非平衡电阻电桥等效电阻的初等解析.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date非平衡电阻电桥等效电阻的初等解析非平衡电桥等效电阻的巧妙计算非平衡电阻电桥等效电阻的初等解析王礼祥摘要 本文采用分割电阻法构造出非平衡电阻电桥的串联、并联混合电路，然后由串、并联电路的电流特点和电压特点确定分割电阻，再由简单串并联等效导出了非平衡电桥（非串非并复杂电路）的等效电阻，最后作了特殊情况详细讨论。关键词 等效电阻，串联，并联，非平衡电桥非平衡电阻电桥本质上是一种非串非并的复杂电路或称电阻网络，一般地在中学物理范围内求非平衡电桥的等效电阻是困难的；从电路理论上讲只有用复杂电路的基尔霍夫电流定律与电压定律才能求或者通过电阻网络的星形（简称Y形）与三角形（简称形）等效变换来求，它们都超出中学物理的范围；本文我们采用巧妙分割非平衡电桥中的一个电阻（线性纯电阻是可以分割的），从而构造出非平衡电桥的等效串联、并联结合的混联电路，最终简单完成了非平衡电阻电桥等效电阻的初等解算，并进而就几种特殊情况进行了分析讨论。R1R3R2R4R51234R1R2R414R3-Rx5Rx32图1 非平衡电桥与分割R3非平衡电桥（a）（b）R5所谓非平衡电阻电桥，即是如图1（a）所示的线性纯电阻电路或称二端电阻网络，它的主要特点是电路既非串又非并，即不是串联也不是并联的电路。因此直接计算其等效电阻比较困难，为了简单应用电阻串、并联等效计算非平衡电阻电桥的等效电阻（总电阻），我们采用分割电阻R3构造出如图1（b）所示的特殊串联、并联相结合的混联电路，就可求出非平衡电桥的总电阻。假设在图1（b）中电流自左进而右出，且2、3两点的电势满足U2>U3， R3电阻被分割成Rx和R3-Rx两部分，分割后要求节点5和节点3成为等电势点，即U5=U3；这样，我们就人为由非平衡电桥构造出了一个简单串联与并联相结合的混联电路也就是3、5节点等电势后，可视3、5节点为短路（相当于用导线直接连通3、5两个节点）；故知R5与Rx并联连接，且并联后再与R1串联，其串联等效电阻又与R2并联；而R3-Rx与R4直接并联；最后将两个并联所得结果再串联即得非平衡电桥的等效电阻了。现在，问题的关键是R3能否这样分割？能分割Rx又等于多少？怎么求Rx？R3能否分割？回答是线性纯电阻可以的。至于怎么求Rx，可以这样做：设流过R1支路的电流为I1，流过R2支路的电流为I2，流过R5支路的电流为I0，于是按节点电流的分流特点有：流过Rx与R3-Rx的电流是I1-I0，流过R4的电流为I2+I0；又根据并联电路电压相等的特点，可列出以下几个方程：由R5与Rx的并联得 （1）而由R3-Rx与R4的并联有 （2）R2跟R5与Rx并联后串联R1的结果并联，因此 （3）联立解（1）、（2）和（3）代数方程组得 （4）可见Rx存在且其值是唯一的。得出Rx后，应用串联、并联相结合的混联电阻电路，就能简单实现非平衡电桥的等效电阻计算了；由图1（b）知非平衡电阻电桥的等效电阻为 （5）把（4）代入（5），并适当化简有 （6）变形整理得到 （7）对（7）式，作如下几种特殊情况讨论：（1）、当时，非平衡电桥的等效电阻变为。显然，此时R与R5无关；说明此时电桥为平衡，就是平衡电桥的等效总电阻。根据上述条件不难变形得出电桥平衡时的平衡条件。（2）、当R5à时（即R5支路开路时），非平衡电桥的等效电阻；此时电路根本不成为电桥，仅仅是串、并联电路。（3）、当R5=0时（R5支路短路时），；这时电路也不构成电桥。（4）、当R1=0，R3=0时，显然整个电桥短路，所以R=0。（5）、当R1=0，R2=0时，。R1R3R2R4R51234R1R3R41432（b）R5R2-RxRx图2 非平衡电桥与分割R2特殊非平衡电桥5（a）最后说明一下，分割电阻也可是R2。在前述电流、电势条件不变情况下，分割R2成为Rx与R2-Rx，并使Rx与R2-Rx之间的5节点电势与2节点的电势相等，即U5=U2。于是电路呈现出：R5与Rx并联后跟R4串联，串联结果再与R3并联，而R1与R2-Rx并联，最后再做串联。设流过R4支路的电流为I4，流过R1支路的电流为I1，流过R5支路的电流为I0条件下，应用节点电流特点有：流过Rx与R2-Rx的电流是I4-I0，流过R3的电流为I1-I0；由并联电路的电压相等可得因R5与Rx的并联，故有 （8）而R2-Rx与R1的并联，从而 （9）R3跟R5与Rx并后串R4的结果并联，因此 （10）联立解（1）、（2）和（3）方程组得 （11）把（11）代入图2（b）中应用串联、并联电路等效电阻计算公式，易得 （12）化简有 （13）（13）式与（7）式完全相同，说明电流、电压条件不同还可分割R1和R4，但所得结果一定相同。-