浙教版八年级上册数学三角形初步认识和特殊三角形结合复习.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date浙教版八年级上册数学三角形初步认识和特殊三角形结合复习中英文学智教育教师备课手册教师姓名徐利萍学生姓名俞成平填写时间2014-1-1学科数学年级八年级上课时间 2014.1.1课时计划2 教学目标教学内容三角形和特殊三角形期末复习个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程【教学内容】【知识梳理】三角形的三边关系1、两边之和大于第三边 2、两边之差小于第三边题型1 判断下列各组线段是否能组成三角形5cm,6cm,3cm 7cm,12cm,20cm分析：能组成三角形的三条线段只需满足较小两边之和大于最大边，或最大边与任意较小边之差小于第三边即可。解：3+5>6 或 6-3<5 5cm,6cm,3cm能组成三角形。 5cm,6cm,3cm能组成三角形。 7+12<20 或 20-12>7 7cm,12cm,20cm不能组成三角形 7cm,12cm,20cm不能组成三角形。（2012义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A2 B3 C4 D82（2010年山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个题型2、求第三边的取值（取值范围）已知三角形的两边长分别为3cm,8cm,若第三边长度为偶数，则第三边的长为 分析：由第三边的长<两边之和，第三边的长>两边之差，可得第三边的取值范围，再根据第三边为偶数确认第三边的取值。解：设第三边长为x cm,根据题意得：x<3+8, 解得 x<11 又x为偶数 x=6、8、10x>8-3, x>5已知一个三角形的三条边长为2，x，7，则x的取值范围是 。在ABC中，AB6，AC10，那么BC边的取值范围是_，周长的取值范围是_三角形的高线定义：过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。（即三角形的高的两个端点一个为三角形的顶点，一个为顶点所对边上的垂足）画法：（过顶点作对边的垂线） （锐角三角形高线图） （直角三角形高线图） （钝角三角形高线图）性质：1、三角形的高线垂直于三角形一边。2、三角形高线与所在边所成角为900 3、三角形面积=½底1×高1= ½底2×高2另外：锐角三角形三条高线在三角形内，直角三角形斜边上的高线在三角形内，直角边互为高线。钝角三角形钝角边上的高线在三角形外，钝角所对边上的高线在三角形内。三角形的高所在直线交于一点。题型1、如图：已知AE、CD是ABC的高，其中AE=6，CD=8，BC=12，求AB分析：三角形中已知两组底与高中的三条线段，可用面积求法得第四条线段解：AE、CD是ABC的高 BCAE=ABCD 又AE=6，CD=8，BC=12 12×6=8AB 得 AB=9 三角形的中线定义：三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做三角形的中线。中线性质：1、平分三角形一边，2、平分三角形的面积题型1、如图是一块三角形形状的菜地，请将它平均分成四份（两种以上方案）分析：不断用中线平分三角形即可。题型2、如图，中线BD将等腰ABC的周长分成12cm和6cm两部分。求三角形的三边长。分析：ABC的周长是：AB+AC+BC，中线BD将其分成AB+AD和DC+BC两部分（待别注意，周长并不包含BD），题目中并没有明确12cm,6cm分别是哪部分，所以分类1：AB+AD=12，DC+BC=6，分类2：AB+AD=6，DC+BC=12解：BD是等腰ABC的中线 AD=DC=½AC=½AB设AD=xcm,则AB=2xcm,DC=xcm,若AB+AD=12，DC+BC=6则 若AB+AD=6，DC+BC=12,则x+2x=12，解得x=4, x+2x=6，解得x=2, x+BC=6,即4+BC=6, 解得BC=2 x+BC=12,即2+BC=12, 解得BC=10AB=AC=2X=8,BC=2 AB=AC=2X=4,BC=108+2>8 4+4<10此答案符合题意 此答案不符合题意，舍去。综上所述，此三角形的三边长分别为8cm,8cm,2cm.注：此题型一要分类正确，二要将求得的三边用三角形三边关系进行检验。切记！知识点；三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与三角形的一边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。性质：三角形的角平分线平分三角形一角。题型1如图，BO，CO分别平分ABC、ACB，若A=500，求BOC解：BO，CO分别平分ABC、ACB 1=½ABC，2=½ACB A=500 ABC+ACB=1800-500=1300 1+2=½ABC+½ACB =½（ABC+ACB） =½×1300=650 O=1800-（1+2）=1150 注：仔细研究角之间是如何转换的。此题较常见，应熟记。、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。在的平分线上于，于角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。于，于且在的平分线上（或写成是的平分线）下面说法错误的是 ()A三角形的三条角平分线交于一点 B三角形的三条中线交于一点C三角形的三条高交于一点 D三角形的三条高所在的直线交于一点能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ()A中线B角平分线 C高线D三角形的角平分线如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形在下图中，正确画出AC边上高的是（ ）（A） （B） （C） （D）知识点、三角形具有稳定性。定义与命题（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数。（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（3）一次函数：一般地，形如ykxb（k、b都是常数且k0）叫做一次函数。（4）压强：单位面积所受的压力叫做压强。一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等； （2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等； （4）a、b两条直线平行吗？（5）高个的李明明。 （6）玫瑰花是动物。（7）若a24，求a的值。 （8）若a2b2，则ab。例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。（2）在同一个三角形中，等角对等边；条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（3）对顶角相等。条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等。改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。(4)同角的余角相等；条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等。改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。(5)三角形的内角和等于180°；条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°。改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°。(6)角平分线上的点到角的两边距离相等条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等。改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。练习1、指出下列命题的条件和结论，并改写“如果那么”的形式：（1）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（2）直角三角形两个锐角互余。1、公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短。”“一条直线截两条平行所得的同位角相等”，“两点就可以确定一条直线。”“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”“三角形的全等的方法：SAS ASA SSS”。然后提问学生：你所学过的还有那些公理2、 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。（1）“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 （2）“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 （3）下列命题中，属于定义的是（ ） A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度（4）下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ），是定义的是（ ）。 