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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date简单多面体教案四、简单多面体与球第九章直线、平面、简单几何体（四）简单多面体与球教学知识点1 棱柱的概念及性质；2 棱锥的概念及正棱锥的性质3 平行六面体，长方体的概念及性质4 直棱柱、正棱锥直观图的画法5 多面体、凸多面体、正多面体的概念及多面体的欧拉公式6 球的概念、球的性质、球的表面积和体积§9.9棱柱与棱锥（1）多面体、棱柱与性质课题 多面体、棱柱与性质课型 新授课目的要求1、 了解多面体和凸多面体的概念；2、 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质. （识记） 棱柱的有关概念及棱柱各部分的名称及其表示法（理解） 棱柱的概念的两重含义和它的两种分类（掌握） 棱柱的性质：底面、侧面、侧棱、高、平行于底面的截面等（运用） 运用棱柱的概念和性质解决一些简单的棱柱问题（综合） 综合运用棱柱的有关知识解决棱柱中的点、线、面的位置关 系和量的问题。3、在学习棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力重点与难点 棱柱的概念和性质的应用教学方法 教学过程一、复习引入1、 什么是长方体、正方体？它们有什么特性（从长方体、正方体的棱和面两方面说明）？2、 什么是平行六面体？平行六面体有什么特性（从平行六面体的棱和面两方面说明）？3、 比较：长方体与平行六面体4、 （投影展示，让学生观察特点，思考共同点、不同点）二、新课（一）多面体(提出问题学生看书后总结)问题：1、 什么叫多面体？什么叫多面体的面、棱、顶点和多面体的对角线？2、 什么叫凸多面体？3、 什么叫四面体、五面体、六面体？(结合下图回答上述问题).练习：P54 1、2（二）棱柱() 棱柱的概念以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点通过观察，让学生们总结出它们的共同特征:有两个面互相平行；其余各面的交线也互相平行，因此各面为平行四边形.BCEABCDADE1、定义 ： 如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.2、各部分名称：底面、侧面、侧棱、棱、顶点、对角线、高（.两个平行的面叫做棱柱的底面.其余各面叫做棱柱的侧面.侧面的交线叫做棱柱的侧棱.侧面与底面的公共点叫做棱柱的顶点.侧棱与底面的边叫做棱柱的棱.不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线.两底面间的距离叫做棱柱的高. ）请同学们看右图说出部分点、线、面的名称(或说出名称请学生找点、线、面)3、表示法：如图，棱柱ABCDEABCDE或棱柱AC（强调一定要冠以“棱柱”两字）（）棱柱的分类：（1）按侧棱与底面关系分为斜棱柱 （侧棱与底面关系） 直棱柱正棱柱（底面形状）； 正棱柱 直棱柱（2）按底面的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱、等（）棱柱的性质（引导学生进行探讨得出此结论） （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. （2）两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（平行截面） （3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（对角面）练习：填写下表；底面形状侧面形状侧棱与底关系对角面形状平行截面与底面关系斜三棱柱直四棱柱正五棱柱（三）例题与练习例题1、已知正三棱柱ABCABC的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC上的点，且CN=CC，求证ABMNB'A'C'BACMN例题2、已知斜三棱柱ABCABC的底面是边长为a的正三角形，侧棱AA长为b,且侧棱AA与底面边AB、AC所夹角为45°.求其各侧面面积的和S.例题3、在三棱柱ABCABC中，四边形AABB是菱形，四边形BCCB是矩形，CBAB. （1）求证：平面CAB平面AAB；ABABHCC（2）若CB=3，AB=4，ABB=60°，求AC与平面BCC所成角的大小（用反三角函数表示）.练习：P5614 5、四棱柱的底面是边长为a的正方形，侧棱长为b（a<b），上底的一个顶点A与下底的各个顶点等距离。CDABCDAB （1）求证：A在下底面的射影是下底面的中心； （2）求两个对角面的面积。（ab）三、小结棱柱的概念（两平行）分类（两种）性质（两截面）应用.四、作业：课本P63中 习题9.9 1、2、3（注：例题和习题请您适当筛选）§9.9棱柱与棱锥（2）平行六面体与长方体课题平行六面体与长方体课型 新授课目的要求1. 使学生掌握四棱柱、平行六面体，长方体的概念及类属关系；2. 使学生掌握平行六面体，长方体的性质3. 通过对平行六面体、长方体性质的研究，培养学生的空间想象能力；通过由长方形性质推导长方体性质的类比方法对学生进行辩证唯物主义的思想教育.重点与难点 平行六面体、长方体性质教学方法 教学过程 一、复习提问1棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？2棱柱分为斜棱柱、直棱柱的依据是什么？3棱柱有三条性质，它们所涉及的对象各是什么？