第五章-发电机组与负荷的数学模型.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第5章 发电机组与负荷的数学模型51 概 述电力系统的规模持续增大，结构日益复杂，组件不断更新，电力系统运行对电力系统的分析、规划和控制的方法不断地提出新的、更高的要求。与此相适应的是计算工具和计算数学以及其它技术领域也在不断地进步，为研究电力系统提供了新的手段。现代电力系统分析目前大多是以电子数字计算机为计算工具，因而，建立描述电力系统的数学模型是研究分析电力系统特种专门问题的基础。把数学与客观物理系统联系起来的过程就是通常所说的建模过程。数学模型的正确性和准确性是保证计算结果的正确性和准确性的基本前提。电力系统的过渡过程十分迅速，因而它对自动控制在客观上有很强的依赖性。现代电力系统，由于计算机和电子技术在控制领域的广泛应用，包括了种类繁多的自动装置，具有很高的自动化程度。如此庞大、复杂的系统，表现在描述它的数学方程方面是方程的极度非线性和高维数。分析任何复杂系统的一般方法是：由简单到复杂；由局部到全体。电力系统的分析计算也是如此。庞大而复杂的电力系统首先被分解为一个个独立的基本组件，加发电机、变压器、输电线、调速器和励磁调节器等等，然后运用电工理论和其它相关理论分别建立单个组件的数学模型。组件的数学模型是构造全系统的数学模型的基本砖石。有了各种组件的数学模型。进步根据电力系统的专门知识和这些组件在一个具体系统中的具体联系，从而可以建立全系统的数学模型。对于同一个客观的系统，研究不同的问题数学模型可能是不同的。从数学上讲，电力系统是一个非线性动力学系统。在研究这个非线性动力学系统的稳态行为时，涉及到的是代数方程：在研究动态行为时，是微分方程(般是常微分方程，某些特殊问题可能涉及偏微分力程)。在研究某些特殊问题时，模型参数可能还是时变的、变量为不连续的。另外，对计算结果的精度的要求不同，数学模型也可能不同。显然，定性分析的模型相对于定量分析的模型可以简单一些。计算精度与计算速度是在建立数学模型时应同时考虑的两个相互矛盾的要求。计算精度的要求越高，计算的工作量也就越大，从而完成计算所需要的时间就越长。反之，牺牲一定的计算精度，换取较快的计算速度是建立数学模型和构造计算方法时常用的方法。研究工作者的努力方向是建立一个在当代计算工具条件下既满足工程分析精度要求又满足工程分析速度要求的数学模型和求解方法。一般的情况总是精度与速度之间的折中。数学模型的建立通常有两大问题：第一是确定描述对象的数学方程式。数学方程式的确定方法有两种：一种是分析法即利用专门学科理论推演出描述系统的数学模型；另一种是利用实验或运行数据来识别数学模型，即自动控制理论中的系统辨识法。第二是参数的获取。无论是微分方程还是代数方程，方程中总会有各种物理参数。一般地，对子简单的组件，由其组件的设计参数按一定的物理关系可以导出模型参数。例如对于架空线路，按导线在空间的排列方式及导线的材料和导线所在的自然环境，由电磁场理论可以求出输电线路的4个等值参数：电阻、电抗、对地电容和对地电导。这种方法隶属于分析法，但是，对于复杂的组件或系统，设计参数与实际参数往往有定的差别。例如发电机参数，由于实际远行工况千变万化、运行中电机的饱和效应、涡流效应、旋转效应等一系列机、电、磁和热能的复杂转换都会对参数值有或多或少的影响。因此，获取复杂组件或系统模型参数的方法除了理论推导外还有个很重要的途径：参数估计法。参数估计法隶属于系统辨识法。系统辨识与参数估计是以实验或运行数据为基础来建立系统(组件)数学模型的一个专门研究领域。本书将不涉及这一方法，有兴趣的读者可参看文献1。应该指出分析法与系统辨识法并不是截然分开的，只是偏重不同。在分析法里也需要有系统的实验数据；在辨识法里也需要由分析法来设计试验。分析法与辨识法各有优缺点。当人们对系统有比较深入的了解时多用分析法，反之则用辨识法。在第1章中介绍了电力网络的数学模型，在第4章中介绍了直流输电与柔性输电的数学模型。本章将在以下章节中介绍发电机组与负荷的数学模型。发电机组的数学模型包括同步电机、励磁调节系统和调速系统的数学模型。52 同步电机的数学模型电力系统中的电源是同步发电机。