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第第 五五 讲讲 . 态叠加原理态叠加原理 A. 态叠加原理：态叠加原理： 如果如果 是体系的一个可是体系的一个可能态，能态， 也是体系的一个可能态，则也是体系的一个可能态，则 是体系的可能态，并称是体系的可能态，并称 为为 和和 态的线性叠加态。态的线性叠加态。1a2a21a2a1cc1a2a B讨论讨论（经典波函数与量子波函数比较）（经典波函数与量子波函数比较） ， 系数系数 不仅仅是展开系数。而是对体系测不仅仅是展开系数。而是对体系测量量 获得获得 值的几率振幅。值的几率振幅。 而而描述自由粒子状态的最普遍的形式为描述自由粒子状态的最普遍的形式为) t , r (a ) t , r (2a 0) t , r ( iaa) t , r (C) t , r (ii iaCiapde )p( c) t , r () tErp( iPm2pE2PA 一个动量为一个动量为 的自由粒子是以一个平的自由粒子是以一个平面波面波 这表明，这一自由粒子有一定几率处于这表明，这一自由粒子有一定几率处于 态上，其几率为态上，其几率为 p) tErp( ipPe21) t , r ( tiElmm, llmPe ),(Y) r , k(C lmYdrr) r , k(C22m, l 态叠加原理的直接后果是要求波函数满态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。足的方程，必须是线性齐次方程。 作为例子，介绍了一个描述波包的波函数作为例子，介绍了一个描述波包的波函数 ，220 x2)PP(4122xe)2()0 ,P(C 2P2P00 xiP4x412022ee)21()0 , x( 1dx)0 , x(dp)0 ,p(C2x2x . 含时间的薛定谔方程（含时间的薛定谔方程（AustrianAustrian） 25252626年间，将能量不连续和波动性联系起年间，将能量不连续和波动性联系起来，并将求粒子能量可能值的问题归结为一定边来，并将求粒子能量可能值的问题归结为一定边条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运动的波函数是怎样演化的。动的波函数是怎样演化的。 A. Schroedingers equation的建立的建立 有确定动量的自由粒子：根据有确定动量的自由粒子：根据de Broglie关系关系和和Einstein关系关系 它应相应于一个它应相应于一个de Broglies波波这波函数满足这波函数满足 m2PE2PknhP )n2k( ) tErP( iPpAe ) t , r (m2P) t , r (tiP2P 在这方程中无特殊参量在这方程中无特殊参量 。它不仅对有。它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。的自由粒子的波函数也成立。 pEPde )P(Cti) t , r (ti) tErP( ip Pdem2P)P(C) tErP( i2p 而 Pdem2)P(C) t , r (m2P) tErP( i222p Pdem2P)P(C) tErP( i2p ) t , r (m2) t , r (ti22 ) t , r (H 自由粒子 这一微分方程决定了描述自由粒子状态随这一微分方程决定了描述自由粒子状态随时间的演化。时间的演化。 将上述情况推广，对于质量为将上述情况推广，对于质量为 的粒子，的粒子，在位势在位势 中运动时，则中运动时，则因此，描述这一粒子运动的波函数应满足因此，描述这一粒子运动的波函数应满足 m) t , r (V) t , r (Vm2PE2 ) t , r ()t , r (Vm2p ) t , r (ti2 最为普遍的方程是：体系的最为普遍的方程是：体系的Hamiltonian 则则称为含时间的称为含时间的 SchroedingerSchroedingers equations equation。 但应注意，同一力学量的经典表示，可得不但应注意，同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学表示同的量子力学表示 ) t ,P, r (HVTE ) t ,P, r (H) t , r () t , P, r (H) t , r (ti 因此，经典的力学量，变为量子力学的力因此，经典的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化），即算符时，应注意学量表示（即量子化），即算符时，应注意 和和 对经典是一样的，对经典是一样的， 但对量子力学但对量子力学而言是不同的而言是不同的 。 x1xPPx1m21m2Pxx2xxxPP 222xm2)x41x(m22222xxPxPx 所以规定：所以规定： 在直角坐标中表示分量，再代入算符表示；在直角坐标中表示分量，再代入算符表示； 对于与对于与 为线性函数形式的物理量，为线性函数形式的物理量， ，则取，则取 （ 为实函数为实函数 ）；）； 如果是矢量如果是矢量，则在，则在 直角坐标下的分直角坐标下的分量表示，然后再作替换量表示，然后再作替换 ，再换为其它，再换为其它坐标。坐标。 如如 iPii)z , y, x(fPP)z , y, x(f)z , y, x(fP21iiifz , y, xiixiP )11(m2m2PP2222222y2x 但如从但如从 不对。