（有二个面互相平行，其余各面均为四边形；侧棱互相平行侧棱与底面是否垂直第一条性质是侧棱、侧面；第二条是上下底面与平行于底面的截面；第三条是过不相邻的棱的截面 ）二、进行新课(一)概念观察以下几何体的变化，通过比较，说出他们的特征. (底面是平行四边形) （底面是矩形） (板书上面图表，从两个不同的角度带领学生分析各面的形状对四棱柱分类)联系1(通过这组练习，使学生搞清不同的四棱柱间的区间与联系) :1.平行六面体的各个面是什么样的四边形?直平行六面体、长方体、正方体呢?2.长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体吗?3.正方体是正四棱柱，正四棱柱是正方体吗? （引导学生回答：1、平行六面体的六个面都是平行四边形.直平行六面体的一组相对的面是平行四边形，其余四个面是矩形.长方体的六个面都是矩形；正方体的六个面都是正方形.2、不一定.因为直四棱柱的底不一定是矩形.3、不一定.因为正四棱柱的底是正方形，而侧面不一定是正方形.）总结：特殊四棱柱及它们之间的关系，用集合表示为:四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.特别是长方体、正四棱柱、正方体，它们较接近，要注意它们之间的区别.练习2：P. 58 13（二）性质问题1：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性质?（筛选答案：平行四边形对角线互相平分长方形的长为a，宽为b，则对角线长为l2=a2+b2.）问题2：在立体几何中平行六面体、长方体是否也有类似的性质呢?(给学生时间思考，讨论，请学生回答)(板书：平行六面体、长方体的性质定理)定理：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分.定理：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱的长的平方和.（画图、分析、学生板演证明）. （三）应用例:  有一矩形纸片ABCD，AB=5,BC=2,E,F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角.(1)求B、D两点的距离；(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分.分析:将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD、AC恰好是长方体的对角线.(1)解:因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，所以 . (2)证明:因为AD=EF，EF=BC，所以AD=BC.所以ABCD在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形.所以AC、BD交于一点且被这点平分.（或用平行六面体的性质定理证明）（注：通过此例可把求空间两点间距离问题转化为求长方体的对角线长的问题.）练习3：1、 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、，求证:cos+cos+cos=1.2、 长方体的一条对角线与各个面所成的角分别为，求证:     cos+cos+cos=2.3、P. 58 4、5三、小结:1.特殊四棱柱及它们之间的关系，用集合表示为:四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.特别是长方体、正四棱柱、正方体，它们较接近，要注意它们之间的区别.2.平行六面体和长方体的性质四、作业:P. 63 第4、5题.思考题:在例题中若沿对角线AC折起成直二面角，是否可构造一长方体，去求BD的距离?若能构造成长方体，是怎样的长方体?§9.9棱柱与棱锥（3）棱锥与它的性质课题棱锥与它的性质课型 新授课目的要求1. 理解棱锥及正棱锥的概念.2. 掌握正棱锥的性质,并能利用性质进行有关的计算与证明3. 掌握一般棱锥的 “平行与底面的截面”的性质,并会计算其截面积.教学重点 棱锥及正棱锥的概念和性质教学难点一般棱锥的 “平行与底面的截面”的性质教学手段几何模型及投影仪教学方法 教学过程 一、新课（一）引入实例,导入新课用现实生活中的例子说明棱锥的概念:埃及金字塔、帆布帐篷、农村肥堆等都给我们以棱锥的形象. 请根据你的观察和理解给棱锥下一个定义,由学生讨论,教师指导得出:SDABCEO棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高,如图中的棱锥,多边形ABCDE是底面,三角形SAB ,SAC, 等等是棱锥的侧面,SA,SB,SC,SD,SE是棱锥的侧棱,S是棱锥的顶点,SO是棱锥的高.棱锥的表示法:用底面和顶点表示;如图棱锥可以表示为棱锥S-ABCDE 也可以用底面一条对角线端点的字母来表示,例如:棱锥S-ACBSACDEFOH棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数为来分:三棱锥,四棱锥;五棱锥;六棱锥,如下面的棱锥为五棱锥.（二）研究问题，发现定理1、关于截面问题：（1）在三棱锥S-ABC中, AB=10,BC=8,AC=6,过三棱锥S-ABC中高的中点作一个平面与底面平行,求所得的截面（称为中截面）面积.（2） 一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的截面与底面有什么关系?