同步发电机的动态特性或者说动态数学模型是研究电力系统动态行为的基础。在研究建立同步电机的数学模型的近百年历史中有两个重要的里程碑。一个是20世纪20年代的双反应理论的建立2,3；另一个是美国电气工程师帕克(Park)在20世纪30年代提出的帕克变换4。帕克在合适的理想化假设条件下，利用电机的双反应原理推导出了采用dqo坐标系的同步电机基本方程。在近百年的发展过程中，同步机的数学模型基本上以帕克的工作为基础。在帕克之后提出的数学模型只是在模拟转子时采用的等值绕组的数目、用暂态和次暂态参数表示同步电机方程式时所采用的假设以及磁路饱和效应的处理方法等方面有所不同。这些数学模型在相关的书籍、文献中有详细的论述5-15。本节将详细地介绍目前在国内外比较广泛使用的数学模型。读者在阅读其它参考文献时需注意不同的作者可能采用不同的符号、不同的物理量的参考正方向、不同形式的坐标变换矩阵以及不同的基准值选择方法。由同步电机的结构我们知道，转子上的励磁绕组是一个客观真实存在的绕组；而阻尼绕组则是电气上的等值绕组。对水轮发电机等凸极同步电机，阻尼绕组模拟了分布在转子上的阻尼条的阻尼作用；对汽轮发电机等隐极同步电机，阻尼绕组则模拟了整块转子铁芯中的由涡流所产生的阻尼作用。由于是电气上的等值绕组，因而可以用一个乃至多个绕组来等值。从理论上来讲，等值绕组的个数越多模拟的精度就越高。采用较多的等值阻尼绕组，仅从建立同步机的数学模型的角度而言并不困难。但是采用过多的等值绕组将带来两个问题，一是使数学模型的微分方程阶数增高，从而使后续的求解计算量大大增加；二是很难准确地获取相关的电气参数。因此，除了在电机设计中有少量采用多个阻尼绕组来研究某些特殊问题的报告，在目前应用比较广泛的数学模型中，等值阻尼绕组的个数一般不超过3个。由于凸极机的转于阻尼条与隐极机的整块转子铁芯比起来，前者更接近于真实的绕组，以及在磁路上凸极机在转了的直轴（d轴）、交轴(q轴)两个方向的磁阻不同而隐极机相同，故对于凸极机，一般在转子的直轴和交轴上各采用一个等值阻尼绕组，分别记为D绕组和Q绕组；而对于隐极机，除了D、Q绕组外在交轴上再增加一个等值阻尼绕组，记为g绕组。g绕组和Q绕组分别用于反映阻尼作用较强和较弱的涡流效应。在电机学和参考文献16、17中已介绍过理想同步电机的假设条件，即认为同步电机的磁路对称且不饱和及空间磁势按正弦分布。下面我们先推导转子具有D、g和Q三个阻尼绕组的理想同步电机的数学模型，然后介绍计及电机铁芯磁路饱和效应的方法。顺便指出，所介绍的数学模型对于同步发电机、同步调相机相同步电动机都是适用的。5.2.1 同步电机的基本方程 1原始方程式图5-1(a)和(b)分别为同步电机的结构示意图和各绕组的电路图。为一般起见，考虑转子为凸极并具有D、g、Q三个阻尼绕组而将隐极电机或转子仅有D、Q阻尼绕组时分别处理为它的持殊情况。图中给出了本书所采用的定子三相绕组abc、转子励磁绕组f和阻尼绕组D、g、Q的电流、电压和磁轴的参考正方向。需特别注意的是，定子三相绕组磁轴的正方向分别与各绕组的正向电流所产生的磁通的方向相反；而转子各绕组磁轴的正方向与其正向电流所产生的磁通的方向相同；转了的q轴沿转子旋转方向超前d轴90°。另外，选定各绕组磁链的正方向与相应的磁轴正方向一致。图5-1 同步电机结构和等值电路图(图中未标出绕组间的互感)由图5-1（b）并注意各物理量的参考正向，可以列出各绕组的电压平衡方程，即式中：为微分算子。由于是理想同步电机，故不计磁路饱和效应，因而各绕组的磁链可以通过各绕组的L自感及绕组之间的互感M表示为下边的磁链方程：由电工理论知，上式中的系数矩阵是对称矩阵。由图5-1(a)并注意转子是旋转的，可以看出有些绕组的磁路的磁阻是随转子位置的改变而呈周期性变化的，因而这些绕组的自感及互感也是转子位置的函数。在理想同步电机的假设条件下，定子电流所产生的磁势及定子绕组与转子绕组间的互磁通在空间均按正弦规律分布。转子的位置由转子d轴与定于a相绕组磁轴之间的夹角为表征，从而各绕组的自感和绕组间的互感可以表示如下16,18：(1) 定子各相绕组的自感和定子绕组之间的互感.顺便指出，在理想同步电机的条件下，可以证明19 。另外，对于隐极电机，由于转子在旋转过程中与定子绕组自感及定子绕组间的互感相关的磁路的磁阻不发生变化，因而显然有，从而上边的自感和互感都是常数。