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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date讲义精品一元二次方程讲义精品讲义精品一元二次方程讲义精品学而思教育暑假数学第一讲一元二次方程 主讲：郭建康 考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： （3）关键点：强调对最高次项的讨论：次数为“2”；系数不为“0”。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。针对练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。考点二、方程的解内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知，求 变式：若，则的值为 。针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知m是方程的一个根，则代数式 。3、已知是的根，则 。4、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 5、若 。作业：1、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值；方程的另一个解。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。针对练习：1、下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,则的值为 。变式：已知,且,则的值为 。针对练习：1、下列说法中：方程的二根为，则 . 方程可变形为正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 3、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或24、方程：的解是 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。变式：若，则t的最大值为 ，最小值为 。例3、已知为实数，求的值。变式1：已知，则 .变式2：如果,那么的值为 。类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：若，则二次三项式为完全平方式；反之，若为完全平方式，则.针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .考点五、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。典型例题：1、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,只有一个根，则m为 。 2、解方程，判断关于x的方程根的情况。3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六：一元二次方程应用题典型例题一例 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？分析 设平均每月的增长率为x.那么九月份售出电脑台，即台，十月份售出台，即台，于是根据题意，可以列出方程.解：设平均每月增长的百分率为x.依题意，有 （不符合题意，舍去）答：平均每月增长的百分率为10%.说明 在有关增长率的问题中，要掌握等量关系：，其中a为变化前的数，如本题中的200台，p为变化后的数，如本题中的242台，x为增长（降低）率，n为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此.典型例题二例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%，平均每年比上一年增长的百分率为 .解 设平均增长率为，则%. . （不合题意，舍去）. =10%.说明：本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题，解题关键是设出未知数，列出方程.典型例题四例 （安徽省，1997）如图，要建一个面积为150的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米.（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中，墙的长度对题目的解起着怎样的作用？解 （1）设鸡场的宽为米，则 当宽为10米时，长为35-20=15米.当宽为米时，长为35-15=20米.（2）由（1）的结果可知，题中的墙长对于问题的解有严格的限制作用.当时，问题无解；当时，问题有一解，只可建宽为10米，长15米一种规格的鸡场；当时，问题有两解，可建宽10米，长15米，或宽为米，长为20米两种规格的鸡场.说明：本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题，解题关键是设出未知数，表示出长与宽，根据面积公式列出方程，易错点是在讨论的限制作用时漏解或叙述不清.典型例题五例将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？分析：该题属于经营问题.设商品单价为元，则每个商品得利润元，因为每涨价1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少个，故销售量为个，为了赚得8000元利润，则应有，进而可以求解.解设每个商品涨价元，则销售价为元，销售量为个.根据题意，得；整理，得解之，得，.经检验，都符合题意.当时，当时，答：要想赚8000元，售价应定为60元或80元，若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于本题要注意单价的上涨与销售量的减少之间的相互关系.典型例题六例 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。分析：可设存款的年利率为，依题意，以本利和为主线列方程解之。解设这种存款的年利率为，则2000元存入一年后，应得本金和利息为元，支取1000元后，还有元，再存入一年后，本息应为元，依题意，得整理，得（所得结果要符合实际意义）解之，得，（不合题意，舍去）.答：这种存款方式的年利率为.说明：存款利率是一种典型的应用题，此类题一般年利率为未知数，依存款本利和列方程解之。典型例题七例 “坡耕地退耕还林还草”是国家对解决西部地区水土流失生态问题，帮助广大农民脱贫致富提出的一项战略措施，某村长为带领全村群众自觉投入坡耕地退耕还林行动，率先垂范，1999年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包20亩坡耕地的还林还草及管护任务，而实际完成的亩数增加的百分率为.如果保持这一增长率不变，2000年村长可完成28.8亩坡耕地还林还草的任务.（1）求增长率；（2）如果该村有30户人家，每户均以村长2000年可完成的亩数为准，则全村2000年可完成坡耕地还林还草任务多少亩？如果国家按每亩坡耕地230元（折算资金）给予补助，则国家将对该村投入补助资金多少万元？解  （1）依题意，得解之，得，（舍去），（2）30×28.8864（亩），864×230198720（元）.-