《抛物线的简单几何性质》课件ppt.ppt
2.3.2抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质一、抛物线的范围: y2=2pxXY二、抛物线的对称性 y2=2pxXY XY三、抛物线的顶点 y2=2pxXY四、抛物线的离心率 y2=2pxpyxpyxpxypxy22222222五、抛物线开口方向的判断 y2=2pxxyoFlAB过焦点且垂直于对称轴的直线过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段被抛物线截得的线段AB叫做抛叫做抛物线的通径，物线的通径，),2(),2(ppBppA、长为长为2pP越大，开口越阔六、抛物线开口大小 图形图形标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0(2ppyx2 2Ryx, 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2求它的标准方程。并且经过点标原点，轴对称，它的顶点在坐已知抛物线关于例),22, 2(3x)0(2),22, 2(2PPxyMx程为所以，可设它的标准方点点，并且经过轴对称，它的顶点在原解：因为抛物线关于222)22(2pPM，即在抛物线上，所以因为点xy42准方程是因此，所求抛物线的标练习练习o课本课本63页第页第1、2题题的长。两点，求线段抛物线相交于且与的焦点经过抛物线的直线斜率为例ABBAFxyl,4142xyOFABBA, 12, 2pp解：由题意可知，. 1:xl准线.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知221xxBFAFAB所以的长。两点，求线段抛物线相交于且与的焦点经过抛物线的直线斜率为例ABBAFxyl,4142xyOFABBA1),0 , 1 ( xyABF的方程为所以直线为由已知得抛物线的焦点,4) 1(,422xxxy得代入方程.0162xx化简得8262121xxABxx。的长是所以，线段8AB设而不求设而不求,数形结合数形结合,活用定义活用定义,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长抛物线的几何性质特点抛物线的几何性质特点（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线。但没有渐进线。（2）只有一条对称轴，没有对称中心。）只有一条对称轴，没有对称中心。（3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。（4）离心率）离心率e是确定的，即是确定的，即e =1 （5）一次项系数的绝对值越大，开口越大）一次项系数的绝对值越大，开口越大 例 1已知抛物线的方程为24yx ,直线l过定点( 2,1)P ,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx :只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? .,21 xkyl的方程为设直线由题意解由方程组 ,xyxky4212 244 210kyyk可可得得.,41412 xxyy得代入把 ,101 yk得由方程时当., 141点与抛物线只有一个公共直线这时l .,1216022 kkk的判别式为方程时当.,2110120120 kkkk或解得即由.,.,有一个公共点与抛物线只直线这时只有一个解而方程组从只有一个解方程时或当于是lkk211 .,2110120220 kkk解得即由.,.,有两个公共点与抛物线直线这时只有两个解从而方程组只有两个解方程时且当于是lkk0211 .,2110120320 kkkk或解得即由;,一个公共点与抛物线只有直线时或或当lkkk0211 1102,;kkl 当当且且时时 直直线线 与与抛抛物物线线有有两两个个公公共共点点.,与抛物线没有公共点直线时或当lkk211 我们可得综上,.,.,与抛物线没有公共点直线这时没有解方程组从而没有实数解方程时或当于是lkk211 k 点评：本题用了分类讨论的方法点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。造成漏解。课堂小结课堂小结（1）抛物线的简单几何性质）抛物线的简单几何性质（2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点（3）应用性质求标准方程的方法和步骤）应用性质求标准方程的方法和步骤例例5 过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过点两点，通过点A和抛物线顶点的和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点直线交抛物线的准线于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),2(0020 xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB/xyOFABD例例1 已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为y=4x,直线直线l过定点过定点P(-2,1)，斜率为，斜率为k,k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y=4x:只有一个公共点；有两个公共只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？点；没有公共点？).2(1xkyl的方程为解：由题意，设直线xyxky4)2(12由方程组0) 12(442kyky可得. 10) 1 (yk时，由方程得当.41,412xxyy得代入把) 1 ,41(点与抛物线只有一个公共这时，直线lXYOP例例1 已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为y=4x,直线直线l过定点过定点P(-2,1)，斜率为，斜率为k,k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y=4x:只有一个公共点；有两个公共只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？点；没有公共点？).2(1xkyl的方程为解：由题意，设直线xyxky4)2(12由方程组0) 12(442kyky可得).12(160)2(2kkk时，方程的判别式为当0120120kk，即由.21, 1kk或解得个公共点。即直线与抛物线只有一，时，方程组只有一个解，或即当211kk0120220kk，即由.211k解得公共点。即直线与抛物线有两个时，方程组有两个解，且即当0,211kk0120320kk，即由.211kk，或解得共点。即直线与抛物线没有公，时，方程组没有实数解或即当211kk个公共点。即直线与抛物线只有一时，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切另一种是直线与抛物线相切 l l1 1l l2 2例题例题1 1. .如图所示，直线如图所示，直线 与与 相交于相交于M M点点 ， 以以A,BA,B为端点的曲为端点的曲 线段线段C C上的任一点到上的任一点到 的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等， 为锐角为锐角 三角形，三角形， 建立适当坐标系建立适当坐标系, ,求曲线求曲线C C的方程。的方程。1l2l21ll 2lN AMN6, 3,17BNANAM1lB BA AM MN N123分析：分析：1.1.如何选择适当的坐标系。如何选择适当的坐标系。 2.2.能否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.3.如何用方程表示曲线的一部分。如何用方程表示曲线的一部分。l l1 1l l2 2例题例题1 1. .如图所示，直线如图所示，直线 与与 相交于相交于M M点点 ， 以以A,BA,B为端点的曲为端点的曲 线段线段C C上的任一点到上的任一点到 的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等， 为锐角为锐角 三角形，三角形， 建立适当坐标系建立适当坐标系, ,求曲线求曲线C C的方程。的方程。1l2l21ll 2lN AMN6, 3,17BNANAM1ly yx xD D解法一：1NCACNRt中，)0 , 2(, 4为为则则NMN 8222pp得由图得，），为（为（221A），为为（244BC CB BA AM MN N曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：)0, 41 (82yxxy即抛物线方程：即抛物线方程：xy823,ANADMCACMRt2217ACAM，则且l l1 1l l2 2例题例题1 1.如图所示，直线 与 相交于M点 ， 以A,B为端点的曲 线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等， 为锐角 三角形， 建立适当坐标系,求曲线C的方程。1l2l21ll 2lN AMN6, 3,17BNANAM1ly yx xD DC CB BA AM MN N42,或或得得p解法二：)0(22ppxy设抛物线方程：设抛物线方程：)22 ,23(pA)23(28ppNAxxAMN为锐角三角形，为锐角三角形，43223pppp；即即得得所所以以曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：)0, 41 (82yxxy例题例题2.2.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值。中点纵坐标的最小值。.xoyFABMCND解：),(),(),(2211yxMAByxByxA中中点点设设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即即)41(2yBCAD1.已知M为抛物线 上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 MFMP xy422.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ） （A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条 xy82B BC C.)0 , 1 (F3xM.N.M.P.P3.过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D)0(2aaxy等于q1p1q则p,a21a2yxF.PQ4.已知A、B是抛物线 上两点，O为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是：( ) (A) (B) (C) (D)0(22ppxyAOBOBOA且且,px px3px23px25ABOF.yxC CD D 坐标系中，方程坐标系中，方程 与与 的曲线是（的曲线是（ ） (A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)xyoxyoyxoyxo12222ybxa)0(02babyax D D
