特殊三角形讲义.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date特殊三角形讲义特殊三角形讲义特殊三角形讲义【知识点精析】一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二、直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果ABAC且A90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。三、勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在ABC中，C=90°（已知）证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理. 二、勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为的线段.三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.1勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1先找出最大边（如c）；2计算与，并验证是否相等.若，则ABC是直角三角形.若，则ABC不是直角三角形.注意：（1）ABC中，若，则C=90°；而时，则A=90°；时，则B=90°.（2）若，则C为钝角，则ABC为钝角三角形.若，则C为锐角，但ABC不一定为锐角三角形.三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.四、全等三角形的概念、性质与判定 1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 3. 全等三角形的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）； （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）； （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）； （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。 4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。 （1）平移 （2）翻折 （3）旋转 5. 判定两个三角形全等所需条件： （1）需要三个条件； （2）至少有一个条件为边。 注意：“边边角”不一定成立。 反例：如图，ABC与ABC'中，ABAB，ACAC'，ABCABC'，但ABC与ABC'不全等。【典型例题分析】 例1. （2005年 苏州） 如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD_。 例2. 已知，如图，ABC中，C90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD8，A30°，求CD的长。 例3. 已知，如图，ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AECD，又BD与CE交于点F，试求BFE的度数。 例4 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，求其斜边AB长。 例5如图所示，点F为RtABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2E=A。 例6 RtABC中，AB=AC，A=90°，点D在BC上，；M为BC中点，请判断的形状，并说明你的理由。 例7作长为的线段.例8如图所示，已知：ABD=C=90°，AC=BC，DAB=30°，AD=8，求BC的长. 例9若a、b、c是ABC的三边，且满足，试判定三角形的形状.例10 如图所示，已知DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm.求证：DEF是等腰三角形. 例11如图所示，已知ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点.求证：.例12. （2005年安徽） 如图，已知ABDE，ABDE，AFDC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。 例13. 如图，B是AC上一点，DAAC，ECAC，DBBE。问：在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到DABBCE，并加以证明。【综合练习】一. 填空题 1. 直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为 。 2. 已知， RtABC中，BD为斜边AC上的中线，若A35°，那么DBC 。 3. 已知，RtABC中，CD是斜边AB上的高，若ACD35°，那么DBC 。 4. ABC中，C90°，ABc, BCa, ACb,c34, ab815,则a 。5. 在RtABC中，E是斜边AB上的一点，把RtABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=_.二. 选择题 6、等腰三角形的腰长为， 底角等于30°，那么底边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 67、如图，BE、CD分别是ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则DEM是（ ） A. 不等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形8、如图所示，ABC为等边三角形，DEAB，DFAC，DE=19，DF=89，则ABC的周长为（ ）A. 216B. C. 648D. 三、解答题1. 已知，如图，D、E是BC上两点，ABAC，ADAE，求证：BDCE 2. 已知，如图，ABC中，ABAC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BDCE，求证：DFEF 3. 已知，如图，D是BC上一点，ABC、BDE都是等边三角形，求证：ADCE 4. 已知，如图，ABC中，B90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又C15°，EC10，求AB的长。 5、某块绿地形状如图所示,其中A60°，ABBC，ADCD,AB200,CD100,求AD、BC的长。 6、 如图所示，已知：B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积. 7、 如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AEEF. 8、如图所示，ABC中，2AD=DC，且，求AB及高AE. 9、在正方形ABCD中，F是AD上一点，且，E是CD的中点.求证：BEEF. 10. 已知：如图，ACOB，BDOA，OBOA，求证：BCAD。 11. 已知：如图，BEAC，DFAC，BEDF，BCAD。图中共有多少对平行线？试选其中一对加以证明。 -