教案《数学分析》微分.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date教案数学分析微分§5 微分§5 微 分教学目的 （1）准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。（2）弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。（3）能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求（1）清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。（2）明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点 微分的定义、计算、可导与可微的关系教学难点 运用微分的意义解决实际问题一、微分的概念 1引言先考察一个具体的问题，推得一般情形。2微分的定义定义1 函数y=f(x)定义在点的某邻域内。当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为。如果存在常数A，使得能有 （1）则称函数f在点可微，并称（1）中右端第一项为f在点的微分，记作： or 定义2 若y=f(x)在区间I上每一点都可微，则称f为I上的可微函数。函数y=f(x)在I上任一点x处的微分记作 注 （1）依赖于x和，但x与无关；（2）可微与可导的关系见下面的定理。定理1 函数f在点可微f在点可导，而且。（3）当函数为y=x，一方面，另一方面，因此我们可得微分，以后记作：；（4）对可导函数yf(x)，其微分为。例：；（5）对可导函数y=f(x)，有，从而有，即函数的导数是函数微分与自变量微分的商（导数即微商）。二微分的运算法则（1）；（2）；（3）；（4），其中。注 在（4）中，由于，。即（4）式：不仅在x为自变量时成立，当它是另一个可微函数的因变量时也成立。例1 求的微分 例2 求的微分三高阶微分对于函数y=f(x)，类似于高阶导数，可以定义高阶微分，具体做法如下：函数y=f(x)的一阶微分是。它是x和dx的函数，而变量x和dx相互独立。现将dy只作为x的函数（即把dx看作固定不变的，即自变量的增量是个常数），此时如果f二阶可导，那么dy对x的微分为：称之为函数f的二阶微分。记作 or 。一般地，n阶微分是n1阶微分的微分，记作，即注 （1）； 是x的二阶微分（=0）；是的微分（一阶）（2xdx）；（2）是n阶导数记法的来由；（3）一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分已不具备此性质，以二阶微分为例。若y=f(x)则（）当x为自变量时，；（）当x为因变量，如时，例3 记，分别用公式（6）和公式（7）求。四微分在近似计算中的应用 1函数的近似计算前已描述，如果y=f(x)在点可微，则函数的增量，当很小时，有和得到，亦即，当时有（用导数作近似计算公式）。注（1）要求f(x)在x点的数值，但往往出现以下情况：直接计算f(x)比较困难，而在x点附近一点处的函数值的导数却都比较容易求得，于是可以利用作为f(x)的近似值，x与越接近越精确。例1 求的近似值。例2 计算的近似值。（2）把 （）用于具体函数，可以得到一些常用的近似公式。例如：，；当|x|很小时，可取=0，此时相应有以下近似公式：，。2误差估计实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些书记的准确程度，就必须估计这些数据的近似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。一般地，如果一个量A的近似值为a，那么=|A-a|叫作绝对误差，而/a叫作相对误差。而满足式子|A-a|的称为绝对误差限，/a称为相对误差限。实际工作中，有许多量，如体积、面积、电池的功率等，往往不能直接测量出来，而是先测定有关的量，在利用公式计算出所需的量。例如。要求得圆的面积S，只能测出其直径d，后由Sf(d)算出面积S。由于测量得到的直径d有绝对误差，于是由此计算出面积S也相应地有绝对误差。在近似计算中知道，当很小时，（=）。于是可用算出S的绝对误差，对于圆面积Sf(d)有，所以有（绝对误差）； （相对误差）进一步，若已知时，则得绝对误差限和相对误差限分布为：；一般地，若x是由测量得到的，量y是由函数yf(x)计算得到的，在测量时，x的近似值为，。若已知测量值的误差限为，即，当很小时，； 例2 测得一球体的直径为42cm，测量工具的进度为0.05cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。()。-