2022年高考数学知识点分类解析 .pdf

高考数学知识点分类解析（1）填空题一、考查集合的运算推理1、已知集合 1,1,2,4, 1,0,2,AB则_,BA 1，2 2、已知集合124A， ，246B， ，则AB 1,2,4,6 3、 集合 1 ,0 ,1共有个子集【答案】 8 【解析】 2384、已知集合 21 3 4A， 1 2 3B， ， ，则BA【答案】 1 3，5、已知集合1 2 3A，2 4 5B，则集合AB中元素的个数为_. 【答案】 2二、考查复数运算、模的性质1、设复数满足izi23) 1(（i 是虚数单位），则z的实部是 _【答案】 1 2、 设abR，117ii12iab（i 为虚数单位），则 ab 的值为 解析：由已知，2117i117ii2515i2515ii=53i12i(1 2i)(12i1-4i5ab（）(1+2 ）. 538ab. 答案： 8. 3、 设2)2(iz（i为虚数单位） ，则复数z的模为【答案】 5 4、已知复数2(52 )zi(i 为虚数单位 )，则 z 的实部为【答案】 21 5、 设复数 z 满足234zi（i 是虚数单位） ，则 z 的模为 _. 【答案】5三、考查古典概型知识1、 从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页Read a，b If abThen maElse mbEnd If Print m 【答案】312、现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项，3 为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 解析：满足条件的数有1，-3，33，53，73，93；所以63105p. 答案：35. 3、现在某类病毒记作nmYX，其中正整数m，n（7m，9n）可以任意选取， 则nm，都取到奇数的概率为【答案】63204、从 1 2 3 6， ， 这 4 个数中一次随机地取2 个数，则所取2 个数的乘积为6 的概率是【答案】135、 袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球， 1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为_. 【答案】56四、考查频率分布直方图、算法、统计的知识1、根据如图所示的伪代码，当输入a，b 分别为 2，3 时，最后输出的m 的值是【答案】 3 2、右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 解析：将1k带入 0=0 不满足，将2k带入40不满足，将3k带入20不满足，将4k带入00不满足，结束kk +1 开始k1k25k+40 N 输出 kY 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页将5k带入40满足，所以5k. 答案：5. 3、6抽样统计甲、乙两位设计运动员的5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93 乙89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为【答案】 2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089x方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222S4、右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是【答案】 5 5设抽测的树木的底部周长均在区间80130，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm【答案】 24 6、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45 页解析 考查流程图理解。2412223133,输出25122263S。7某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10， 6，8，5， 6， 则该组数据的方差_2s【答案】 3.2 8、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334:，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生解析：由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为3501510. 答案： 15 9、 已知一组数据4，6，5， 8，7，6，那么这组数据的平均数为_. 【答案】 6 7、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_. 【答案】 7五、考查函数的定义域、奇偶性、单调性、函数与方程等知识1、函数) 12(log)(5xxf的单调增区间是_ 【答案】),21(2、函数6( )12logf xx的定义域为 解析：由题意6012log0 xx，所以(0,6x. 答案：(0,63、已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1 ()1(afaf，则a 的值为_【答案】434、设( )f x是定义在R上且周期为2 的函数， 在区间 1 1，上，0111( )201xxaxf xbxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 45 页其中abR，若1322ff，则3ab 的值为 解析：因为2T，所以( 1)(1)ff，求得20ab. 由13()()22ff，2T得11( )()22ff，解得322ab. 联立20322abab，解得24ab所以310ab. 答案105、已知( )f x 是定义在R 上且周期为3 的函数，当03)x， 时，21( )22f xxx若函数( )yf xa 在 区 间 34 ，上 有10 个 零 点 ( 互 不 相 同 ) ， 则 实 数a 的 取 值 范 围是【答案】102，6、已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10, 0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为。【答案】 4六、考查直线、圆、圆锥曲线的知识1、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2)(的图象交于P、Q两点，则线段PQ 长的最小值是 _ 【答案】 4 2、 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5， 则 m 的值为 解析：22450mmemm，解得2m. 答案： 2. 3、双曲线191622yx的两条渐近线的方程为【答案】xy434、在平面直角坐标系xOy 中，直线230 xy被圆22(2)(1)4xy截得的弦长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 45 页y x l B F O c b a 为【答案】2 5555、在平面直角坐标系xOy中，圆 C 的方程为228150 xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 解析：圆 C 的圆心为(4,0)， 半径为 1； 由题意，直线2ykx上至少存在一点00(,2)A xkx，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点；故存在0 xR，使得11AC成立，即min2AC；而minAC即为点 C 到直线2ykx的距离2421kk，故24221kk，解得403k，即 k 的最大值是43. 