2020年河南省中考数学压轴题专题14用函数的思想看图形的最值问题.docx

专题14 用函数的思想看图形的最值问题【例1】（2019河南南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y=ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为8.（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DEAC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；（3）平移AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A的坐标.【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DFx轴交AC于F，利用三角函数知识将DE长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：02k，解得：k，故一次函数表达式为：yx，则点C坐标为（8，），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：函数表达式为：yx2x+；（2）作DFx轴交直线AB于点F，DFEOBA，点D的横坐标为m，则点D（m，m2m+），点F（m，m），DFm2m+(m）m2m+4，由勾股定理得：AB，sinDFEsinOBA，DEDFsinDFE（m2m+4）（m+3）2+5，当m=3时，DE的最大值为5；（3）设三角形向左平移t个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，则平移后点A、O、B的坐标分别为（t+2，n）、（t，n）、（t，+n），O、B在竖直线上，这两点平移后的点不可能都在抛物线上，当点O、A平移后的点在抛物线上时，解得：t，即点A（，）当点B、A平移后的点在抛物线上时，解得：t4，即点A（2，3）综上所述，点A的坐标为（，）或（2，3）.【变式1-1】（2019南阳毕业测试）如图1，抛物线yax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4，矩形OBDC的边CD1，延长DC交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）矩形OBDC的边CD1，OB1，由AB4，得OA3，A（3，0），B（1，0），抛物线yax2+bx+2与x轴交于A，B两点，a+b+2=0，9a3b+2=0，解得：a=，b=，抛物线解析式为yx2x+2；（2）在yx2x+2中，当y2时，x0或x2，E（2，2），直线OE解析式为yx，PGHCOE45，P（m，m2m+2），PGy轴，G（m，m），PGm2m+2（m）+，PGHCOE45，lPG+，当m时，l有最大值，最大值为.【例2】（2019省实验一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PDAB于点D当PDE的周长最大时，求出点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点B（0，3），C（1，0），c=-3，1+b+c=0，解得：b=2，c=-3，抛物线的解析式为：yx2+2x3；（2）在yx2+2x3中，y0时，x11，x23，A（3，0），B（0，-3），OAOB3，BAO45，PFx轴，AEF45，可得PDE是等腰直角三角形，由A（3，0），B（0，3）得直线AB的解析式为：y=-x-3，CPDE=PE+PD+DP=PE+PE+PE=（+1）PE，设P（m，m2+2m3），则E(m，m3)，PE=m23mCPDE=（+1）（m23m）=（+1）（m+）2+（+1）， 当m=时，PDE的周长越大，此时P点坐标为（，）.【变式2-1】（2019平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GHBC于点H、作GEx轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线y=过点A（1，3）、B（0，1），解得：，即抛物线的表达式为：y=，y=，顶点坐标为：；（2）A（1，3），由对称轴可知C（4，3）由B（0，1）、C（4，3），得直线BC的解析式为：，BC=，由题意知，ACB=FGH，延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）BI=2，CI=4，由BCIFGH，得：,即，即GFH的周长为：C=FH+GH+FG=，设G(m, )，则F(m, )，C=当m=2时，GFH的周长有最大值，最大值为：.【例3】（2019安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)，与直线交于点C(0，-3)，直线与x轴交于点D（1）求该抛物线的解析式（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC，PD，当PCD的面积最大时，求点P的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）C(0,-3)，c=-3，将A、B坐标代入y=ax2+bx-3得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x3.（2）中，当y=0时，x=2，即D(2,0)，连接OP，设P(m，m2m3)，其中：0<m<4，SPCD=SODP+SOCPSOCD=， <0，当m=3时，PCD的面积取最大值，最大值为，此时P点坐标为（3，）.【变式3-1】（2018河南第一次大联考）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为x=1，P为抛物线上第二象限的一个动点（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：，解得：a=1，b=2，c=3，抛物线的解析式为：y=x22x+3；（2）在y=x22x+3中 ，y=2时，得：2=x22x+3，解得：x=1+或x=1，点P在第二象限，x=1，即点P的横坐标为：1；（3）连接AC，过P作PEx轴交AC于E，设直线AC的解析式为：y=kx+n，得：n=3，3k+n=0，直线AC的解析式为：y=x+3，S四边形PABC=SABC+SAPC=43+PEOA=PE，设P（m，m22m+3）,则E点坐标为（m，m+3）,PE=m22m+3（m+3）=m23m，S四边形PAOC=PE=（m23m）=（m+）2+,<0，点P在运动过程中，当m=时，四边形PABC面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）.1.（2019开封二模）如图，在平面直角坐标系中，直线yx4与抛物线yx2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求ADE与CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；如图2，作DM直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使CDM中某个角恰好是ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）在yx4中，当x0， y4，即C（0，4）；当y0， x3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入yx2+bx+c，并解得：b=，c=4，抛物线解析式为：yx2x4；（2）设D（m，m2m4），其中：0m3，连接OD，由A（3，0），B（1，0），D（m，m2m4），知OB=1，OA3，OC4，tanABD，tanABD，OF（m3），SADESCEFS四边形AOFDSAOC AO|yD|+OF|xD|OAOC，当m时，SADESCEF的最大值为，此时点D坐标为（，）.2.（2018信阳一模）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（ ）A4B2C7D8【答案】D.【解析】解：由题意知，若MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在RtPNE中，PN=4，NE=MN=3，由勾股定理得：PE=5，AE=MN=3，AP的最大值为：AE+EP=5+3=8故答案为：D3.