2022年高考数学空间向量例题 .pdf

学习必备欢迎下载1(2010 辽宁理 19） ）已知三棱锥PABC 中， PA面 ABC ，ABAC，PA=AC=12AB，N为 AB 上一点， AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点 .证明： CMSN；审题要津： 本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设 PA=1，以 A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1） ，C（0,1,0） ，B （2,0,0） ，M（1,0,12） ，N （12,0,0） ，S （1,12,0）111(1, 1, ),(,0)222CMSN, 因为110022CMSN，所以 CMSN . 【点评】 对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为 0 证明两直线垂直. 例 2(2010 天津理 19)在长方体1111ABCDA B C D中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，CF=AB=2CE, 1:ABADAA =1: 2: 4. 证明AF平面1A ED审题要津： 本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB,依题意得(0,2D,(1 ,2,1)F, 1(0,0, 4)A,31,02E已知(1,2,1)AF,131,42EA,11,02ED于是AF1EA=0，AFED=0.因此，1AFEA,AFED, 又1EAEDE所以AF平面1A ED【点评】 对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法， 先求出平面的法向量和直线的方向向量， 证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例 3 （ 20XX年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，/PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且2ADPDMA.求证：平面EFG平面PDC. 审题要津： 本题空间坐标系易建立，可用坐标法.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载解析： 以 A 为原点，向量DA,AB,AM分别为x轴、y轴、z轴的正方向，如图建立坐标系， 设 AM=1 ， 则 AD=AB=PD=2, 则 B(0,2,0),C( 2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2), M(0,0,1),则 E(0,1,12),G( 1,1,1),F(2,1,1)，EG=(-1,0,12),GF=( 1,0,0),设平面 EFG的法向量m=（x，y，z） ，则EG m=12xz=0 且GFm=x=0，取y=1，则x=z=0，m=（0，1,0 ） , 易证面 PDC的法向量为DA=(2,0,0), DAm=2 00 1 00=0, mDA, 平面EFG平面PDC【点评】 对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直. 考点 2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、 线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一. 例 4（ 2010 湖南理 18）在正方体1111ABCDA B C D，E 是棱1DD的中点。在棱11C D上是否存在一点F，使1B F平面1A BE?证明你的结论。审题要津： 本题坐标系易建立，可用向量法求解. 解析： 以 A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为 2，则 B(2,0,0),E(0,2,1),1A(0,0,2),1B(2,0,2)，BE=( 2,2,1),1BA=（ 2，0，2） ，设面1BEA的法向量为m=（x，y，z） ，则BEm=22xyz=0 且1BAm=22xz=0，取x=1，则z=1，y=32，m=（1，32， 1） , 假设在棱11C D上存在一点F，使1B F平面1A BE，设 F(0 x，2，2)（00 x2）, 则BF=（02x，2， 2） ，则BFm=031 (2)2( 1) 22x=0，解得0 x=1，当 F 为11C D中点时，1B F平面1A BE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载【点评】 对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（ 1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时， 利用点在某线段上， 设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算 ;(2)注意点的坐标的范围. 例 5 在三棱柱111ABCA B C中，侧棱垂直于底面， 在底面 ABC 中ABC=090,D 是 BC 上一点，且1A B面1AC D，1D为11B C的中点， 求证：面11A BD面1AC D. 审题要津： 本题的坐标系容易建立，可用向量法. 解析： 以 B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a，BC=2b，1BB=c，则 A（a,0,0） ，1C(0，2b，c)，1B(0,0, c)，1A(a，0，c)，1D(0，b，c)，设 D(0，0y，0)（00y2b） ，AD=( a，0y，0)，1AC=( a，2b，c)，1BA=(a，0，c)，1BD=（0，b，c） ，设 面1A C D的 法 向 量 为m=(1x，1y，1z) ， 则ADm=101axy y=0且1ACm=1112axbycz=0，取1y=a，则1x=0y，1z=02ayabc，则m=（0y，a，02ayabc） ，又1A B面1AC D，1BAm=002ayabaycc=0，解得0y=b， m=（b，a，abc） ，设面11A BD的法向量为n=(2x,2y,2z), 则1BAn=22axcz=0 且1BDn=22bycz=0，取2z=1，则2x=ca，2y=cb，则n=(ca，cb，1) ，n=cabm，mn，面11A BD面1AC D.【点评】 对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行. 考点 3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、 平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度. 