答案：436、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d，若126dd，则椭圆C的离心率为【答案】33【解析】 如图， l：xca2，2dca2ccb2，由等面积得：1dabc。若126dd，则cb26abc， 整 理 得 ：06622baba， 两 边 同 除 以 ：2a， 得 ：0662abab，解之得：ab36，所以，离心率为：331e2ab7、在平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数xy1（0 x）图象上一动点，若点AP，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 45 页【答案】 1 或108、在平面直角坐标系xOy中，以点)0, 1 (为圆心且与直线)(012Rmmymx相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。【答案】22(1)2xy9、在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线122yx右支上的一个动点。若点P到直线01yx的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为。【答案】22七、考查函数的切线方程等知识1、在平面直角坐标系xOy中，已知 P 是函数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在P 处的切线l交 y 轴于点 M，过点 P 作l的垂线交y 轴于点 N，设线段MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 _ 【答案】)(211ee2、抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) 若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是【答案】 2，12 【解析】抛物线2xy在1x处的切线易得为y2x1，令 zyx2，y12xz2画出可行域如下，易得过点(0， 1)时， zmin 2，过点 (12，0)时， zmax123、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2byaxx( a b， 为常数 )过点(25)P，且该曲线在点 P 处的切线与直线7230 xy平行，则 ab的值是【答案】3y x O y2x 1 y12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 45 页八、考查三角函数的图象、三角变换等知识1、 函数,(),sin()(wAwxAxf是常数，)0,0 wA的部分图象如图所示，则 f(0)= 【答案】262、设为锐角，若4cos65，则sin 212的值为 解析 : Q为锐角，2663，4cos65Q，3sin65；12cos66sin 22sin253，17 2sin 2sin 2sin 2coscos 2sin1234343450. 答案：17 250. 3、已知函数cosyx与sin(2)(0)yx，它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是【答案】64、若ABC 的内角满足 sin2sin2sinABC ，则 cosC 的最小值是【答案】6245、函数)42sin(3xy的最小正周期为【答案】 【解析】 T |2|22| 6、已知函数cosyx与sin(2)(0)yx，它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 45 页【答案】67、已知,2)4tan(x则xx2tantan的值为 _ 【答案】948、已知tan2，1tan7，则tan的值为 _. 【答案】 3九、考查不等式的基本性质1、设集合,)2(2|),(222RyxmyxmyxA, , 122|),(RyxmyxmyxB, 若,BA则实数m 的取值范围是_ 【答案】22,212、已知函数2( )()f xxaxb a bR，的值域为0)，若关于x 的不等式( )f xc的解集为(6)mm，则实数c 的值为 解析：由值域为0)，得240abV，即24ab；2222( )42aaf xxaxbxaxx，2( )2af xxc解得2acxc；Q不等式( )f xc的解集为(6)mm，()()2622aaccc，解得9c. 答案： 9 3、已知正数a b c， ，满足：4ln53lnbcaacccacb，则ba的取值范围是 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 45 页答案： ,7e4、已知)(xf是定义在R上的奇函数。 当0 x时，xxxf4)(2， 则不等式xxf)(的解集用区间表示为【答案】 (5，0) (5， ) 【解析】做出xxxf4)(2(0 x)的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数， 利用奇函数图像关于原点对称做出x0 的图像。不等式xxf)(， 表示函数y)(xf的图像在yx 的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5， )。5、已知函数2( )1f xxmx，若对任意1xm m，都有( )0f x成立，则实数m 的取值范围是【答案】202，6、 不等式224xx的解集为 _. x y yx yx2 4 x P(5,5)Q(5, 5)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 45 页【答案】xx-12（或（-1,2 ）十、向量的数量积1、已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,22121eekbeea若0ba，则k 的值为. 452、如图，在矩形ABCD 中，22ABBC，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若2ABAF，则AEBF的值是 解析：以 A 为坐标原点， AB,AD 所在直线分别为x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知：点B(2,0)，点 E2,1,设点 F( , )a b，所以( 2,0)ABuu u r，( , )AFa buuu r；由条件解得点(1,2)F，所以( 2,1)AEuu u r，12, 2BFuu u r；所以2AE BFuu u r uu u rg. 答案：2. 3、设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32，若ACABDE21（21，为实数），则21的值为【答案】12【解析】)(32213221ACBAABBCABBEDBDEACABACAB213261所以，611，322，21124、 如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85ABAD，32CPPDAP BP， 则 A B A D的值是A B C E F D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页【答案】 22 5、已知向量av= （2,1 ） ，bv= （ 1，-2 ） ，若manbvv= （ 9，-8） （m ，nR） ，则 m-n 的值为 _. 