A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等逆命题与逆定理概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题2说明： （1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题； （3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然 例1 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题 （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）直角三角形的两个锐角互余； （3）对顶角相等互逆定理 1概念：如果一个定理的 逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫 做互逆定理，其中一个定理叫 做 另一个定理的逆定理 2说明： （1）不是所有的定 理 都 有 逆 定 理，如“对顶 角相 等”的逆命题是“如果两个角 相 等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对 顶 角 相 等”没有逆定理 （2）互逆定理 和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题 中要求更为 严 谨的一类，即 互逆命 题 包含互逆定理1 角平分线的性质定理与判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上3线段垂直平分线的性质定理与判定定理性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上4勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方即若用a，b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则a2+b2=c2勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形即若用a，b，c表示一个三角形的三边长，其中c为最长边，且满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)在ABC和 DEF中 AB=DEBC=EFCA=FD ABC DEF（SSS）2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 在ABC与DEF中AC=DFC=FBC=EF ABCDEF（SAS）3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 在ABC和DEF中A=D （已知 ） AB=DE（已知 ）B=E（已知 ） ABCDEF（ASA）4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 在ABC和DFE中A=D , C=F AB=DEABCDFE(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) RtABC和RtABC中AB=AB (直角边)BC = BC（斜边） RtABCRtABC（HL）二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应角相等2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等注意：1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。在ABC中，,ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明 （2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o3.三角形的分类 （1）按边分： （2）按角分：4.特殊三角形 （1）直角三角形性质角的关系：A+B=900；边的关系： 边角关系：；（2）等腰三角形性质 角的关系：A=B；边的关系：AC=BC；轴对称图形，有一条对称轴。如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长3）等边三角形性质 角的关系：A=B=C=600；边的关系：AC=BC=AB；轴对称图形，有三条对称轴。特殊三角形的定义、性质及判定类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴。2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角。3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一4.等腰三角形两腰上的高线，中线，和所对角的角平分线分别相等。1.有两条边相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形， 它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三边相等的三角新2.三个角都相等的三角形3.有两个角等于60°的三角形4.有一个角等于60°的等腰三角形即为等边三角形直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt”1、 直角三角形的两锐角互余。2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3、 直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。简称：两个一半。4、 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1、 有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、 有两个角互余的三角形是直角三角形。3、 如果有一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4、 如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条 边的平方，那么这个三角形是直角三角第四条 形（勾股定理逆定理）如果三角形的三边长为a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.记住常用的勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25； 8、15、17；9、40、41； 11、60、61 13、84、85； 15、112、113；.2013年中考题（2013贵州安顺，5，3分）如图，已知AE=CF，AFD=CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定ADFCBE的是（ ）AA=C BAD=CBCBE=DFDADBC（2013山东临沂，10，3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）ABCDEAABADBAC平分BCDCABBDDBECDEC（2013衡阳）如图，1=100°，C=70°，则A的大小是（）A10°B20°C30°D80°2013湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中C=90°，B=45°，E=30°，则BFD的度数是（）A15°B25°C30°D10°2013浙江台州，10，4分）已知A1B1C1与A2B2C2的周长相等，现有两个判断：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则A1B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，则A1B1C1A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A正确， 错误 B 错误， 正确 C， 都错误 D ， 都正确 三角形全等的应用1.（2006临沂）如图，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出AB的长等于内槽宽AB；那么判定OABOAB的理由是（）A、边角边B、角边角C、边边边D、角角边EABCDF10题 2.要测量河岸相对两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，如图，可以说明EDCABC，得ED=AB，因此测得ED之长即为AB的距离，判定EDCABC的理由是（ ）ASAS BASA CSSS DHL3.（2009西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明AOB=AOB的依据是（）A、（SSS）B、（SAS）C、（ASA）D、（AAS）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有A5个B4个C3个D2个（2013，成都）如图，在ABC中，B=C,AB=5，则AC的长为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （2013广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A25B25或32C32D19（2013龙岩）如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线yx上若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是 A2 B3 C4 D5 （2013杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF求证：GAB是等腰三角形 (2013嘉兴8分）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且A=D，AB=DC（1）求证：ABEDCE；（2）当AEB=50°，求EBC的度数？（2013上海市，23，12分）如图8，在中， ，点为边的中点，交于点，交的延长线于点（1）求证：；（2）联结，过点作的垂线交的延长线于点，求证：（2013广东珠海，14，6分）如图，已知，EC=AC，BCE=DCA，A=E；求证：BC=DC（2013四川内江，18，8分）已知，如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90°，D为AB边上一点求证：BD=AE2013荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为（ ） 2013荆门）如图1，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC=45°，原题设其它条件不变求证：AEFBCF（2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90°，BOAC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DEAC于点E，求证：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论若PB平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）（2013 嘉兴）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且AD，ABDC（1）求证：ABEDCE；（2）当AEB50º，求EBC的度数？（2013 丽水）如图，在RtABC中，A=Rt，ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则BDC的面积是_（2013宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A6B8C10D12（2013绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则A的度数是 （2013温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11（2013温州）如图，在ABC中，C=90°，AD平分CAB，交CB于点D，过点D作DEAB，于点E（1）求证：ACDAED；（2）若B=30°，CD=1，求BD的长。-