2019年八年级数学上册第二章实数知识点归纳（新版）北师大版.docx

第二章 实数1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。（2）有特定意义的数，如圆周率（=3.14159265)，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001；0.585885888588885(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；（4）某些三角函数值，如sin60o等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆： .三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根：（1）概念：如果，那么是的平方根，记作：；读作“正、负根号”，其中叫做的算术平方根，读作根号。（2）性质：当0时，0； 当时，无意义； ； 。（区分、）性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意 ：的双重非负性：2立方根：（1）概念：若，那么是的立方根（或三次方根），记作：； （2）性质：； ； 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。区分：平方根、立方根的性质根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法： 设 ，则 设 ，则 。 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。如：比较 与；与（6）倒数法：设 ，则；设 ，则 规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”； 被开方数必须是非负数，即：。2、性质：（1）非负性（2） （中前提，被开方数）（3）（中隐含被开方数）（4）；（）（前提根号要有意义）（5） ；（）（前提式子和根号要有意义，）拓展：三个重要非负数： .注意：非负数之和为0 它们都是0.3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 （4）与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。