(2) 定子绕组与转子绕组之间的互感。(3)转子各绕组的自感和转子绕组之间的互感。由于转子绕组随转子一起旋转，因而无论凸极机还是隐极机，这些绕组的磁路的磁阻都不因转子位置的改变而变化，这样转子绕组的自感及转子绕组之间的互感均为常数。注意到直轴上的f、D绕组与交轴上的g、Q绕组彼此正交，因而它们之间的互感为零，即由上边的分析已知：绕组的自感及绕组之间的互感不都是常数。其中一些是随转子位置而变化的。因而由式(5-1)和式(5-2)组成的以时间t为自变量的常微分方程是变系数的常微分方程。变系数和常系数的常微分方程，对前者的求解要比后者困难得多。因此人们希望能将上边的变系数常微分方程转化为常系数的常微分方程。为此，先后提出过数种坐标变换的方法5。帕克所提出的dqo坐标系4是这类坐标变换中被普遍采用的一种。在dqo坐标系中，磁链方程成为常系数方程，从而使得同步电机的数学模型成为常系数常微分方程。下边我们就介绍帕克变换的具体方法。帕克变换特定于电流、电压和磁链的abc三相分量通过相同的坐标变换矩阵分别变换成d、q和o三个分量。其变换关系式可统一写成为行文方便，记上式为紧凑形式称矩阵P为帕克变换。不难得出帕克变换的逆变换为或式（5-8）（5-11）中的符号A可分别代表电流、电压或磁链。即有以下各式成立：顺便指出，不同的作者所采用的坐标变换矩阵P，其元素可能不同。特别地，有的将它取为正交矩阵。应用坐标变换关系式(5-12)和式(5-13)，以及各绕组的自感和绕组间的互感表达式(5-3)(5-7)，不难将式(5-1)和式(5-2)变换成dqo坐标系下的方程：式中：为同步机的电角速度。 帕克变换实际上相当于将定子的三个相绕组用结构与它们相同的另外三个等值绕组d绕组、q绕组和o绕组来代替。本质的区别在于abc三个相绕组的磁轴在空间是静止的，而dqo绕组的磁轴在空间与转子同速旋转。d绕组和q绕组的磁轴正方向分别与转子的d轴和q轴相同，用来反映定子三相绕组的电气量在d轴和q轴方向的行为；而o绕组用于反映定子三相中的零序分量。式(516)中的、和依次为等值d绕组、q绕组和o绕组的自感，它们依次对应于d轴同步电抗、q轴同步电抗和o轴同步电抗。由式(516)可见，式(515)的系数矩阵是常数矩阵，因而描述同步电机的数学模型式(514)已被变换成常系数常微分方程。由式(514)可以看出，同步机定子绕组的电压由三部分组成：一是定子绕组电流流过定子绕组时，在定子绕组电阻上的压降；二是由于定子绕组的磁链随时间变化而产生的电势，这一部分电势通常称为同步机的变压器电势，三是由于同步机的旋转而产生的电势，这一部分电势通常称为同步机的发电机电势。数值上发电机电势远大于变压器电势。需要注意，式(515)的系数矩阵是不对称的，即定子d、q和o绕组与转子间的互感为不可逆。这是由变换引起的。如果将各转子绕组的电流分别用它们的倍替换11,17，或者将P取为正交矩阵13，则这些互感即成为可逆的。顺便指出，由式(516)还可见，对于凸极机,；对于隐极机，由于，。注意到隐极机与凸极机的这一区别，从而可以将凸极机的数学模型直接用于隐极机。当电流和电压取图5-1（b）所示的参考方向时，三相定子绕组输出的总功率为对上式进行坐标变换，由式（5-13），可得dqo坐标系下的定子绕组输出功率方程3.表幺制下的同步电机方程由于标么制的诸多优点，在电力系统分析中普遍使用标么制。同步电机的参数通常也都是用表幺值给比。因此我们需将有名制下的同步电机方程(514)、(515)转化为标幺制下的同步电机方程。在4.3.1节中介绍直流输电系统的标么制基本方程时已述及：由于标幺制要求不同物理量的基准值之间必须满足有名制下原有的关系，因而总有一些物理量的基准值是人为取定的，而另一些基准值是由它们之间的物理关系导出的。显然人为取定的基准值是不惟一的。基准值的取法不同将产生不同的标幺制系统。般的原则是，在所取定的基准值下，使得到的标幺制方程尽可能地简单。本书介绍一种应用比较广泛的基准值系统“单位励磁电压单位定子电压”基值系统。仍用带有下标B的记号表示相应物理世的基准值；用下标“*”来表示相应物理量的标幺值。首先人为取定同步机电转速的基准值为同步角频率()。