 2 1 4； （2）n (n1) ···2 1； （3）(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) ··· ( k+1) k。解：（1）5 3 2 1 4 ，。 因此，。此排列为奇排列。（2）n (n1) ···2 1 ，···，。因此，。当时，排列为偶排列；当时，排列为奇排列。（3）(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) ··· ( k+1) k， ， ， ，······， ······， ， 。因此，。当k为偶数时，排列为偶排列；当k为奇数时，排列为奇排列。例5 设的逆序数为k，问排列的逆序数是多少？解：若在排列中，后面比小的数共有个，则在排列中，前面的数共有个，前面比大的数共有个。由已知有 。所以排列的逆序数为。 三、小结求排列的逆序数的方法：（1）（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ······ + （前面比大的数的个数） ；（2）（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ······ + （后面比小的数的个数）。 § 3 n阶行列式的定义一、内容提要由n2个元素组成的记号称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即。行列式简记为。一阶行列式为。n阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二、例题分析例6 判别和是否为六阶行列式中的项。分析：判别是否为n阶行列式中的项，要考虑：（1）n个元素是否位于不同行，不同列；（2）确定其符号。解： 不是六阶行列式中的项。这是因为，与都位于第6列。是六阶行列式中的项。首先，中的6个元素位于不同行，不同列；再有，。确定其符号：，因此，应带负号。N阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。例7 计算行列式 。解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为。若，则，从而。所以，只有才可能不为零。同理，要使，必须，。即行列式的展开式中不为零的项仅为。因此，。例8 计算行列式 。解：这是一个1998阶行列式。显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积中，只有因此， 。例9 利用行列式定义，证明。证：由行列式定义知其值是n!项的代数和，每项是不同行不同列的n个元素的积。上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n! 1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此 。三、小结1行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；2n阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积；3项前面的符号为；4对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式；5几个常用行列式结果：（1），（2），（3）。§ 4 对 换一、内容提要在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。定理2 n 阶行列式也可定义为。 二、小结行列式的两种定义，。行列式更一般的定义为 。其中 。§ 5 行列式的性质一、 内容提要1性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即。性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。以表示行列式的第i行，以表示第i列。互换第i行与第j行，记作；互换第i列与第j列，记作。推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。即 ，或 。第i行乘以k，记作；第i列乘以k，记作。推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。第i行提出公因子k，记作；第i列提出公因子k，记作。性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：，则D等于下列两个行列式之和。如果第i行的元素都是两数之和：，则D等于下列两个行列式之和。性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。例如，以数k乘第i列加到第j列（记作）有以数k乘第i行加到第j行（记作）有。2常用结论：如果 ， ， 。则， 常记为 。二、例题分析例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0） 解： 利用性质1，得。例11 计算 。解 。 （第二、三行元素成比例）例12 计算 。解：由性质5有 右边第一个行列式中，第一列乘加到第2、3列；在第二个行列式的第一列中提出得 。例13 计算 。分析：首先，利用性质将行列式化为型，再利用求出结果。解： 。三、小结（1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。（2）。§ 6 行列式按行（列）展开一、内容提要在n阶行列式中，划去所在的第i行和第j列的元素，剩余的元素按原有次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为。称为的代数余子式。定理3 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ； 或 。 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于零。即 ，或 。综合定理及推论，有展开式 或 其中 二、例题分析在实际计算时，直接用定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的0元素。因此，在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）元素尽可能多地化为0，然后再利用定理，按该行（列）展开。