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变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分5.1 存在唯一性定理变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、线性微分方程组的有关概念1 线性微分方程组的定义定义定义 形如111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t(5.1)的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.( )( , , 1,2, ),( )(1,2, )ijia t i jnf t inatb 其中在上连续.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分( )(1,2, )ix t inatb 设函数组在上连续,且1122( )( )( )( )( ),iiiinnidx tat xat xat xf tdt1,2,in12( ),( ),( )(5.1)nx tx tx tatb 则称函数组为微分方程组在上的一个解.12(5.1),nncc含有 个独立的任常数c的解12,1,2,inx ttccini( )= ( ,c),称为(5.1)的通解.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2 函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为12( )( )( )( )nx tx tx tx t( )(1,2, )ix t in每一在区间I上有定义.( )n nA t 函数矩阵定义为1112122122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnatatatatatatA tatatat( )ija t每一在I上有定义.注:对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念( )( )x tA t如果函数向量或函数矩阵的每一元素都是区间,atb 连续函数上的( )( ),x tA tatb 连续则称或在上可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为12( )( )( ),( )nx tx tx tx t111212122212( )( )( )( )( )( )( ).( )( )( )nnnnnnatatatatatatA tatatat变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分000012( )( )( )( )tttttttntx s dsx s dsx s dsx s ds0000000000111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )tttntttttttntttttttnnnntttas dsas dsas dsas dsas dsas dsA s dsas dsas dsas ds注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t(5.1)3 一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:( )( ),ijn nA ta t若记12( ,) ,Tnxx xx12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t则(5.1)可写成( )( ),(5.4)dxA t xf tdt变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(1)定义定义1( ),( ),A tatbn nf tatbn 设是上连续的矩阵是上连续的 维列向量函数 方程组( )( ),(5.4)xA t xf t( , , )( ),( )(5.4),ta bu tu tt 在的解向量是指在上满足即( )( ) ( )( ),.u tA t u tf tt (2)定义定义2初值问题0( )( ) ( )( ),( ),(5.5)x tA t x tf tx t00 ,( ),( ).tu tu t 的解,就是方程组(5.4)在包含 的区间的解使得变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1验证向量( )tteu te是初值问题011,(0)101xxx.t 在区间上的解解解:显然00(0)eue11-,ttee因为和处处有连续导数 我们得到( )u t 0110ttee01( ),10u t( ).u t因此,是给定初值问题的解ttee变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题( )(1)1( )( )( )nnnxa t xa t xf t(1)01020( ),( ),( )nnx tx txt(5.6)0( )(1,2, ),( ), , ,(1,2, )iia t inf tatbta bin 其中在上连续为常数.若令:1,xx2,xx,(1);nnxx3,xx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分则有:12,xxx23,xxx(1)1,nnnxxx( )1121( )( )( )( ),nnnnnxxa t xat xa t xf t 而且:(1)1001200200( )( ),( )( ),( )( )nnnx tx tx tx tx txt即方程(5.6)可化为(1)123,.nnxx xx xxxx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分121010000010000010( )( )( )( )( )nnnxxa tatata tf t120( )nx t(5.7)变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分0( )(5.6)ttatb 若是在包含 的区间的任一解,则令12( )( )( )( )ntttt12(1)( )( ),( )( ),( )( ),.nntttttt atb 这里( )(5.7)t则是的解显然:102000( )( )( )( )ntttt00(1)0( )( )( )nttt12n变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分且:12( )( )( )( )ntttt23(1)1( )( )( )( )( )( )nnnttta ta tf t12101000010( )0001( )( )( )( )nnnta tatata t000( )f t变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分10( )( ( ),( ) , (5.7)Tnu tu tu tta b反之,设是在包含 的区间上的解1( )( ),( )(5.6),tu tt定义函数则是的解事实上,由12( )( )( )nu tu tu t121010000100001( )( )( )( )nnna tatata t12( )( )( )nu tu tu t000( )f t知变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分12( )( )( ),tu tu