第一轮复习试题自己整理绝对经典年圆锥曲线--第一轮.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除圆锥曲线题型总结（2015）一圆锥曲线的定义第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。定义的试用条件：例1：已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的（ ）A B C D例2：方程表示的曲线是_利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离：例3：如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_例4：点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。利用定义求轨迹：例5：动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程例6：已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( ) A、椭圆 B、圆 C、直线 D、点例7：已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.例8：已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 定义的应用：例9：椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 真题：【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【2013新课标卷文科21】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。（）求的方程；（）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长是，求。【2015新课标1卷文科16】已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：椭圆：焦点在轴上时： 双曲线：焦点在轴上时：焦点在轴上时： 焦点在轴上时：抛物线方程：求方程的方法：定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等量关系例10：设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_例11：与双曲线有相同渐近线，且经过点A（，3）的双曲线的方程是_例12：已知直线l:y=x+3与双曲线，如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭圆与l有公共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。例13：已知椭圆方程焦点在x轴，且过两点，则椭圆方程是_例14：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_例15：椭圆 的焦点坐标是（ ） A B C DD 例16：已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3），求椭圆C的方程。真题：【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【2015高考天津，理6】已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )A B. C. D. 三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。例17：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 例18：已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的范围是 .例19：如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。例20：方程，例 翰k为 时,方程为双曲线。当例 翰k为 时，方程为焦点为x轴的椭圆。例21：方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。例22：已知抛物线，则此抛物线的焦点坐标为 .准线方程为 .四.圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）离心率问题：椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；注重数形结合思想不等式解法双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。离心率求法：（1）画出图型，尽量把能表示的边都用关于的式子表示（2）通过几何关系，建立关于的等式（3）消去，同时除以，解关于的方程例23：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 则椭圆离心率的取值范围是 .例24：在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 例25：过椭圆C：的左焦点作直线lx轴，交椭圆C于A，B两点，若OAB(O为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C的离心率为 .例26：设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 .例27：双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 .真题：【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）A B C D【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .【2015高考山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .【2013新课标卷文科5】设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，则的离心率为( )A B C D渐近线及其它问题：例28：设、分别为双曲线（>0、>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点p，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 例29：已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则例30：过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= 例31：以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 例32：设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是 真题：【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）（A） （B） （C） （D）【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A B C D【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 五点、直线和圆锥曲线的关系： 点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内；直线与圆锥曲线的位置关系：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；例33：当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。例34：若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 例35：已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标例36：直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_例37：过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_ 例38：若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_例39：过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_例40：过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线有_条例41：对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_例42：直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 真题：【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）(A) (B) (C)6 （D）六焦半径及弦长公式的计算方法： 若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解（了解）。抛物线的焦点弦公式：（为直线的倾斜角）例43：过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_例44：已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于例45：点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_例46：抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_七焦点三角形问题：1.椭圆焦点三角形面积 ；双曲线焦点三角形面积2.常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3.四者的关系在圆锥曲线中的应用；周长为：例47：已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 例48：已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 例49：已知椭圆的方程是，它的两个焦点分别为，且，弦过，则的周长为 例50：短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_椭圆焦点三角形面积 ；双曲线焦点三角形面积例51：设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 例52：椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 例53：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程真题：【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )A.（-，） B.（-，） C.（，） D.（，）八抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1），（2） （3） （4）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（5）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则AMFBMF；（6）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PAPB；（7）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。例54：过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_例55：过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角例56：已知抛物线，直线过焦点，且与抛物线交于点,与抛物线的准线交于点,又,则抛物线的方程为_真题：【2013新课标文科8】为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【2013新课标卷文科10】设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L的方程为_【2013新课标卷理科11】设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）（A）或 （B）或 （C）或 （D）或 【2014新课标卷文科10】已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，则A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【2014新课标卷理科10】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=（ ）. . .3 .2【2014新课标卷文科10】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则（ ）A. B. C. D.九圆锥曲线的中点弦问题：（点差法）遇到中点弦问题常用“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。例57：双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例58：已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，O为坐标原点，OC的斜率为/2，求椭圆的方程。例59：如果椭圆,直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，则点的轨迹方程是 例60：已知椭圆，直线过点，且与椭圆交于、两点，求、中点的轨迹方程例61：已知双曲线的方程为，直线与双曲线交于、，且、的中点坐标为，则此双曲线的离心率为 例62：试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称真题：【2013新课标卷理科10】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为（ ）A.B.C.D.【2013新课标卷理科20】平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点作直交于两点，为的中点，且的斜率为 （）求的方程； （）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值十面积问题例63：已知定点A(0，3)点B、C分别在椭圆的准线上运动，当BAC=90°时，求ABC面积的最大值。例64：若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，则PAB的面积的最小值为_例65：已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。 （1）求椭圆的方程；（2）求的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。F1F2··例66：已知椭圆的左右焦点分别为，在椭圆中有一内接三角形，其顶点的坐标，所在直线的斜率为 （）求椭圆的方程；（）当的面积最大时，求直线的方程例67：已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。真题：【2015高考浙江，理19】已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称（1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）十一最值及范围问题（一般用参数方程的方法或用定义转化）例68：已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值例69：已知点M是抛物线y24x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x4)2(y1)21上，则的最小值为_例70：若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_例71：若M是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左、右焦点，则的最大值为例73：若点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到准线的距离之和的最小值为_十二直线与圆锥曲线大题常规解题方法一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型： “以弦AB为直径的圆过点o（提醒：需讨论K是否存在） “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” >0； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）； “共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）； “点、线对称问题” 坐标与斜率关系；基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。定点定值问题 在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题. 圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题.4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。弦的垂直平分线问题例74：过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足式此时。动弦过定点的问题证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。例75：已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。过已知曲线上定点的弦的问题例76：已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：则直线PQ的斜率为定值。向量问题例77：已知点，若动点满足（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围.例78：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存直线，满足?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）例79：设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。例80：已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线（>0）于B、C两点，且线段BC长为。（I）求抛物线的方程；（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。真题：【2015高考新课标2，文20】已知椭圆C：（>>0）的离心率为，点（2，）在C上（I）求C的方程（II）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【2015新课标1卷文科20】已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.十三：补充结论（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为（3）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点十四解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出与相交,等于已知过的中点;（2）给出,等于已知是的中点;（3）给出,等于已知与的中点三点共线;（4） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（5）给出,等于已知是的平分线/（6）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（7） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（8）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（9） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（10）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（11）在中，给出等于已知通过的内心；（12） 在中，给出,等于已知是中边的中线【精品文档】第 21 页