注意，由于本身是无量纲的，故其无基准值可言。而时间的基准值应满足，则可导出时间的基准值。因而有在同步机定子侧，人为取定于电压、电流的幅值分别作为定子电压、电流的基准值。导出定子三相功率、阻抗和磁链的基准值为顺便指出，上边和的取值与电力系统网络参数的标幺制系统是一致的。在同步机转子侧的f、D、g、和Q四个绕组中，按照在同一标幺制系统中，功率基准惟一的原则，有由于上式的约束，转子每个绕组中的基准电压和基准电流可以人为取定一个，而另一个由上式导出。此处暂不讨论人为取定哪一个及如何取。电压、电流的基准值确定之后，阻抗、磁链的基准值由下式确定：下边我们将同步电机的基本方程(514)和(515)化为标幺制。在式(514)中的7个绕组电压平衡方程两边同除以各自的电压基准值并注意到上边式(519)(524)给出的各基准值之间的关系，不难得出式中：为标幺微分算子：同法，在式(515)中的7个绕组的磁链方程两边同时除以各自的磁链基准值，也注意到上边式(519)(624)给出的各基准值之间的关系，不难得出式中：另外，在式（5-18）两边同除，由式（5-20）可得标幺制下的同步机的输出功率注意，标幺制下的同步电机方程(525)与有名制下的同步电机方程(514)具有相同的形式。但标幺制下的磁链方程(527)的系数矩阵是对称的，即转子与定子之间的互感在用标幺值表示时是可逆的。另外，注意到标幺制下，通过选择合适的电感基准值，总可以使电抗的标幺值与电感的标幺值相等。因此，磁链方程的系数矩阵也可以用电感的标幺值来表示。5.2.2 用电机参数表示的同步电机方程上边我们介绍了用标幺值表示的同步电机方程。以下为行文方便，如不特别指出，都是在标幺制下讨论，且省去标么值下标“*”。 在同步电机基本方程(525)和(527)中，由式(526)和式(528)确定其18个参数。这18个参数我们称为同步电机的原始参数。这些参数的数值大小与同步电机的制造工艺、材料有很密切的关系。严格地讲，即使两台同型号的同步机，它们的参数也未必相等。通过分析计算来获取这些原始参数的准确值是十分困难的。因此，工程上通常将同步机的18个原始参数转换成11个由稳态、暂态和次暂态参数组成的一组参数，并称其为电机参数。电机参数可以通过电机实验直接获得。这11个电机参数分别是定子绕组的电阻()，交、直轴同步电抗(、)，交、直轴暂态电抗(、)，和交、直轴次暂态电抗(、)以及4个时间常数(、)。可见，电机参数的个数少于原始参数的个数，因此从原始参数转化成电机参数时需要一些假设条件。 首先，由于定子绕组中的零轴分量电流在空间产生的磁场为零，故对转子的电气量不产生任何影响。从同步机的基本方程(525)和(527)可以很容易地看出这一点，因而在式(525)和式(527)中可不必关心零轴分量的方程。这样，参数也一并不予关心。这样，式(525)写成式（5-27）写成下边根据通常的电机参数的定义，导出电机参数与原始参数的关系，进而导出用电机参数表达的同步电机基本方程。这里所采用的假设条件为：认为在式(532)、式(533)中的原始参数之间存在式(534)所表示的关系20：对于d轴，电机参数与原始参数关系如下。(1) d轴同步电抗的定义为：当f、D绕组开路时，令定子绕组中流过只含有d轴分量的电流，此时测得的定子绕组电抗即是。由此定义知，公式(532)中，则有可见，原始参数正式电机参数，即二者相同。(2)d轴暂态电抗的定义为：当f组短路、D绕组开路时，令定子绕组中突然流过只含有d轴分量的电流，此时测得的定子绕组电抗即是。由此定义知，由于D绕组开路，故有；由于f绕组短路，当定子中突然流过电流的瞬时，根据磁链守恒的原理，有。这样在式(532)中，我们有由上式消去，得可见(3)d轴次暂态电抗的定义为：当f、D绕组都短路时，令定子绕组中突然流过只含有d轴分量的电流，此时测得的定子绕组电抗即是。由此定义，在式(532)中，,即有在上式中消去和得可见由前边的假设条件式（534）中的第一式解出并代入式（536），得（4）d轴开路暂态时间常数的定义为：当d、D绕组都开路时，f绕组电流的衰减时间常数，由定义可见， 在式（530）和式（532），得注意在表幺制下，由上式得显见事实上，由于d、D绕组都开路，f绕组成为一个孤立的绕组，因而其电流的衰减时间常数就是f绕组自身的时间常数。