【答案】 -36 、 设 向 量)12, 2, 1 ,0)(6cos6sin,6(coskkkkak， 则1201)(kkkaa的 值为。【答案】9 3十一、立体几何1、如图，在长方体1111ABCDABC D中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABB D D的体积为 cm3解析：13 23 22632V. 答案： 6. 2、 如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED，分别是1AAACAB，的中点，设三棱锥ADEF的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV【答案】 1： 24 【解析】 三棱锥ADEF与三棱锥ABCA1的相似比为1：2，故体积之比为1： 8又因三棱锥ABCA1与三棱柱ABCCBA111的体积之比 为1 ： 3 所 以 ， 三 棱 锥A D EF与 三 棱 柱ABCCBA111的体积之比为1：243、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12SS， ，体积分别为12VV， ，若它们的侧面积相等，且1294SS，则12VV的值是【答案】324、现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2、高为 8 的圆柱各一个。ABC1ADEF1B1CD A B C 1C1D1A1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为。【答案】7十二、数列1、设7211aaa，其中7531,aaaa成公比为q 的等比数列，642,aaa成公差为 1 的等差数列，则q 的最小值是 _332、在正项等比数列na中，215a，376aa，则满足nnaaaaaa2121的最大正整数n的值为【答案】 12 【解析】 设正项等比数列na首项为 a1，公比为 q，则：3)1(215141qqaqa，得：a1132，q2， an 26n 记521212nnnaaaT，2)1(212nnnnaaannT，则2)1(52212nnn， 化 简 得 ：5211212212nnn， 当5211212nnn时 ，12212113n当 n12 时，1212T，当 n13 时，1313T，故 nmax123、在各项均为正数的等比数列na中，若21a，8642aaa ，则6a 的值是【答案】 4 4、数列na满足11a，且11naann（*Nn） ，则数列1na前10 项的和为。【答案】2011精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页（2）解答题一、考查三角函数的基本关系式、平面向量数量积等知识1、已知2，5sin5（1）求sin4的值；（2）求cos26的值【答案】 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分 14 分. （ 1）5sin25，22 5cos1sin5210sinsincoscossin(cossin)444210；（2）2243sin 22sincoscos2cossin55，33143 34cos2coscos2sinsin 26662525102、已知)sin,(cos)sin,(cosba，0（1）若2|ba，求证：ba；（2）设)1 , 0(c，若cba，求,的值解： （1）ab(cos cos ，sin sin )，|ab|2(cos cos )2(sin sin )222(cos cos sin sin )2，所以， cos cos sin sin 0，所以，ba（2）1sinsin0coscos，22得： cos( )12所以， 32， 32 ，带入得： sin(32 )sin 23cos 12sin sin(3 )1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页所以，3 2所以， 65， 63、在ABC 中，已知3AB ACBA BC（ 1）求证： tan3tanBA ；（ 2）若5cos5C，求 A 的值【 答 案 】 解 ：（ 1 ） 3ABACBA BC， cos=3cosAB ACABA BCB ， 即c o s= 3c o sA CAB CB。由正弦定理，得=sinsinACBCBA， sincos=3sincosBAAB 。又 0 AB B ，。 sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA 。（2）5cos05CC ， tan=1A。=4A。【考点】 平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】 （1）先将3ABACBA BC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由5cos5C，可求 tanC ，由三角形三角关系，得到tanAB，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。4、在 ABC 中，角 A、B、 C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA求 A 的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值解：（1）由题设知0cos,cos3sin,cos26sincos6cossinAAAAAA所以从而，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页.3,0,3tanAaA所以因为（2）由.,cos23,31cos222222cbaAbccbacbA得及故ABC 是直角三角形，且31cossin,2ACB所以. 5、在ABCV中，已知2,3,60.ABACAo(1) 求 BC的长；（2）求sin2C的值。解：（1）由余弦定理知，2221CC2C cos4922372，所以C7（2）由正弦定理知，CsinCsin，所以2sin 6021sinCsinC77因为C，所以C为锐角，则232 7cosC1sin C177因此212 74 3sin 2C2sin C cosC2777. 二、立体几何1 、 如 图 ， 在 三 棱 锥 PA B C中 ， DEF， ，分 别 为 棱 P CA CA B，的 中 点 已 知6P AA CP A，8BC，5DF（ 1）求证：直线PA平面 DEF ；（ 2）平面 BDE平面 ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分. （1） DE， 为 PCAC，中点DEPA PA平面 DEF ，DE平面 DEFPA平面 DEF（2） DE， 为 PCAC，中点132DEPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页 EF， 为 ACAB，中点142EFBC222DEEFDF90DEF ， DE EF/DEPA PAAC， DEACACEFEDE平面 ABCDE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC2、如图， 在三棱锥ABCS中，平面SAB平面SBC，BCAB，ABAS，过A作SBAF，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点求证：（ 1）平面/EFG平面ABC；（ 2）SABC证： （1）因为 SAAB 且 AF SB，所以 F 为 SB的中点又 E，G 分别为 SA，SC 的中点，所以， EFAB，EGAC又 ABACA，AB面 SBC， AC面 ABC，所以，平面/EFG平面ABC（2）因为平面SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC，AF平面 ASB，AFSB所以， AF平面 SBC又 BC平面 SBC，所以， AFBC又 ABBC，AFAB A，所以， BC平面 SAB又 SA平面 SAB，所以，SABC3、如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点 C ） ，且ADDEF，为11B C的中点求证：（1）平面ADE平面11BCC B；（2）直线1/A F平面ADE【答案】 证明： （1）111ABCA BC是直三棱柱，1CC平面 ABC 。