（2019叶县一模）在平面直角坐标系xOy中抛物线yx2+bx+c经过点A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BCD的面积最大时，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）yx2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3）-1-b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，抛物线解析式为yx2+2x+3；（2）在yx2+2x+3中，当y0时，x11，x23，即B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+m，3k+m=0，m=3，直线BC的解析式为yx+3，设P（a，3a），则D（a，a2+2a+3），PD（a2+2a+3）（3a）a2+3a，SBDCPDOBPD（a）2+，<0，当a时，BDC的面积最大，此时P点坐标为：（，）；4.（2019南阳模拟）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线x3，B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为：yax（x6），把A（8，4）代入得：a，抛物线解析式为：yx2x；（2）设M（t，0），过点N作NDx轴于D，过A作ACx轴于C，NDAC，由（1）知，AC=4，BC=2，OC=8，即ND=OD，MNAB，NMD=ABC，tanNMD=tanABC，即，DN=2DM，OD=2DN=4DM，即OD=OM，M（t，0），OM=t，OD=t，ND=t，SAMN=SOAMSOMN=t4tt=，当t3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，m2m），OPQACO，（1）当时，PQOCOA，即，PQ2PO，即|m2m|2m，解得：m10（舍去），m214，m3-2，P点坐标为（14，0）或（2，0）；（2）当时，PQOCAO，PQPO，即|m2m|m，解得：m10（舍去），m28（舍去），m34，P点坐标为（4，0）；综上所述，P点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0）5.（2019郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点（1）求直线BC的函数表达式；（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FEDE|的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y中，当y0，解得：x1，x2，A（，0），C（，0）当x1时，y2即B（1，2），设直线BC的解析式为ykx+b得：，解得，直线BC的解析式为yx+.（2）设点D（m，），则点H（m，m+）过点D作DHx轴交BC于点H，HDm+（），SBCD=DH（xCxB）=DH，当m时，HD取最大值，此时SBCD的面积取最大值此时D（，）.作D关于x轴的对称点D则D（，），连接DH交x轴于一点E，此时|DEFE|最大，最大值为DF的长度，F（，）DF，即|FEDE|的最大值为6.（2019安阳二模）如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OAOB，抛物线yax2+bx+4经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PDBC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）在yx+4中，当x0时，y4；当y0时，x4，B（4，0），C（0，4），OBOC=4，OAOB2，即A（2，0），把A（2，0），B（4，0）代入yax2+bx+4中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2+x+4；（2）过P作PFy轴，交BC于F，在RtOBC中，OBOC4，OCB45，PFD=45，PD=PF，由P(m，m2+m+4)，F(m，m+4)，得：PF=m2+2m，PD=（m2+2m）=（m2）2+，其中，0m4，0，当m2时，PD有最大值，最大值为7.（2019平顶山三模）在菱形ABCD中，AB2，BAD120，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠BEF，使点B的对应点B始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 【答案】见解析.【解析】解：过A作AHCD于H四边形ABCD是菱形，BAD120，ABCD，D+BAD180，D60，ADAB2，AHADsin60=，由折叠性质知：BEEB，当BE的值最小时，AE的值最大，由垂线段最短可知，当EBCD，即EB=AH=时，BE的值最小，AE的最大值为：2，故答案为：28.（2019名校模考）如图，抛物线yax2+bx1（a0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数yx+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EFx轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.【答案】见解析【解析】解：（1）将y0代入yx+3，得x3A（3，0）抛物线yax2+bx1交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，解得：抛物线的解析式为yx 2+x1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），则F（m，m 2+m1）EF（m+3）（ m 2+m1）（m） 2+，当m=时，EF的长度有最大值，最大值为，此时点E的坐标为（，）.9.（2019枫杨外国语三模）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E （1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求FGH 周长的最大值.【答案】见解析【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入yx2+bx+c ，得：1b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：yx2+2x+3.（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线对称轴为直线 x1，点 D 和点 C 关于直线x1对称，D（2，3），设直线 AD 的解析式为 ykx+b，把 A（1，0），D（2，3）代入得：，解得，直线AD的解析式为：yx+1；E（0，1），OAOE，OAE 为等腰直角三角形，EAO45，FHOA，FGH 为等腰直角三角形，过点 F 作 FMx 轴交 AD 于 M，如图，可得FM=FH，FGGHFH=FM，CFGH（1+）FM，设F(m，m2+2m+3)，则M(m，m+1)，FM=m2+m+2CFGH（1+）FM，=（1+）（m2+m+2）=（1+）当 x时，FGH周长由最大值，最大值为：.10.（2019焦作二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）.（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4），DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）.若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将AOB绕点M沿逆时针方向旋转90后，得到AOB，点A、O、B的对应点分别是点A、O、B. 若AOB的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将B（0，-1）代入得：m=1，在中，当y=0时，x=，即A(，0)，过点C（4，n），得：n=2，即C(4，2)，将B（0，-1）、C（4，n），代入得：，解得：，即抛物线的解析式为：.（2）由（1）知，OA=，OB=1，在RtOAB中，由勾股定理得：AB=，DEy轴，ABO=DEF，sinDEF= sinABO=，cosDEF=cosABO=，EF=DEcosDEF=DE，DF=DEcosDEF=DE，p=2（DE+DF）=DE，点D的横坐标为t，D(t，)，E(t，)，DE=（）=，p=（）=，当t=2时，p有最大值.（3）由题意知，A、O横坐标相等，此二点不会同时在抛物线上，当点O、B在抛物线上时，由OB=OB=1，抛物线的对称轴：x=得，O横坐标为=，即A横坐标为：；当点A、B在抛物线上时，由AB=AB=，设点A(n，y)，则B(n+1，y)，解得：n=即A横坐标为：；综上所述，点A的横坐标为：或.