(5)d轴开路次暂态时间常数的定义为：当d绕组开路、f绕组短路时，D绕组电流的衰减时间常数。由定义可见，在式(530)和式(532)中，得即是显见这是一个二阶电路的情况，因而存在两个时间常数。考虑到的值很小，因而近似认为并从上式中消去电流，得显见至此，我们得到了d轴的5个电机参数与原始参数之间的关系式。同法，根据q轴的各个电机参数的定义，由q轴的电压平衡方程(531)、磁链方程(533)与假定条件式(534)可以得到q轴的5个电机参数与原始参数之间的关系式。为阅读方便，下边将11个电机参数与18个原始参数的关系式一并列出如下(各式左边为电机参数，右边为原始参数)：以上11个电机参数可以由电机实验方便地测出。值得指出的是，式（540）给出电机参数与原始参数之间的关系式依赖于所采用的假设条件(534)。采用不同的假设条件，电机参数与原始参数间特有不同的关系式，如文献13；而不同的关系式则导致用电机参数表示的同步机方程有不同的形式。另外需指出的是，电机参数的数值仅与电机参数的定义有关而与所采用的假设条件无关。下边我们推导用电机参数表示的同步电机方程。为此引入与各转子绕组电流成正比的空载电势以及与转子各绕组磁链成正比的暂态、次暂态电势。它们分别定义为空载电势：暂态电势：在用原始参数表示的同步机基本方程(530)(533)中，把所有转子绕组电流、转子绕组磁链用式(540)(542)定义的电势表出，并注意到原始参数与电机参数的关系式(540)和所采用的假定条件式(534)，不难导出以下用电机参数表示的同步电机方程。定子绕组磁链方程：转子绕组磁链方程：定子绕组电压平衡方程：转子绕组电压平衡方程：式中的物理意义为同步机稳态空载时的定子电压。实际上，为与相对应的假想稳态励磁电流，在暂态过程中它与实际的励磁电流并不相等。由式(541)的定义显见，这一稳态励磁电流与的乘积将得出空载电势，故称为假想空载电势。由转子绕组磁链方程(544)解出代数变量、和，得把式（548）代入式（543）、式（546），消去其中的代数变量，得定子绕组磁链方程转子绕组电压平衡方程注意在式(547)中仍然含有原始参数与。回避这两个原始参数的方法是：通过选择合适的基准值，使得在标幺制下有，从而有。满足这种要求的基准值系统通常称为“单位励磁电压单位定子电压”基准值系统。具体的方法介绍如下。前已述及，在式(523)中，已由定子侧基准值取定；每个转子绕组需人为取定各自的基准电压或基准电流，然后由式(523)导出另一个基准值。“单位励磁电压单位定子电压”基准值系统首先人为取定励磁绕组的基准电压，然后由式(523)导出励磁绕组的基准电流。的具体值为，当同步电机稳态、空载且以同步速度旋转时，使得同步电机定子电压等于定子电压基准值时的励磁电压即为的取值。显然，按上述条件，可以通过电机实验获取。由以上对的定义，在式(514)和式(515)中所涉及的电流中仅，可得解出，有注意，则将上式与式（528）中的的表达式相比较，显见，有成立。从而在表幺制下：至此，我们得到了用11个电机参数表示的同步电机的数学模型，它由定子绕组电压平衡方程(545)、定子绕组磁链方程(549)和转子绕组电压平衡方程(550)组成。值得指出的是，该模型对转子各绕组除励磁绕组的基准值有明确规定外，各阻尼绕组的基准电压、基准电流的取值只要满足式523)即可。此外，励磁绕组的电压还受励磁系统的控制，故式(550)中的存在将引出同来电机励磁系统的方程。描述同步电机的励磁系统的数学模型将在53节讨论。5.2.3 同步电机的简化数学模型上边我们推导了转子采用广、f、g、D 和Q四个绕组来等值的同步机数学模型；由式(550)可见，描述转子电磁暂态过程的微分方程有四阶。现代电力系统中，并列运行的同步发电机台数可高达千台以上，因而过高的微分方程阶数往往带来所谓“维数灾”问题，使分析计算实际上无法进行。因此，在实际应用中，常根据对分析计算不同的精度要求，对同步机的数学模型给予简化，而仅仅对一些需要特殊关心的同步机才采用较高阶的数学模型。同步机的简化模型按照对转子绕组的取舍分为三绕组模型、两绕组模型、不计阻尼绕组模型和为常数的模型以及所谓经典模型。这些简化模型都可以从四绕组转子模型中导出。为节省篇幅，此处不再给出详尽的推导。