问题解决：(1)由于H为SO的中点，又平面DEF/平面ABC，所以HE/OC，故E为SC中点，同理D，F分别为SB，SA中点，所以三角形DEF相似于三角形ABC，且相似比为1：2，故面积之比为1：4，而三角形ABC为直角三角形，面积为24，因此三角形DEF的面积为6；（2）截面与底面相似，且它们的面积之比为截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。证明过程与（1）类似，两个多边形相似的的条件是对应角都相等，对应边都成比例；请学生完成；定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积之比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.2、正棱锥及其性质 棱锥的分类除了按底面多边形的边数来分之外,还有 一种十分特殊的棱锥定义：底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面多边形的中心的棱锥称为正棱锥.问题1：下列说法是否正确(1) 底面是正多边形的棱锥是正棱锥(2) 底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥.(3) 底面是正多边形,各侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥 (4) 顶点在底面的射影为底面多边形的外心的棱锥是正棱锥.问题2：（1） 各侧棱的关系如何？,各侧面三角形关系如何？（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成什么三角形？ 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成什么三角形？正棱锥的性质(教师指导学生完成)SODA(1) 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做叫做正棱锥的斜高）.(2) （两个重要的直角三角形）正棱锥的高,斜高和斜高在底面上的射影组成直角三角形; 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成直角三角形.(注：两个三角形的锐角都有十分重要的含义.如图中为侧面与底面所成的二面角的平面角；中为侧棱与底面所成的角)练习:正三棱锥的底面边长和高均为a,侧面与底面所成二面角的正切为 ,侧棱与底面所成的角的正弦为 .（三）例题例1已知正三棱锥SABC的高SO=h. 斜高. 求经过SO的中点O平行与底面的截面（中截面）的面积SABCABCMOO分析：关键在求出底面积，在直角三角形SMO中，OM=，设底面边长为则OM=所以，因此所求BOSACDEH面积为例2:正四棱锥S-ABCD中,高为a, 底面边长为2a, 求:(1) 底面与侧面所成的二面角(2) 点B到侧棱SC的距离(3) 相邻两个侧面所成的二面角略解(1)为底面与侧面所成的二面角的平面角为45度(2)作,由面积关系式有(3)连接DE,三角形BEC全等与三角形DEC,A故为相邻两侧面DSC和BSC所成二面角的平面角,由余弦定理即得=120度例3:正六棱锥S-ABCDEF的侧棱SA的长为10cm,底面ABCDEF是边长为8cm, 这个正六棱锥被平行于底面的平面所截,截得的截面面积为,求这个截面和底面之间的距离 (主要由学生完成)先求正六棱锥的高SO=6,过S作SH截面,则,SH=2,故求得的截面和底面之间的距离为6-2=4cm(四) 限时练习,巩固知识下列练习限定8分钟完成（前面两题必做，后面一题选做）1. 已知平行于棱锥底面的平面把棱锥的高从顶点起分成2:3的两部分,截面面积为Q,则棱锥的底面积为 ()2. 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,侧棱长为b,则过侧棱PA和高PO所作截面面积为 ( )3、已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,高为3,被一个过底面中心而平行于一个侧面的平面所截,求这个截面面积及该截面与底面所成的二面角 ()二、小结整理，揭示规律（1） 棱锥的概念（2） 正棱锥的概念及性质(两个直角三角形各边及角的含义（3） 棱锥 “平行于底面的截面”的性质。（4） 对于正棱锥要熟悉两个直角三角形。三、作业 课本63页710 选作：课本63页 6§9.9棱柱与棱锥（4）直棱柱、正棱锥直观图的画法课题 直棱柱、正棱锥直观图的画法课型 新授课目的要求1、 理解直棱柱、正棱锥的直观图的画法2、 会画直棱柱、正棱锥的直观图3、 了解正多面体的概念教学重点直棱柱、正棱锥的直观图的画法、正多面体的概念教学难点直棱柱、正棱锥的直观图的画法教学手段投影仪教学方法 教学过程 一、复习引入（一）练习1. 侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是(A) 正棱锥 (B)侧棱长都相等的棱锥(C)斜高相等的棱锥(D)以上都不一定是因为侧面的等腰三角形中,其底边可以是侧棱可以是底面的一边2. 已知一个正四棱锥,它的相邻两个侧面所成的二面角是(A) 锐角(B)直角(C)钝角(D)不确定3. 在三棱锥S-ABC中, AB=10,BC=8,AC=6,过三棱锥S-ABC中高的中点作一个平面与底面平行,求所得的中截面面积.