例 6(2010 天津理 19)在长方体1111ABCDA B C D中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1: 2:4ABADAA（1）求异面直线EF与1A D所成角的余弦值；（2）求二面角1AEDF的正弦值。审题要津： 本题坐标系易建立，可以向量法. 解析： 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设1AB, 依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0, 4)A,31,02E(1)证 明 ： 易 得10,12EF,1(0,2,4)A D,于 是1113c o s,5E FADE FA DE FAD, 所以异面直线EF与1A D所成角的余弦值为35(2) 解：设平面EFD的法向量n=( , , )x y z，则EFn=12yz=0 且EDn=12xy=0，不妨令x=1, 可得n=(1,2, 1), 设平面1A ED的法向量m= （m，n，p） 则EDm=12mn=0 且1DAm=24np=0，取p=1, 则n=2，m=1，则m=（1,2,1 ）于是2cos,=|3nmn mn |m |，从而sin,n m5=3，所以二面角1A -ED-F的正弦值为53【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m、n，在求出m、n的夹角，设两异面直线的夹角，利用cos=|cos|m,n求出异面直线的夹角，注意： （1）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2) 对二面角l的大小问题，先求出平面、的法向量m、n，再求出m、n的夹角，在内取一点 A，在内取一点B ，设二面角l大小为，若ABn与ABm同号，则=m,n，若ABn与ABm异号，则=m,n，注意二面角大小与法向量夹角的关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 7（ 2010 全国卷I 理 7）正方体 ABCD-1111A B C D中，B1B与平面 AC1D所成角的余弦值为A 23 B33 C23 D63审题要津： 本题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解 . 解析：如图建立坐标系， 设正方体棱长为1，1BB与面1ACD的夹角为， 则 D(0,0,0),C(0,1,0) ，B(1,1,0),A(1,0,0),1D(0,0,1),1B(1,1,1), AC= （ 1， 1,0） ，1AD=( 1,0,1),1BB=(0,0,1), 设面1ACD的法向量n= （x，y，z） ， 则 0=ACn=xy且 0=1ADn=xz， 取x=1，则y=1，z=1， n=（1,1,1） ，sin=11| |BBBBn|n|=33，cos=63，故选 D. 【点评】 对于线面夹角问题，若容易建立坐标系，则常用坐标法，建立坐标系，求出线面夹角问题中三位直线的方向向量m和平面法向量n，设线面角为，则直线方向向量m在平面法向量n方向上的投影的长度|mn |n |与直线方向向量m的模之| m|比|mn |m | n|就是线面夹角的正弦值，即sin=|mn |m | n |. 历届高考中的空间向量与立体几何试题选讲1.(2008 海南、宁夏理 )如图，已知点 P在正方体ABC DA1B1C1D1的对角线BD1上， PDA=60 。（ 1）求 DP 与 CC1所成角的大小； （2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。B1C1D1A1CDABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载MABDCO2.（2008 安徽文） 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的 菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点。（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。3.（2005 湖南文、理）如图 1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为2 和 6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（）证明：AC BO1；（）求二面角O AC O1的大小。A B C D O O1 A B O C O1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载4.（2007 安徽文、 理)如图 ,在六面体1111DCBAABCD中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形1111DCBA是边长为 1 的正方形 ,1DD平面1111DCBA,1DD平面 ABCD，DD1=2。()求证 :11CA与 AC 共面，11DB与 BD 共面 . ()求证 :平面;1111BDDBACCA平面()求二面角CBBA1的大小 . 5.(2007 海南、宁夏理 )如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC，O为BC中点（）证明：SO平面ABC；（）求二面角ASCB的余弦值OSBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载6.( 2007 四川理） 如图，PCBM是直角梯形， PCB90，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60. （）求证：平面PAC平面ABC; （）求二面角BACM的大小 ; （）求三棱锥MACP的体积 . 7.( 2006 全国卷文、理)如图，1l、2l是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段. 点 A、B在1l上， C在2l上，AMMBMN。 （）证明AC NB；( ) 若60OACB，求NB与平面 ABC所成角的余弦值。A B M N C l2l1H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载8.