ABCSGFE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页又AD平面 ABC ，1CCAD。又1ADDECCDE，平面111BCC BCCDEE，AD平面11BCC B。（lb ylfx ）又AD平面ADE，平面ADE平面11BCC B。（2）1111A BAC，F为11B C的中点，111A FB C。又1CC平面111A B C，且1A F平面111A B C，11CCA F。又111CCB C，平面11BCC B，1111CCB CC， 1A F平面111A B C。由（ 1）知，AD平面11BCC B，1A FAD。又AD平面1, ADEA F平面ADE，直线1/A F平面ADE【考点】 直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】 （1）要证平面ADE平面11BCC B，只要证平面ADE上的AD平面11BCC B即可。它可由已知111ABCA B C是直三棱柱和ADDE证得。（2）要证直线1/A F平面ADE，只要证1A F平面ADE上的AD即可4、如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD平面 ABCD ，AB=AD ， BAD=60，E、F分别是 AP、AD 的中点求证： （ 1）直线 EF平面 PCD；（2）平面 BEF平面 PAD 证明： （ 1）在 PAD 中，因为E、F 分别为AP，AD 的中点，所以EF/PD. 又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF/平面 PCD. （2）连结 DB ，因为 AB=AD ， BAD=60 ，所以 ABD 为正三角形，因为F 是 AD 的中点，所以BFAD. 因为平面 PAD平面ABCD ，BF平面 ABCD ，平面PAD平面 ABCD=AD ，所以BF平面 PAD。又因为 BF平面 BEF，所以平面BEF平面 PAD. FEACDBP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页5、如图，在直三棱柱111ABCA BC中，已知1,ACBC BCCC. 设1AB的中点为D，11.BCBCE求证： （1）11/ /DEAACC平面(2)11BCAB证明：（1）由题意知，为1C的中点，又D为1的中点，因此D/C又因为D平面11C C，C平面11C C，所以D/平面11C C（2）因为棱柱111CC是直三棱柱，所以1CC平面C因为C平面C，所以1CCC又因为CC，1CC平面11CC，C平面11CC，1CCCC，所以C平面11CC又因为1C平面11CC，所以1CC因为1CCC，所以矩形11CC是正方形，因此11CC因为C，1C平面1C，1CCC，所以1C平面1C又因为1平面1C，所以11C三、解析几何1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，12FF， 分别是椭圆22221(0)yxabab的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 (0)b， ，连结2BF 并延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 45 页一点 C，连结1FC （ 1）若点 C 的坐标为4133，且22BF，求椭圆的方程；（ 2）若1FCAB ，求椭圆离心率e的值【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力 . 满分 14 分. （1）4133C，22161999ab22222BFbca ，22(2)2a，21b椭圆方程为2212xy（2）设焦点12(0)(0)()FcF cC xy， ， ， A C， 关于 x 轴对称，()A xy，2BFA， 三点共线，bybcx，即0bxcybc1FCAB ，1ybxcc，即20 xcbyc联立方程组，解得2222222caxbcbcybc2222222a cbcCbcbc，C 在椭圆上，222222222221a cbcbcbcab，化简得225ca ，55ca, 故离心率为552、如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3 ,0(A，直线42:xyl设圆C的半径为1，圆心在l上（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围解： （1）联立：421xyxy，得圆心为： C(3， 2)x y A l O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 45 页设切线为：3kxy，d11|233|2rkk，得：430kork故所求切线为：3430 xyory（2）设点 M(x，y)，由MOMA2，知：22222)3(yxyx，化简得：4) 1(22yx，即：点 M 的轨迹为以 (0，1)为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆D又因为点M在圆C上，故圆C 圆 D 的关系为相交或相切故： 1|CD|3，其中22)32( aaCD解之得： 0a1253、如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc，2(0)F c，已知(1)e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设,A B 是椭圆上位于x轴上方的两点， 且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点 P（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值【答案】 解： （1）由题设知，222=cabcea，由点(1)e，在椭圆上，得2222222222222222111=1=1ecbca baa bbabaa b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 45 页22=1ca。由点32e，在椭圆上，得22222422224433221311144=0=214ecaaaaabaa椭圆的方程为2212xy。（2）由（ 1）得1( 1 0)F，2(1 0)F，又1AF2BF，设1AF、2BF的方程分别为=1=1my xmy x，11221200A xyB xyy y ，。2221221111211221221=0=22=1xmmymymyymmyx。22222222111112221122=10 =122mm mmmAFxymyymmm。