不对。 B. 对对Schroedinger equation的讨论的讨论 1. 量子力学的初值问题：量子力学的初值问题： 当体系在当体系在 时刻的状态为时刻的状态为 时，以后时，以后任何时刻的波函数就完全由任何时刻的波函数就完全由 S.eq.所决定（因对所决定（因对 是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律， 1)(1m22222 )1(m2)PP(m21222222222 0t)t , r (0 t即决定状态的演化。即决定状态的演化。 如如 ，即与时间无关，那，即与时间无关，那 时刻的解可表为时刻的解可表为（如（如 时为时为 ） 如何从如何从 时刻的波函数来确定时刻的波函数来确定 时刻的时刻的波函数的问题，是量子力学要解决的重要问题之波函数的问题，是量子力学要解决的重要问题之一。一。)P, r (H) t ,P, r (Ht0t)t , r (0 )t , r (e)t , r (0)tt)(p , r (Hi00 0t t 讨论：讨论： a. 群速度和相速度群速度和相速度 我们得到包络极大处的速度我们得到包络极大处的速度 ，即群速度，即群速度 而相速度而相速度 mPdPdEvKPPxg0 xm2PPEv0PPp022022220222220 x2222202x2202x2222xx220220 x22x222xx220 x2Pm2it1)2ixP()m2it12ixPP)(m2it1 (P)Pm2it1ixP2P)(m2it1 (tm2PixiPPPP2P) tm2PxP( i)PP( 因 b. 波包的扩展波包的扩展 如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟）如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟） 一个物体一个物体, , 则则 所以，在所以，在 时，它位于时，它位于 ，宽度为，宽度为 0t 0 x )m4t1 (2)Pmtx(21422221224222220e)m4t1 (1)2( 而而 时，它位于时，它位于 ，宽度为，宽度为 也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要区域在区域在 -其中其中0tt mtPx002122021220)m2t(1 )m2t(1 xx0 xx0mtPx000 所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。 设：设： 于是于是当当 ，波包已扩散很大，因此与经典粒子无，波包已扩散很大，因此与经典粒子无任何相似之处。任何相似之处。 21220222)m2t(1 xx)xx(x 2mT Tt0 21220T4t1 x 但但 所以，这样一个显示经典粒子的波包，其动量的所以，这样一个显示经典粒子的波包，其动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展。使得你在分布没有扩展，而空间的分布则扩展。使得你在 时，就认不得经典粒子的运动轨迹了。时，就认不得经典粒子的运动轨迹了。这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。 下图即为高斯波包的传播下图即为高斯波包的传播 2)PP4()PP()PP(P212K2K22212x2x2xxx2mTt c. 波包扩展的时间量级波包扩展的时间量级 求波函数随时间的演化，也可这样来做。求波函数随时间的演化，也可这样来做。 时刻的波函数，可由时刻的波函数，可由 时刻的波函数完全时刻的波函数完全确定。由于确定。由于S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。是线性的，因而解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着，这就意味着， 必须满足线性齐次的微分方程。必须满足线性齐次的微分方程。即可表为即可表为 称为称为Green函数，或称传播子。函数，或称传播子。知道了知道了Green函数，就知道态随时间的演化。函数，就知道态随时间的演化。t t rd) t , r () t , r ; t , r (G) t , r ( ) t , r ; t , r (G 如如 时刻，粒子处于时刻，粒子处于 ，即，即由上式得由上式得这就是格林函数的含义：这就是格林函数的含义： 时刻，粒子处于时刻，粒子处于 ，则，则 时刻，时刻， 处发现粒子的几率密度振幅就是处发现粒子的几率密度振幅就是 。 由薛定谔方程我们可直接给出由薛定谔方程我们可直接给出 0t t 0r)r r ()t , r (00 )t ,r ; t , r (G rd)t , r ()t , r ; t , r (G) t , r (0000 0t0rtr)t ,r ; t , r (G00 )rr (e)t ,r ; t , r (G0)tt)(P, r (H1i000 B粒子数守恒粒子数守恒 在非相对论的情况下，实物粒子既不产生在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即不随时间变，即 这即要求，凡满足这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，的波函数，必须满足上式。