为方便读者使用，稍加说明而直接给出这些模型。1. 三绕组转子模型（f、D、Q）在凸极机中，转子q轴通常只考虑一个等值阻尼绕组Q，而认为g绕组不存在。这相当于在四绕组转子模型中令。这样，在式(541)中即有，在式(542)中即有且，从而转子电压平衡方程降为三阶：定子电压平衡方程及定子磁链方程的形式不发生变化。2. 两绕组转子模型（f、g，亦称双轴模型）只在q轴上考虑一个阻尼绕组g，人为D，Q绕组不存在。相当于在四绕组转子模型中令。则在式（5-41）中即有，在式（5-42）中即有，从而定子绕组磁链方程为转子绕组电压平衡方程将为二阶：定子电压平衡方程的形式不发生变化。3. 不计阻尼绕组的模型（f，亦称变化的模型）不计阻尼绕组，相当于在四绕组转子模型中令，则在式（5-41）中即有，在式(5-42)中即有，从而定子绕组成链方程为转子电压平衡方程将为一阶：定子电压平衡方程的形式不发生变化。 4. 为常数的模型不计阻尼绕组且忽略励磁绕组的暂态过程，认为励磁调节器的控制作用使得式(5-56)右边恒为零。即。这样，同步电机的数学模型仅为定子电压平衡方程(545)和定子磁链方程(555)而不出现描述转子绕组的微分方程。为常数的模型集中在同步电机转子运动方程中由同步电机的电磁转矩表达式来描述同步电机。5.经典模型进一步在同步电机的电磁功率表达式中认为，使同步机电磁功率表达式更为简化。以上从对转子绕组简化的角度对同步机模型进行了简化。在定子绕组电压平衡方程中，在进行电力系统稳定性分析时，通常有以下两个方面的简化。（1）忽略定子回路的电磁暂态过程。即在定子电压平衡方程式(545)中忽略因和随时间变化而产生的感应电动势。这样，定子电压平衡方程式成为对电力系统稳定性计算而言，这一简化是十分必要的。由定子绕组磁链方程(549)可见，定子绕组磁链对时间求导将涉及到定子电流对时间求导。由于发电机定子绕组与电力网络相连，电力网络由电阻、电感和电容按照一定的拓扑规则连接而成，因而定子电流对时间求导特使描述电力网络的方程成为微分方程，从而使描述整个电力系统的数学模型的阶数大大增加。另外，当同步电机定子绕组和电力网络的电磁暂态过程不被忽略时，同步电机的定子电流中将包含高频分量。由于这些高频分量的存在，欲使计算有相应的精度，在数值积分时就要求有较小的积分步长。对于现代大型电力系统，微分方程阶数的增加和积分步长的减小都将使计算量增加到使分析计算无法进行的程度。事实上，由子电力网络中的电磁暂态过程相对于同步电机的机电暂态过程而言十分迅速，因而在电力系统稳定性分析中忽略其暂态过程对分析结果的影响甚小。在忽略定子回路的电磁暂态过程的条件下，由式(557)可见，同步电机的定子电压平衡方程式即成为代数方程，因而描述电力网络的方程也是代数方程，即通常所谓的稳态关系式。（2）在定子电压平衡方程式中，认为同步电机的转速。恒为同步转速。标幺制下即恒取。注意，这并不是认为同步电机的转速在暂态过程中不发生变化，而仅仅是由于各种控制的作用，的变化范围不大，因而由于的变化而引起的定子电压在数值上的变化很小。这一简化并不能在计算量上获得较大的节省，但是研究表明，在定子电压平衡方程中恒取可以部分地弥补忽略定子绕组电磁暂态过程所带来的误差18。这样，同步电机的定子电压平衡方程式成为5.2.4 同步电机的稳态方程和相量图从数学上讲，所谓电力系统的暂态分析就是求解描述电力系统暂态行为的微分方程组。而电力系统的稳态运行点即是这个微分方程的定解条件。以下导出获取稳态运行点所需的公式，即通常所说的同步电机稳态方程式。注意同步电机在稳态运行方式下，转子以同步转速旋转，各电气量对称且各阻尼绕组电流为零。由于各阻尼绕组电流为零，因而其相应的空载电势也为零，而其它绕组的电流、和对应于的空载电势及所有绕组的磁链都保持不变。为便于区别，用大写字母表示其相应电气量的稳态值。1用同步电抗表示的稳态方程由式(543)，有注意在稳态时，有并将式（5-59）代入定子电压平衡方程（5-58）：在电力系统潮流计算完成以后，我们已知的是复平面下x-y坐标系的同步电机的机端电压和机端电流。欲得到同步电机自身d-q坐标系下的、和，需确定这两个坐标系之间的变换式，即确定二者之间的夹角。