例14 计算行列式 。解：.下面通过例题介绍利用性质、定理计算行列式的几种常用方法。1化为上三角行列式法利用性质，把行列式化为上三角行列式，是计算行列式的基本方法。例15 计算行列式 解： 在化为上三角行列式时，要从第一列开始，一列一列进行。在化第i列时，利用性质2选择好，以便化（）为0时，尽量避免出现分数，减少计算量。例16 计算 解： = 4观察行列式，抓住其特点，是快速准确计算行列式的第一保证。例17 计算 分析： 这个行列式有一个特点，各列4个数之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化简：解： = 48。例18 计算 ，其中。解：从第1行到第n行，依次提出公因子，得。2拆分法根据行列式的特点，利用性质5将行列式进行拆分计算。例19 证明：。证：左边 .例20 计算行列式 。解：按第1列拆分，。3递推公式法有时，根据行列式的特点，得到递推公式，计算出行列式。例21 计算 解： 按第一列展开，得 将右端第二项的行列式按第一行展开，得 即 由此递推得 于是 从而 4数学归纳法数学归纳法也是计算行列式的常用方法。例22 证明行列式。证：对阶数n使用数学归纳法。当时，故结论成立。假设结论对的自然数都成立，下面要证对n也成立。为此将按第1列展开，得上式右端的第1个行列式为，而第2个行列式按第1行展开其值为，所以有 。计算行列式要充分利用已知结果。例23 计算行列式解：从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式计算行列式，还应多进行一题多解。例24 证明：。解法1：用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立.即 所以，对于阶行列式命题成立.解法2：用递推法。将按第1列展开，得由此得递推公式： 。于是，。解法3： .解法4：将行列式按第n行展开也可以，读者自己试一试。三、小结行列式的计算方法灵活多样，技巧性强，前面所举例子的解法只是众多方法中的几种。读者可以想象并总结出另一些方法和技巧进行计算，并比较各种作法的繁简，逐步提高计算能力。*补充 拉普拉斯（Laplace）定理§6中的按行（列）展开定理只是把行列式按某一行（列）展开，下面再把它推广到按k行（k列）展开。首先应把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。定义 在n阶行列式中，任取k行与k列，将这些行与列相交处的元素按原来相对位置构成的k阶行列式 ,称为该行列式的一个k阶子式，记为N。划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个阶子式，称为N的余子式，记为M。称为N的代数余子式。例如，对四阶行列式 取第2、第3行与第2、第4列，得到一个二阶子式 。N的余子式为。N的代数余子式为。 一般在n阶行列式中取定k行，就有个k阶子式。 定理（Laplace定理） 在n阶行列式D中，任取k行（列），则由这k行（列）元素所有的k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式D。设取定的k行的所有子式为N1，N2，Nt，其所对应的代数余子式分别为A1，A2，At，则 例1 用拉普拉斯定理计算 解： 选取第1、2行，只有3个非零二阶子式 ， ， ，其对应的代数余子式为， ，。故 。 例2 计算2n阶行列式 解： 选取第n，n+1行应用拉普拉斯定理，只有一个非零二阶子式 ，其代数余子式为 故 利用这个递推公式及 ，得 。§ 7 克拉默法则一、内容提要克拉默法则 如果n元线性方程组 （*) 的系数行列式不等于零，即 则方程组（*）有唯一解，且其解为 ， 其中是把的第j列各元素依次换成方程组的常数项所得到的n阶行列式，即 ， ( j=1, 2 , , n ) 定理4 如果n元线性方程组（*）的系数行列式，则方程组（*）一定有解，且解是唯一的。定理4如果n元线性方程组（*）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5 如果齐次线性方程组 （*）的系数行列式，则齐次方程组（*）只有零解。定理5如果齐次线性方程组（*）有非零解，则它的系数行列式必为零。二、例题分析例25 求下列线性方程组的解解：该方程组的系数行列式为范德蒙德行列式 。方程组有唯一解。容易看出，也是范德蒙德行列式： ； ；。故方程组的解为 ，。例26 讨论为何值时，齐次线性方程组有唯一零解。 解：方程组的系数行列式 由此可知，当且时，D 0。此时，方程组有唯一零解。 例27 给定平面上三个点（1，1），（2，1），（3，1），求过这三个点且对称轴与Y轴平行的抛物线方程。解： 因为抛物线的对称轴与Y轴平行，因此可设所求抛物线方程为 ，于是有 这是以为未知量的三元线性方程组，其系数行列式 最右边的行列式是范德蒙德行列式，所以 所以方程组有唯一解。易得 ，。故 ，即所求抛物线方程为 。三、小结 克拉默法则是线性方程组理论的一个很重要结果，它不仅给出了方程组（*）有唯一解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系，在后面的讨论中，还会看到它在更一般的线性方程组的研究中也起着重要的作用。克拉默法则求解线性方程组必须满足如下两个条件：（1）方程组中方程的个数与未知量的个数相同；（2）方程组的系数行列式。习 题 一(A组)1 利用对角线法则计算下列行列式：（1）； （2）； （3）； （4）2 用行列式解下列方程组：（1） ， （2）。3 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。（1）2 1 7 9 8 6 3 5 4 ； （2）2 4 6 ··· 2 n (2n 1) (2n 3) ··· 3 1 。4 在6阶行列式中，这两项应带什么符号？5 计算下列行列式（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。6 用克莱姆法则解下列方程组：（1） ； （2）。（B组）7 填空题：（1）如果n阶行列式中，负项的个数为偶数，则n 。（2）如果n阶行列式中等于零的元素个数大于，那么，此行列式的值为 。（3）设，则 。（4）设，则 。（5）设，则 。（6）设，则 。8 计算下列行列式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）。-