同理，2222211=2mm mBFm。（i）由得，2122212m mAFBFm。解22216=22m mm得2m=2。注意到0m ，=2m。直线1AF的斜率为12=2m。（ii）证明：1AF2BF，211BFPBPFAF，即2121111111BFPBPFBFAFPBPFAFPFAF。11112=AFPFBFAFBF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 45 页由点B在椭圆上知，122 2BFBF，11212=2 2AFPFBFAFBF。同理。22112=22BFPFAFAFBF。12212211212122+=2 2222 2AFBFAF BFPFPFBFAFAFBFAFBFAFBF由得，212221=2mAFBFm，221=2mAF BFm，1223+=2 2=222PFPF。12PFPF是定值。【考点】 椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e，和32e，都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件1262AFBF，用待定系数法求解。4、如图，在平面直角坐标系xOy中， M、N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作 x 轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点P到直线 AB 的距离 d；（3）对任意k0，求证： PAPB 解： （1）由题设知，),2, 0(),0, 2(,2,2NMba故所以线段MN 中点的坐标为)22,1(，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段 MN 的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 45 页又直线 PA 过坐标原点，所以.22122k（2）直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0,32(C直线 AC 的斜率为.032, 13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此（3）解法一：将直线 PA 的方程kxy代入2222221,421212xyxkk解得记则)0,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk或因此. 于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此., 11PBPAkk所以解法二：设)0,(),(, 0,0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则. 设 直 线PB ， AB的 斜 率 分 别 为21,kk因 为C在 直 线AB上 ， 所 以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 45 页.22)()(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy因此., 11PBPAkk所以5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆222210 xyabab的离心率为22，且右焦点 F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；过 F 的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l 和 AB于点 P，C，若PC=2AB ，解： （1）由题意，得22ca且23acc，解得2a，1c，则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy（2）当x轴时，2，又C3，不合题意当与x轴不垂直时，设直线的方程为1yk x，11,x y，22,xy，将的方程代入椭圆方程，得2222124210kxk xk，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 45 页则221,2222 112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且2222221212122 2 111 2kxxyykxxk若0k，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而0k，故直线C的方程为222121212kkyxkkk，则点的坐标为22522,12kkk，从而2222 311C12kkkk因为C2，所以222222 3114 2 11212kkkkkk，解得1k此时直线方程为1yx或1yx四、应用题1、如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点A 位于点 O 正北方向60m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处(OC 为河岸 )，4tan3BCO（ 1）求新桥BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 16 分 . 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点， OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线 BC 的斜率 kBC= tanBCO=43. 又因为 ABBC，所以直线AB 的斜率 kAB=34. 设点 B 的坐标为 (a,b)，则 kBC=04,1703bakAB=603,04ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 45 页解得 a=80，b=120. 所以 BC=22(17080)(0120)150. 因此新桥BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0d60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3yx，即436800 xy由于圆 M 与直线 BC 相切，故点M(0，d)到直线 BC 的距离是r，即|3680 |680355ddr. 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所以80(60)80rdrd即68038056803(60)805dddd解得1035d故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大. 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二 : (1)如图，延长OA, CB 交于点 F.因为 tan BCO=43.所以 sinFCO=45， cosFCO =35. 因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tanFCO=6803. CF=850cos3OCFCO,从而5003AFOFOA. 因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO=45，又因为 ABBC，所以 BF=AF cosAFB=4003，从而 BC=CFBF=150. 因此新桥BC 的长是 150 m. (2)设保护区