为此，将式(560)中的第一式乘j后加到第二式上，经整理可得据上式定义虚构电势：注意与同方向，由向量图5-2（a）可见，与x轴的夹角即是d-q坐标与x-y坐标的夹角，因而由式（5-61）可以确定，从而不难得到两个坐标系之间的变换式：式中：A表示电流、电压、磁链和各种电势。顺便指出，可以证明上边的坐标变换式不仅对稳态值成立，而且对瞬时值也成立。、和确定以后即可由式(560)求出微分状态变量的初值。 2.用暂态电抗表示的稳态方程由式（5-44）的第一、三两式，有注意稳态时，将式（5-60）的第一、二两式分别代入上式的第一、二式以消去上式中含有同步电抗和的项，从而可得3.用次暂态电抗表示的稳态方程 由式（5-44）的第二、四两式，有与式（5-64）的推到完全相同，得 式(560)、式(564)和式(565)构成了转子采用四绕组模型时的同步电机稳态方程。由此三式可以确定所涉及的五个微分状态变量、和的初值。对应于此三式的向量图见图52。当同步电机采用简化模型时，相应的微分状态变量初值可以直接从转子四绕组模型的稳态方程中获取。例如，当不计阻尼绕组时：5.2.5 考虑饱和影响时的同步电机方程 前面所推导的同步电机方程是在假定电机磁路不饱和的条件下导出的。实际上，为了节省材料，同步电机在设计和制造上使得同步机在额定工况下运行时，定于和转子的铁芯已处于浅度饱和状态。在特殊工况下，如果磁通密度增大，饱和现象将愈趋明显和严重。在系统的规划及运行决策分析时，忽略饱和效应带来的误差不大。但在某些特殊情况下，例如在详细模拟励磁调解器及其限幅环节的暂态稳定分析中，机组的饱和效应可能显着地影响分析计算的精度。对磁路饱和效应的研究可以追溯到五六十年以前。详细地模拟磁路的饱和效应将使同步电机的数学模型十分复杂，主要原因是磁路的饱和程度与作用于电机气隙的总磁势有关。这就需要将d轴与q轴的磁势合成为气隙总磁势后再根据饱和曲线求出相应的磁通和磁链。而且即使气隙总磁势在空间严格按正弦分布，但由于各点的磁势不等，其饱和程度也各不相同，从而使气隙的磁通波形发生畸变。因而在工程上，在兼顾模型的简单性、参数的有效性和计算的精确性诸方面因素的同时，通常都进行一些适当的近似2124。下面介绍在稳定性分析中常用的一种方法22。 所采用的假设条件为： 1)磁路饱和的影响简化为d、q轴分别考虑。d轴和q轴磁路的磁阻，其差别仅在于两轴气隙长度的不同。 (2)在同一轴下，饱和程度由保梯(Potier)电抗后相应的保梯电压分量来决定。保梯电压越高，饱和程度越严重。d、q轴的保梯电压分量分别为另外，近似认为同一轴下的定子绕组和转子绕组的电压和磁链具有相同的饱和程度。 (3)近似认为气隙磁通分布波形的畸变不影响各绕组的自感相互感以及相应电抗的不饱和位。 饱和程度的深浅用饱和系数来反映。对于d轴，饱和系数可以根据电机的空载饱和特性来决定，这是因为相当于d轴合成气隙磁通在q绕组中所产生的电压。对于的某一取值，由图53所示的同步电机空载饱和特性可以得出相应的不饱和值，从而定义为显然，的值越大，饱和度越深。为零时相当于末发生饱和。对于q轴，由于其饱和特性难于通过电机实验获得，故由上述假设条件(1)，其饱和系数也按电机空载饱和特性来确定，将其值取为为了求得饱和系数，一种简单常用的方法是将图5-3中的空载饱和特性曲线用一个近似的解析函数拟合，即参数a、b和n的取值可参考文献25。显然，当b取值为零时即是不饱和特性曲线，为于是，在图5-3中的三角形相似关系，有即式中：。 同理，由式（5-68），有下边讨论计及饱和效应时的同步电机转子绕组电压平衡方程、定子绕组磁链方程以及定子绕组电压平衡方程。由不计饱和效应的转子绕组电压平衡方程(550)的推导过程可知，该式的右端各项是转子绕组的电流流过其绕组时在绕组的等值电阻上引起的压降以及绕组的外施电压(即励磁绕组的激励电压)，因而不存在饱和与否的问题。故当计及饱和效应时，在此式的右端仍用不饱和值。而此式的左端对应于转子各绕组的磁链随时间变化而引起的感应电压，显然当计及饱和效应时这些项应采用与实际磁链相对应的饱和值。按照前边的假定(2)并注意到式(567)，可知在d轴方向上，各电势和磁链的不饱和值与相应的饱和值之比都等于;类似地，对q轴则为。因此，当计及饱和的影响时，同步电机的转子绕组电压平衡方程成为式中：各电势的下标s表示相应电势的饱和值。 