构造法在中学数学解题中的应用.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date构造法在中学数学解题中的应用构造法在中学数学解题中的应用构造法在中学数学解题中的应用摘要“构造法”作为一种重要化归手段，在数学解题中有着重要的作用.本文从“构造函数”、“构造方程”、“构造图形”、“构造关系式辅助式”、等构造出发，通过对例题的剖析谈讨了构造法在中学数学解题中的运用关键词 数学解题；构造；构造法解题的思路；构造法解题的模式引言：所谓构造法是指某些数学问题用通常办法难以解决时根据题目条件和结论的特征，性质，从新的角度，用新的观点观察分析，解释对象抓住反映问题的条件与结论之间内在联系，用已知的数学关系为支架构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清的 关系和性质在新构造的数学对象中清楚的表现出来，从而借助该数学对象解决数学问题的方法 1构造法的相关概念1.1构造法解题的思路 构造法解题的基本思想方法是“转化”思想.用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的问题，而是把它转化成一个 与原问题有关的辅助新问题，然后通过新问题的解决帮助解决原问题.苏联数学家C.A娅诺夫斯卡亚在题为解题意味着什么中精辟的指出：解数学题意味着将要解的问题转化为已知解决的问题.着就充分说明了“转化”思想在 解数学题中的重要性1.2构造法解题的模式 构造法的内涵十分丰富解题也没有一个绝对统一的模式，它需要更多的分析，类比，归纳，判断，同时能激发人们的知觉思维与发散思维.如何借助构造法实现解题过程的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处理，通过一般的特殊化的想象，巧妙的对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物或想象物.构造法解题过程的大概模式为： 函数 关系式对题设条件 通过创新思维 图象 通过推演 构造 方程 结论 特征的分析 实现转化 实现转化构造法在中学数学解题中的应用.1构造方程法遇到等量性的问题都可以使用方程，对于一些计算问题也可以运用方程思想来解决，倘若一个量不能或难于直接求的就设法导出它满足的方程，对于问题就归结为求方程了如，例1设为实数.若，证明：；分析：所证不等式，联想到一元二次方程的根的判别式，因此可以构造二次函数，只要证得方程有两根或与轴相交即可当时，由已知条件可得 .（否则，若，则，不成立）当时，设， 因为 ，由已知 ，所以 ，所以 二次函数的图象与轴相交，故，即 .说明，有些不等式的证明，如果借助已知条件的特点，通过构造二次函数来处理将会非常简捷，这种例子很多例2求y=的值域.分析:求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将y=f(x)化为关于x的二次方程,那么方程有实数解时,判别式0,由此可求得函数的值解:将y=变形为关于x的方程+(y-5)x+(1-y)=0当y1时,-4=32y+210,所以,当y=1时,x=0, 此时 于是y=的值域便是例3设x,y为实数，且满足关系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1(y-1)3+1997(y-1)=1则x+y= .分析：此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉.若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)= (1-y)3+1997(1-y)=1，利用函数f(t)=t3+1997t的单调性，易得x-1=1-y，自然、简洁.2.2构造函数法函数是中学数学知识的一个中心，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式看以看作两个函数之间的不等关系.因此方程和不等式都是函数的特殊表现形式，函数图象可以看作为研究函数性质的工具，进而解决一类相关问题.构造函数法是运用函数概念和性质构造辅助函数解题.构造函数的 前提是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质 构造过程要求我们正确的合理的选择恰当的函数，并准确的运用函数性质，以便快捷无误的解决原问题.例4解方程(6x+5)(1+分析：注意到(6x+5)(1+)与x(1+)具有相同的结构，令则原方程为f(6x+5)=-f(x).只要证明f(x)是奇函数且是单调函数，就能简单的解出此题解：构造函数f(x)=x(1+)，原方程化为f(6x+5)+f(x)=0显然f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数.再证f(x)具有单调性.(1)x,x0,+ ,且 x x,则0=1所以f(x)f(x).(2)若x,x- ，0，且xx0，因为= 则 1，1所以1， 但f(x)0，所以 f(x)f(x)(3)若x- ，0,x0,+ ,显然有 f(x)0, 但f(x)0, f(x)f(x)有（1）（2）（3）可知，f(x)在（-,+）上是增函数.所以 f(6x+5)=f(-x)x=例5已知不等式对于一切大于1的自然数n都成立,试求实数a的范围.分析：本题的关键是找到的最小值,构造函数f(n),则可以找到解题的突破口.解：构造自变量为n的函数f(n)f(n)= ( n2且nN) 因为即f(n)的最小值为.要使,对于一切自然数n(n)都成立.则必有,即因为 >1, 所以， 故1<<.2.3构造关系式辅助式法在解题时，构造一个适当的关系式或辅助式来帮助我们探求解题思路，往往可以带来很大的方便，构造关系式辅助式的一般模式是：根据问题的特征，构造一个与之有关的式子，用来代替原问题或使原问题简化、熟化、促使原问题得到彻底的解决.如公式：中令，则有这个关系式应用广泛，只要我们能构造出三个和为零的量，就可以利用它.有时还可以构造多向式解题行如 与同名函数的积与三倍角3的同名函数之间存在关系.构造出来同样可探求一些三角问题的解题思路. 例6 化简.分析： 各角之间有如下关系，因而可利用上面关系式.解： 由于紧紧抓住了角之间的关系，便构造出了用加减的三角关系式解题. 例7正数a , b 满足 求证：分析：条件中a, b ,的次数都是3，而结论中是1次，因此需要降幂，又因为结论是不等式，当且仅当a=b=1时等号成立.于是考虑构造均值不等式证明.解：由均值不等式得， （1） （2）由（2）+（1）变形整理，得2.4 构造图形法几何图形来解决问题是构造思想的一个重要方面.对于本身不具备图形的一些数学问题，由于它的条件中数量关系有明显的几何意义或某中方式可以将问题转化成几何图形，借助对于几何图形性质的研究，从而获得解决它的实质就是“数转化为形”，借助图形来实现解题的目标例8已知正数满足的值分析：式子可变形.因此,可将上式看作是为边,夹角为,第三边为5的中的余弦定理;,看作是以为直角边,以3为斜边的Rt的勾股定理;变形为.看作是以z,x为边.夹角为120,第三边为4的中的余弦定理.如是可构造ABC,在ABC中利用面积来求值.解：将已知条件变形为 构造ABC,如图所示,这个代数问题,利用其条件与余弦定理形式雷同,通过构造三角型.问题就转化为对图形的研究.有些问题可以通过构造四变形来解决例9若求证 分析 利用图形证明以上不等式，关键在于构造出来和的线段来.如图在BC上取一点E，使则当且仅当时，等号成立.通过以上例题可以看出：构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决.可见构造法解题重在“构造”.它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利.因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力1王培德 数学思想应用及探究建构教学人民教育出版社 20032吕凤祥中学数学解题方法哈尔滨工业大学出版社2003.3陈贵云 数学教学通讯 西南师范大学出版 20034陆书环 数学教学论 科学出版社 2001 -