必须满足上式。 0rddtd2 由由 乘乘由由 乘乘) t , r () t ,P, r (H) t , r () t , r (t) t , r (i* ) t , r () t , P, r (H) t , r (ti* ) t , r () t ,P, r (H) t , r () t , r (t) t , r (i* * ) t , r () t ,P, r (H) t , r (ti 从而得从而得 若若V为实函数（保证体系是稳定的，能量为实）为实函数（保证体系是稳定的，能量为实）对整个空间积分，得对整个空间积分，得)(i(m2Pti*2)(m2*2 *2*2*2vm2Pvm2P) t , r (ti 对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数应平方可积（平方可积条件要求应平方可积（平方可积条件要求 ， 应快于应快于 ），于是），于是 r0 23r10sd)(m2i* sd)(m2i* rd)(m2ird) t , r (dtd*2 从而证得从而证得 若取若取则则 0jt 0rd) t , r (dtd2 2 )PRe(m1)(m2ij* 称为几率流密度矢称为几率流密度矢 上述表示，即为几率守恒的微分形式。形式上述表示，即为几率守恒的微分形式。形式上与流体力学的连续方程一样，但是有很大的实上与流体力学的连续方程一样，但是有很大的实质差别。质差别。 如对空间某一体积积分，则有如对空间某一体积积分，则有Vssdjrddtd j 这表明，单位时间内，体积中，发现粒子的这表明，单位时间内，体积中，发现粒子的总几率增加是等于从该体积表面（总几率增加是等于从该体积表面（S面）流入该面）流入该区域的几率。区域的几率。 一维情况一维情况 应该强调，任何时刻都不要忘记波函数的几应该强调，任何时刻都不要忘记波函数的几 率解释。率解释。 为发现粒子在该处的几率密为发现粒子在该处的几率密度，而决不是粒子分布于空间；也决不是粒度，而决不是粒子分布于空间；也决不是粒 jxt ) t , b( j) t , a ( jdx) t , x( jxdx) t , x(dtdbaba ) t , r (2 子以子以 分布于空间；也决不能说，分布于空间；也决不能说， 是密是密度为度为 的粒子以速度的粒子以速度 在空间的流密度。而在空间的流密度。而仅表明，粒子在单位时间通过面上的单位面积仅表明，粒子在单位时间通过面上的单位面积的几率（不是粒子实体，否则又回到经典图象的几率（不是粒子实体，否则又回到经典图象上去了）。上去了）。 还应指出，还应指出，几率流密度矢是处处连续的几率流密度矢是处处连续的。 C. 多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程 设：体系有设：体系有 个粒子，质量分别为个粒子，质量分别为 ，所处的位势为，所处的位势为 ，相互作用为，相互作用为 ，则则) t , r ( ) t , r ( j vn21m,m)r (Vi)r ,r (Vjiij 这时这时S. eg.为为 这也看出与经典不一样。不一定都是三维空这也看出与经典不一样。不一定都是三维空间的函数，而是多维的，即间的函数，而是多维的，即 在多维位形空间在多维位形空间中的。中的。 iNjijiijiii2i)r ,r (V)r (Vm2PH) t ,r,r ,r () t ,P,r,P,r ,P,r (H) t ,r,r ,r (tiN21NN2211N21 2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题不含时间的薛定谔方程，定态问题 由初态由初态 求求 一般是很困难的，一般是很困难的，我们将介绍一些极为有用的特例，即位势与时间我们将介绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关，无关， 。 （1） 不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方程 由于由于H与与t无关，可简单地用分离变数法求无关，可简单地用分离变数法求特解。特解。 )t , x(0 ) t , x( ) r (V) t , r (V) t , r ()p , r (H) t , r (ti ) t , r ()r (Vm2p (2 令令 于是于是 =常数常数 于是有于是有 。 ) r (u) t (T) t , r ( dt) t (dT) r (ui) t (T) r (u)p , r (Hdt) t (dT) t (T1i) r (u)p , r (H) r (u1 ) t (ETdt) t (dTi) r (Eu) r (u)p , r (HEE我们有我们有 所以，当所以，当H与与t无关时，含时间的薛定谔方无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：程的特解为： 其中其中 。 方程被称为不含时间的薛定谔方程方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为，或称为能量本征方程。能量本征方程。 A. 在上述方程中，在上述方程中，E实际上是体系的能量。实际上是体系的能量。因为在经典力学中，粒子在一个与因为在经典力学中，粒子在一个与t t无关的位无关的位 /iEtAe) t (T /iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEE势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力学中，对应波函数随时间变化量。