高中数学立体几何解题如何添加辅助线.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学立体几何解题如何添加辅助线立体几何解题如何添加辅助线王佩其有人说，解立体几何题“得辅助线者得天下”。此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。那么，辅助线该如何添加呢？这里我先介绍一段口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”然后结合口诀分析几个例子，供同学们参考。例1 如图1，在二面角中，ABCD是矩形，且，M、N依次是AB、PC的中点。证明：MN是异面直线AB和PC的公垂线。分析：要证明此题，必须添加适当的辅助线。根据题设条件中的N点是PC的中点，则可考虑利用“有了中点配中点，两点相连中位线”的辅助线的做法。证明：选取PD的中点Q，连接QN、QA，则QN是PDC的中位线，且因为ABCD是矩形，M是AB的中点，所以AMDC，且，所以，所以四边形AMNQ为平行四边形，所以AQMN。由易证AB平面PAD，CD平面PAD，所以ABAQ，所以ABMN，所以AQPD。又CDAQ，所以AQ平面PCD，即AQ平面，所以AQPC，故而，MNPC，所以MN是异面直线AB和PC的公垂线。例2 如图2，在三棱锥ABCD中，若BACCADDAB60°，ACAD，求证：ABCD。分析：题设条件中出现了“ACAD”，即ACD为等腰三角形，则可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加辅助线。证明：取DC中点E，连接AE、BE。则AECD易证BACBAD，所以BCBD，所以BECD，所以CD平面BAE，所以CDAB。例3 如图3，底面是等腰直角三角形的直棱柱 D是的中点。（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小。 分析：（1）要证明平面平面，则应转化为线面垂直，即在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。注意到题设中直棱柱的底面是等腰三角形，因而可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加适当的辅助线。（2）要求二面角的大小，应考虑作出二面角的平面角，要作二面角的平面角，注意到（1）所证结果中出现了两平面垂直，所以可考虑利用“有了垂面作垂线，然后利用三垂线”的作辅助线的办法，作出其中一个平面的垂线以后，利用三垂线定理来作二面角的平面角（本题请同学们结合图中已添加的辅助线自己完成，第2小题的答案是二面角的大小为。）-