教案-平面向量的数乘运算.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除【教学过程】*揭示课题7.2.3 平面向量的数乘运算*情境导入 有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图715可以看出，向量与向量a共线，并且3aaaaaOABC图715*引入新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 （73）若0，则当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反当0时，a= 0。实数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （74）容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的*例题讲解例1 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图716，a ，b，试用a, b表示向量、图716例2 计算：（1）（-3）×4a（2）5（a+b）-2（a-b）（3）（a+4 b -3c）-（2 a -3 b -5c）*练习强化1 计算：（1）3（a 2 b）2（2 ab）；（2）3 a 2（3 a 4 b）3（a b）2设a, b不共线，求作有向线段，使（ab）*揭示课题7.4.1 平面向量的内积*情境导入Fs图721O如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图722所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则i + y j ，即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即WFcos·s100×·10500 （J）*引入新知BAO图723ab力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积如图723，设有两个非零向量a, b，作a, b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>我们规定，两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作WF·s.由内积的定义可知 a·00, 0·a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a,b>0时，a·b|a|b|；当<a,b>时，a·b|a|b|.（2） cos<a,b>.（3） 当ba时，有<a,a>0，所以a·a|a|a|a|2，即|a|.（4） 当时，ab，因此，a·b因此对非零向量a，b，有a·b0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a·bb·a（2） ()·b(a·b)a·(b)（3） (ab)·ca·cb·c注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)（a·b）·c.*例题讲解例1 已知|a|3,|b|2, <a,b>,求a·b例2 已知|a|b|,a·b,求<a,b>*练习强化1. 已知|a|7，|b|4，a和b的夹角为，求a·b2. 已知a·a9,求|a|3. 已知|a|2,|b|3, <a,b>，求(2ab)·b*归纳小结 向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？ 结论：向量的数乘运算得到的是平行向量，向量的模为 向量的内积运算得到的是数量，a·ba|b|cos<a,b>【精品文档】第 4 页