而在量子力学中，对应波函数随时间变化为为 ， 所以相应的实际上是体系的能量。所以相应的实际上是体系的能量。 从平面波看，它随时间变化就是从平面波看，它随时间变化就是 。 B. 一般而言，上述方程对任何一般而言，上述方程对任何E值都有非零值都有非零解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求（ 无穷大位势边界处无穷大位势边界处 等）。这样能满足方程的等）。这样能满足方程的解就只有某些解就只有某些E值。由这而自然地获得能量的分值。由这而自然地获得能量的分立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的值）。值）。 /iEte/iEte C. 根据态叠加原理根据态叠加原理是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为表为/iEtEEe ) r (u) t , r ( dEe ) r (u)E( c) t , r (/iEtE dE) t , r ()E( cE 通常称通常称 （其中（其中 ）为）为定态定态波函数。波函数。 对体系可按各种定态波函数展开来表示。但对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数只有按自身的定态波函数展开时，系数 C 才与才与t无关。否则与无关。否则与t有关。有关。 （2） 定态：定态： A. 定态定义定态定义：具有确定能量的态，称为体具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数系的定态，或者说，以波函数 /iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEE/iEtEEe ) r (u) t , r ( （其中（其中 ）描述的态称为定态。）描述的态称为定态。 我们已知，当我们已知，当 与与 t 无关时（即无关时（即 ），），态随时间演化的规律为态随时间演化的规律为 若若tt0时处于定态，即时处于定态，即 t0 时波函数为时波函数为 则则 B. 定态的性质：定态的性质：若体系若体系Hamiltonian与与t无关，无关， ) r (Eu) r (u)p , r (HEE H)r (V) t , r (V )t , r (e) t , r (/ )tt)(p , r(Hi00 /iEtEEe )r (u)t , r (00 iEtEE/ )tt)(p , r(HiEe )r (u)t , r (e) t , r ( 00 1体系在初始时刻（体系在初始时刻（t0）处于一定能量）处于一定能量 本征态本征态 ，则在以后任何时刻，体系都处于，则在以后任何时刻，体系都处于这一本征态上，即这一本征态上，即 。它随时。它随时间变化仅表现在因子间变化仅表现在因子 上上 。 2体系的几率密度不随时间变化，几率流体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为密度矢的散度为0（即无几率源）。（即无几率源）。所以所以 ) r (uE/iEtEEe ) r (u) t , r ( /iEte 2E2E) r (u) t , r ( 0j0t 这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率密度分布不变。密度分布不变。 3几率流密度矢，不随时间变化几率流密度矢，不随时间变化。 4任何不含任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随的力学量在该态的平均值不随时间变化。时间变化。)t , r () t , r () t , r () t , r (m2ij*EEE*E )r (u) r (u) r (u) r (u(m2i*EEE*Erd) t , r ()p , r (A) t , r (AE*E rd) r (u)p , r (A) r (uE*E 5任何不显含任何不显含 t 的力学量在该态中取值的的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。几率不随时间变化。 根据态叠加原理，若对体系测量力学量根据态叠加原理，若对体系测量力学量的值，如可取的值，如可取 a1, a2， ，那么体系的可能，那么体系的可能态必为态必为现体系处于定态，现体系处于定态， A) r (v) t (c) r (v) t (c) t , r (2211aaaa /iEtEEe ) r (u) t , r ( /iEtaaaae ) r (vc) r (vc (2211 显然显然 与与 t 无关无关, = = 。这正表明，对处于定态中的体系，测量这正表明，对处于定态中的体系，测量 取可取可能值的几率不变能值的几率不变。 iac2a) t (ci2/iEtaeci2aicA2.6 测不准关系测不准关系 由于粒子应由态函数 来描述。因此，就不能像经典那样以每时刻 ， 来描述（事实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定取一个值）。但是否仍能像经典那样在 处发现粒子具有动量 呢？ ) t , r ( 0rpr0p