计及饱和效应后，定子绕组磁链方程由式（5-49）成为由未计及饱和效应的同步电机定子绕组电压方程(558)及保梯电压的定义式(566)可以得出不饱和时保梯电压与定子绕组磁链的关系为由饱和值与不饱和值间的关系，有将式(572)代入上式即得饱和时保梯电压与电势的关系为再将上式代入保梯电压定义式即得计及饱和效应时的定子绕组电压平衡方程为 式(566)、式(571)、式(572)和式(575)共同构成了计及饱和效应时的同步电机的数学模型。至此读者不难推导出计及饱和效应时的同步电机稳态方程。 另外，必须指出，在实际应用中，常假定定子漏磁链不饱和而将保梯电抗的值取为绕组漏抗。5.2.6同步电机的转子运动方程式1刚性转子情况下的转子运动方程式当把原动机和发电机转子视为一个刚休时，整个发电机组的转子运动方程为16，17式中式中：为发电机转子q轴与以同步速度旋转的系统参考轴x间的电角度，为无量纲纯数，习惯上将其以弧度(rad)计量；为发电机组的惯性时间常数，量纲为秒(s)；为转子在同步转速下的转动动能，量纲为焦耳(J)；为基准容量，量纲为伏安(VA)；和。分别为原动机的机械输出转矩和发电机的电磁转矩的标幺值，其基准值为为转子的机械同步转速，量纲为弧度秒(rads)。和，的正方向分别取为与转子的旋转方向相同和相反。顺便指出，在国外的文献中，转子的机械惯性常用来表示。显见，在式(576)中，将换成2H即可。此外，有以下两个问题需要注意。 (1)由子转矩与转速的乘积为该转矩的功率，且。故在标么制下有式中：为原动机的机械输出功率；为同步发电机的电磁功率。由于电力系统的各种稳定控制措施的作用，的变化不大，因而为了节省计算量，有时在上式中直接将的值取为1，从而认为转矩的标幺值与功率的标么值相等。 (2)转子在旋转中受到空气以及轴与轴承间的摩擦阻力，这些力对转子产生阻尼转矩，通常近似认为这个转矩的大小与转子的转速成正比并用风阻系数D与转速的积来反映。考虑到以上两个因素，当时间变量也采用标幺值时，刚体转子的运动方程就是 （5-78）顺便指出，转子运动方程中涉及到的机组的机械转矩或机械功率受机组的调速系统的控制，因而机械转矩或机械功率的出现将引出机组调速系统的方程。描述机组调速系统的数学模型将在5.4节讨论。在式（5-78）中，实际上将发电机和原动机的转子合并在一起，看成是一个集中的刚性质量块。对于一般的暂态稳定性系统，这种处理方法不会引起明显的误差。但是，在分析电力系统次同步谐振问题时们对于大型汽轮发电机组，由于汽轮机由多级组成，整个机组转子轴的总长度可达数十米，转子轴客观存在的弹性便不能被忽略。通常把轴上的励磁机、发电机转子和各个汽缸的转子各自处理为一个集中质量块，整个轴系的弹性处理为各质量块的扭簧的弹性。在考虑了弹性之后，各质量块在暂态过程中的转速就可能不同，因而质量块之间就会出现相对角位移。每一个质量块的转动方程共同构成发电机组的轴系方程。此处不在详细介绍轴系方程，有兴趣的读者可参看文献26,27。2.同步点击的电磁转矩和电磁功率在转子运动方程（5-78）涉及到原动机的机械转矩（或功率）和同步机的电磁转矩（或功率）。前者由机组的原动机或机组的调速系统的数学模型来确定，我们在5.4节讨论。此处讨论电磁转矩及电磁功率的计算模型。同步机的电磁转矩放映同步机定子与转子间通过电与磁的相互作用而对转子产生的力的作用。可以从理论上证明：电磁转矩等于各绕组储存的总磁场能量对转子角度的偏导数4 ，即 （5-79）式中：为同步机转子d轴与定子绕组a轴的夹角，参见图5-1（a）；为同步机的定子三相绕组和转子各绕组所储存的磁场能量的总和，可表示为 （5-80）上式中的负号时因定子绕组电流的参考方向与其磁链的参考方向相反而引起。由式（5-2）（5-7），注意转矩的基准值为便可导出 （5-81）由上式可见，电磁转矩与定子的零轴分量无关，这是因为零轴磁通不与转子绕组相匝链。另外，虽然上式是在转子采用四绕组模型下导出的，但对转子采用其它更高阶或低阶的模型同样适用，只是推导过程稍有不同， 当转子采用四绕组模型时，将定子绕组磁链方程(5-49)代入上式即可得该模型下的电磁转矩表达式 （5-82）由上边的表达式并注意到式（5-77）可以直接得到同步机的电磁功率表