（2006 福建文、理）如图，四面体ABCD 中， O、E 分别是 BD 、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面 BCD ； （II）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；（III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲(参考答案 ) 1解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系DxyzCADBOE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载xyzMABDCOP则(10 0)DA，(0 01)CC，连结BD，B D在平面BB D D中，延长DP交B D于H设(1)(0)DHmmm，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm解得22m，所以22122DH，（）因为22001 1222cos212DH CC，所以45DH CC，即DP与CC所成的角为45（）平面AA D D的一个法向量是(01 0)DC， ，因为22011 0122cos212DH DC，所以60DH DC，可得DP与平面AA D D所成的角为302解： 作APCD于点 P, 如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0, 0,1)222ABPDOM, (1)设AB与MD所成的角为, 22(1,0,0),(, 1)22ABMD1c o s,23AB MDABMD, AB与MD所成角的大小为3(2)222(0, 2),(, 2)222OPOD设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn OD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, (1, 0 ,2 )OB, 23OB ndn. 所以点 B 到平面 OCD 的距离为23A B C D P ABCDx y z H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载3解:（ I）证明由题设知OAOO1，OBOO1. 所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OA OB. 故可以 O 为原点， OA、 OB、OO1 所在直线分别为x轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，1，3）,O1（0，0，3）. 从而)3, 3, 0(),3, 1 , 3(1BOAC，.03331BOAC所以 AC BO1. （II ）解：因为,03331OCBO所以 BO1OC，由（ I）ACBO1，所以 BO1平面 OAC，1BO是平面 OAC 的一个法向量. 设),(zyxn是 0 平面 O1AC 的一个法向量，由,3.0,033001zyzyxCOnACn取得)3, 0, 1 (n. 设二面角O ACO1的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO，所以 coscosn，1BO=.43|11BOnBOn4.解（向量法） ：以 D 为原点，以DA,DC,1DD所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系xyzD如图，则有A（2，0，0） ，B（2， 2，0） ，C（ 0，2，0） ，).2,0 ,0(),2,1 ,0(),2, 1 , 1(),2,0 ,1 (1111DCBA（）证明：),0 ,2, 2(),0 , 1 , 1(11ACCA),0 ,2,2(),0 , 1 , 1 (11DBBD.2,21111BDDBCAAC平行，与平行，与1111BDDBCAAC于是11CA与 AC 共面，11DB与 BD 共面 . （）证明：，），（），（00222001ACDD，），（），（0022022ACDB.1ACDBACDD，是平面与111BDDBDBDD内的两条相交直线，.11BDDBAC平面又平面，过ACACCA11.1111BDDBACCA平面平面（）解：.210211201111），（），（），（CCBBAA设的法向量，为平面11111),(ABBAzyxn, 02, 021111111zyxBBnzxAAn于是).1 ,0, 2(,2,1,0111nzzy则取设的法向量，为平面11222),(BCCBzyxm.02, 022212221zyCCmzyxBBm于是).1 ,2, 0(,2, 1,0222myzx则取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载.51,cosnmnmnm.511的余弦为二面角CBBA5证明：（）由题设AB AC SB SC=SA，连结OA，ABC为等腰直角三角形，所以22OAOBOCSA，且AOBC，又SBC为等腰三角形，故SOBC，且22SOSA，从而222SASOOA 所以SOA为直角三角形，SOAO又AOBOO所以SO平面ABC（）解：以O为坐标原点，射线OBOA，分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz设(10 0)B ，则( 10 0)(0 1 0)(0 01)CAS， ，SC的中点11022M，111101( 1 01)2222MOMASC， ， ，00MO SCMA SC，故,MOSCMASCMO MA，0). HN=(0,1,2), MC=(0,1, 2). HNMC= 12=0, = 13, H(0, 13, 23), 可得 HN=(0,23, 23), 连结 BH,则BH=(1,13, 23), HN BH=0+2929=0, HNBH, 又 MC BH=H, HN平面 ABC, NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角 .又BN=( 1,1,0), cosNBH= BHBN|BH|BN|= 43232= 63A B M N C l2l1H x y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载8 (1)证明：连结OC. BO=DO,AB=AD, AOBD. BO=DO,BC=CD, COBD. 在 AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3.而 AC=2, AO2+CO2=AC2, AOC=90 ,即 AO OC. ,0OCBDAO平面 BCD. （）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1， 0，0)，D(-1，0，0)，C(0，3，0)，A(0,0,1),E(21,23,0), ).0, 3, 1(),1 ,0 , 1(CDBA,42,cosCDBACDBACDBA异面直线AB 与 CD 所成角的大小为.42arccos（）解法一：设平面ACD 的法向量为n=(x,y,z),则, 0) 1, 3, 0(),(, 0) 1, 0, 1(),(zyxACnzyxADn.03,0zyzx令 y=1，得 n=(-3, 1 ,3)是平面 ACD 的一个法向量.又),0,23,21(EC点 E 到平面 ACD 的距离 h=.72173|nnEC（）解法二：设点E 到平面 ACD 的距离为h. CDEAACDAVV, h31SACD =31AOSCDE. 在 ACD 中， CA=CD=2,AD=2, SACD=,2722222132而 AO=1, SCDE=,23243212h=,72127231ACDCDESSAO点 E 到平面 ACD 的距离为721.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页