t23( )( )( ),tu tu t(1)1( )( )( ),nnntutu t( )11( )( )( ) ( )( )( )( ),nnnntu ta t u ta t u tf t (1)1( ) ( )( )( )( ),nna tta ttf t 即( )(1)1( )( )( )( ) ( )( ),nnnta tta ttf t且(1)010100( )( ),( )( )nnntu ttu t即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例228, (0)1,(0)4txxtxe xx 将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解解:设1( ),x tx2( ),x tx则有228txxxtxe 1282,ttxxe即有12,xx21282,txtxxe也即1122( )( )01( )( )82x tx tx tx tt0te12(0)1(0)4xx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分注注: 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如如: 方程组1122( )( )10( )( )01x tx tx tx t不能化为一个二阶微分方程.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(1 ) 矩阵向量的范数定义定义12( ,)(Tnijnxx xxn nAan n对 维列向量及矩阵),定义它们的范数为1,niixx,1,niji jAa, ( ), ( ) , ,A Bn nxynA tx ta b设是矩阵和 是 维列向量是在上可积的函数矩阵和向量 则易验证有下面的性质01,ABA B,AxA x02,ABAB,xyxy03( )( ),bbaax s dsx s ds( )( ),bbaaA s dsA s ds().ab二、存在唯一性定理变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(2 ) 向量或矩阵序列的敛散性0121,(,),(1,2, ),Tkkkknkikxxxxxi inx向量序列称为收敛的 如果对每一个数列收敛.12( ),( )( ),( ),( )Tkkkknkx tx txtxtxtatb 函数向量序列称为在收敛(1,2, ),( )iki inxtatb 如果对每一个函数序列在上是收敛(一致收敛),(一致收敛).1( ),kkx tatb 02 设是函数向量级数 如果部分和所组成的函数向量序列在收敛1( )kkx tatb 则称在收敛(一致收敛),(一致收敛).变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分如果( ),kkx tMatb 1kkM而级数收敛,1( )kkx tatb 则函数向量级数在上一致收敛.( )kx tatb 如果函数向量序列在上一致收敛,则lim( )lim( ),bbkkaakkx t dtx t dt( )kx tatb k=1如果函数向量级数在上一致收敛,则11( )( ) .bbkkaakkx t dtx t dt变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分03 对矩阵序列也有类结果( )( ),(),1,2, ,.kkkijn nkijkAnnAai jnaA设是矩阵序列 其中如果对一切数列都收敛 则称是收敛的11kkkkAA设是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列 是收敛的,则称是收敛的.1kkA是收敛( )1, ,1,2,kijkai jn收敛.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分, k如果对每一整数都有,kkAM1kkM而收敛,1kkA则收敛.1( )kkA t同样可给出函数矩阵级数一致收敛定义和有关结果.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分0( )( )(5.5)( )xA t xf tx t(3) 存在唯一性定理变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2存在唯一性定理的证明0( )( ( ) ( )( ),(5.8)ttx tA s x sf s dsatb 证明共分五步完成证明共分五步完成第一步第一步 0( )( )(5.5)( )xA t xf tx t变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分01( ),(5.9)( )( ( )( )( ),tkktttA ssf s dsatb 0第二步第二步 ( )kt ,ab证明向量函数在区间上有定义且连续( )ktk向量函数为(5.8)的第 次近解.命题命题 ,( )kktatb 对所有整数 向量函数在上有定义且连续.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分0100|( )( )| ( )( )( )|ttttA ssf sds第三步第三步由考虑向量函数项级数：011( )( )( ),jjjtttatb ( ),( );.A tL f tKatb 0( |)ttLK ds0,M tt|MLK02110|( )( )| ( )| |( )( )|ttttA sssds00ttLM s t ds20,2!MLtt变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分011( )( )( )jjjtttatb 知在上上一致收敛.10|(1)!mmMLttm010|!mtmtMLs tdsm011|( )( )| ( )| |( )( )|tmmmmtttA sssds110|( )( )|!mmmmMLttttm设 则11()(1)!mmmMLbam而级数收敛变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第四步第四步 设lim( )( ),kkttatb 01lim( )lim( ( )( )( )tkktkktA ssf s ds01lim( ( )( )( )tkt kA ssf s ds即0( )( ( ) ( )( )tttA ssf s ds变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分证明积分方程的连续解的唯一性. ( ) , ,g ta b则在上非负连续 且有第五步第五步( )( )( ) ,g ttt令0( )( )( ( )( )ttg tA sss ds0( )( )( )ttA sss ds0( ),ttLg s ds,Gronwall由不等式 可得( )0, , g tta b( )( ), , ttta b故变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 n阶线性微分方程的解存在唯一性定理推论推论012( )(1,2,)( ), , ,ina t inf tatbta b 如果及都是区间的连续函数 则对任一及任意方程( ),xtatb存在唯一解定义于区间且满足初始条件( )(1)1( )( )( )nnnxa t xa t xf t(1)01020( ),( ),( ).nnttt 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分作业vP201 1, 2(2),