（二）引入：在第一章中我们学过水平放置的平面图形的直观图的画法，所采用的方法叫做斜二测画法，它有三条规则，请同学们一起回忆一下(请一位同学回答，其他同学补充)（ (1)在已知图形中的互相垂直的轴ox，oy，画直观图时，把它画成对应的轴o'x'，o'y'，使x'o'y'=45°(或135°)(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半）二、进行新课（一）直棱柱直观图的画法请同学们画一个边长为2cm的正六边形的直观图(教师以放大10倍后，同时在黑板上画出)师：请同学们在所画的图形中再画上一条轴O'z'使z'O'x'90°，z'O'y'45°，然后分别过A'，B'，C'，D'，E'，F'作Oz'轴的平行线，并在其上截取3cm长的线段，最后依次过线所得的点师：(待学生画好后)，大家所画的图形就是底面边长为2cm，高为3cm的正六棱柱的直观图下面请一位同学来总结直棱柱直观图的画法，让学生举手挑选程度高的同学回答(只要说出方案即可)生：先画底面的直观图，接着画O'z'轴，使x'O'z=90°，再过底面各顶点作O'z'轴的平行线并截取等于高的线段长，最后依次连结各截点，并去掉辅助线所遮挡部分为虚线(学生表达不清时教师可提示)练习：课本第62页第1题（二）正棱锥直观图的画法正棱锥的直观图与正棱柱的画法一样，由底面与高来决定，底面图形的画法即平面直观图的画法，高的画法是过底面中心作地面的垂线，其长度即为原棱锥的高，垂线段的另一端点即为正棱锥的顶点。请学生自己画一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱锥的直观图。比例尺为1：5；练习：课本第62页第2题（三）正多面体1、定义：各面都有相同的边数，每个顶点为端点都有相同的棱数的凸多面体，称为正多面体请学生举例说明2、正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.（证明方法：利用多面角的所有面角之和小于2；利用简单多面体的欧拉公式V+F-E=2.在高等数学中，用“变换群”的理论定义正多面体，并证明正多面体有且仅有五种.在拓扑学中定义“拓扑正多面体”，并证明拓扑正多面体属于五个拓扑型之一.）（图示：P. 62 图997） 3、正多面体的展开图（图示：P. 63 图998）练习：课本第63页第1、2题 (重要提示：本练习需要学生提前做好模型)（四）例题：求棱长为a的正八面体的对角线的长 （）三、归纳小结1、 直棱柱、正棱锥的直观图的画2、 正多面体的概念四、作业布置：课本64 1114 16§9.9棱柱与棱锥（5）习题课课题棱柱与棱锥习题课课型 习题课目的要求1、 进一步理解棱柱、棱锥的有关概念和性质，能较熟练的应用棱柱、棱锥的有关概念和性质解决有关问题2、 通过对棱柱、棱锥相互关系及内在联系的进一步研究，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和辩证唯物主义观点教学重点 棱柱、棱锥的有关概念和性质的应用教学难点 棱柱、棱锥的有关概念和性质的应用教学手段 投影仪教学方法 教学过程 一、复习（投影）1、 2、有关性质、定理3、练习(1)设有四个命题底面是矩形的平行六面体是长方体棱长相等的直四棱柱是长方体有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中真命题有 （写出真命题的标号）(2)长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底面的对角面的面积为M，这长方体的侧面积是 .(3)若正三棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定是 棱锥（几棱锥）.(4)正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是 .(5)斜四棱柱的侧面中最多可能有 个矩形.二、典型例题例1、A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=900，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点.若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值.例2、如图，长方形ABB1A1,AB=6,BB1=,CC1、DD1是A1B1和AB的三等分线段.A1B交C1C、D1D于M、N，把此图以C1C、D1D为折痕且A1A与B1B重合，折成一个三棱柱的侧面，求平面AMN与平面ACD所成角的大小.A1B1C1D1ACDBMNSABCEFD例3、正三棱锥SABC的底面边长为a，各侧面的顶角为300，D为侧棱SC的中点，截面DEF过D点且平行于AB，当DEF的周长最小时，求截得的三棱锥SDEF的侧面积.(注：这是“立体è平面” 转化思想的一个典型应用)例4、已知正四棱锥RABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心，求：（1） P、Q两点间的距离；（2） 异面直线PQ与BR所成的角；（3） 直线PQ与底面ABCD所成的角；BORACDEHZXYQP（4） 求三棱锥RPBC的体积.例5(选讲)、正三棱锥VABC的底面边长为2，侧棱长为3，过底边AB的截面交侧棱VC于P点.（1） 若P为VC的中点，求SPABV（2） 若P为VC上的动点，求SPAB的最小值PACB三、练习巩固：青岛本P. 130P. 132 （选择题、填空题）四、 小结：1、棱柱、棱锥的有关概念和性质的应用2、应注意的问题五、作业：青岛本P. 130P. 133 部分解答题 -