2020中考数学 三轮冲刺 二次函数创新题型（含答案）.docx

2020中考数学 三轮冲刺 二次函数创新题型（含答案）1. 如图，抛物线yax2bx5与x轴交于A(10，0)，与y轴交于B，过抛物线上点C(4，8)作CDx轴于点D，连接OC、AB.(1)求抛物线的解析式； (2)将OCD沿x轴以一个单位每秒的速度向右平移，记时间为t(0t6)，在OCD运动过程中，CD与AB交于点E，OC与AB交于点F，记y为CEF与ADE的面积之和求y关于t的函数关系式，并求y的最小值；(3)如图，M为AC的中点，点N的坐标为(n，0)，试在线段OC上找一点P，使得MPNCOA，若这样的点P有两个，求n的取值范围图图第1题图由题意得抛物线的解析式为yax2bx5.将点A、C的坐标代入得：，解得，抛物线的解析式为yx2x5；如解图，将x0代入抛物线解析式中得y5，则B(0，5)，第1题解图tanBAO，tanOCD，BAOOCD，又CEFDEA，CFEEDA90，AD6t，tanEAD，DE3t，CE8(3t)5t，CFCEcosECFCE2t，yADDECFEFAD2CF2(6t)2(2t)2，即yt22t14，当t时，y有最小值，此时y()2214，y的最小值为；如解图，在RtODC中，OC4，在RtCDA中，AD6，DC8，由勾股定理得AC10，ACOA，第1题解图COAOCA.M是CA的中点，MCAC5.MPNCOA，COAONPMPNCPM，ONPCPM，CPMONP，设OPx，则PC4x，整理得：x24x5n0，符合条件的点P有两个，方程有两个不相等的实数根，b24ac(4)245n0，n4，又点N在原点的右侧，n的取值范围是0n4.2. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A(1，0)、B(5，0)，直线yx3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方抛物线上一个动点，过P作PEx轴交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当m时，在抛物线的对称轴上找一点G，使PGGB最小，求点G的坐标；(3)若E是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E落在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由第2题图把点A(1，0)、B(5，0)的坐标代入yx2bxc，得，解得，抛物线的解析式为yx24x5；yx24x5(x2)29，抛物线的对称轴为直线x2，当xm时，yx24x5，P(，)，第2题解图如解图，点A与点B关于直线x2对称，连接PA交直线x2于点G，连接BG，此时PGGB最小，设直线PA的解析式为ykxn，把点P(，)、A(1，0)的坐标代入ykxn，得，解得，直线PA的解析式为yx，当x2时，yx，点G的坐标为(2，)存在如解图，连接PE，设P的坐标为(x，x24x5)(1x5)，则E的坐标为(x，x3)，第2题解图PE|x24x5(x3)|x2x2|，当x0时，yx33，则C的坐标为(0，3)，CE|x|，点E是点E关于直线PC的对称点，PEPE，EPCEPC，CECE，PECE，ECPEPC，ECPEPC，EPEC，PECE，|x2x2|x|，即x2x2x，当x2x2x时，解得x1，x24，此时P点坐标为(，)或(4，5)；当x2x2x时，解得x13，x23(舍去)，此时P点坐标为(3，23)，当点E与点C重合时，点E关于PC的对称点E与E重合，此时点P在y轴上，其坐标为(0，5)，综上所述，符合条件的点P为(，)、(4，5)、(3，23)或(0，5)3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)(x3)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，抛物线的顶点为P，规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界)(1)如果该抛物线经过(1，3)，求a的值，并指出此时“G区域”有_个整数点；(整数点就是横纵坐标均为整数的点)(2)求抛物线ya(x1)(x3)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，直接写出a的取值范围第3题图备用图抛物线ya(x1)(x3)经过(1，3)，3a(11)(13)，解得a.6；当y(x1)(x3)0时，解得x11，x23，点A在点B的左侧，A(1，0)，B(3，0)，当x0时，y(x1)(x3)，(0，1)、(0，2)两个整数点在“G区域”；当x1时，y(x1)(x3)3，(1，1)、(1，2)两个整数点在“G区域”；当x2时，y(x1)(x3)，(2，1)、(2，2)两个整数点在“G区域”综上所述，此时“G区域”有6个整数点ya(x1)(x3)a(x1)24a，顶点P的坐标为(1，4a)；当x0时，ya(x1)(x3)3a，抛物线与y轴交点的坐标为(0，3a)，当a<0时，如解图所示，此时有，解得a<；当a>0时，如解图所示，此时有，解得<a.综上所述，在(2)的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为a<或<a.图1图2第3题解图4. 已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；(3)如图，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由第4题图抛物线的解析式为yx2x2；设P(t，t2t2)，四边形ABPC的面积是S，连接PO，过点P作PDCO于点D，作PMOB于点M，如解图，由题意得，第4题解图SACOAOCO1，SPCOCOPDt，SPBOPMOBt2t2，SSACOSPCOSPBO1tt2t2t22t3(t1)24，抛物线开口向下，t1时，S有最大值，最大值为4，故P运动到点(1，2)时，四边形ABPC的面积最大；存在yx2x2(x)2，M(，)，设直线AM的表达式为ykxm(k0)，由题意得，解得，即yx，C与A关于直线DE对称，如解图，AM与DE的交点即为使CMG的周长值最小的点G.第4题解图A(1，0)，C(0，2)，OA1，OC2，AC，D是AC的中点，AD，D(，1)，CAOEAD，AOCADE，ACOAED，即，AE，E(，0)，设DE的解析式为ykxn(k0)，则，解得，DE的解析式为yx，联立，解得，故点G的坐标为(，)5. 如图，抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PDy轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MAMC|最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由第5题图备用图抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，解得，抛物线的解析式为yx24x3；令x0，则y3，C(0，3)，则直线AC的解析式为yx3，设点P(x，x24x3)，PDy轴，点D(x，x3)，PD(x3)(x24x3)x23x(x)2，a1<0，当x时，线段PD的长度有最大值，最大值为；存在由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB，MAMB，当M、B、C不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得，|MAMC|MBMC|<BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|MBMC|BC，|MAMC|BC，即当点M在BC的延长线上时，|MAMC|最大，最大值即为BC的长度，设直线BC的解析式为ykxb(k0)，B(1，0)，C(0，3)，解得，直线BC的解析式为y3x3，当x2时，y3233，点M(2，3)，即抛物线对称轴上存在点M(2，3)，使|MAMC|最大6. 如图，抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.图图第6题图(1)求抛物线的表达式；(2)当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF直线l，垂足为F.当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与OBC相似？并求出此时点P的坐标；(3)如图，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由由于抛物线yx2bxc经过点A(1，0)和B(4，0)，抛物线的表达式为y(x1)(x4)x23x4；对于抛物线yx23x4，令x0，则y4，C(0，4)，B(4，0)，OCOB4，设P点的坐标为(t，t23t4)，则CFt，PF|t23t44|t23t|，如果以P，C，F为顶点的三角形与OBC相似，则CFPF，即t|t23t|，当tt23t时，解得t10(舍去)，t22，此时，t23t4223246，P的坐标为(2，6)；当tt23t时，解得t30(舍去)，t44，此时，t23t4423440，P的坐标为(4，0)P点的坐标为(2，6)或(4，0)；设直线BC的解析式为ykxm(k0)，代入点B(4，0)和点C(0，4)得：， 解得，直线BC的解析式为yx4.设P点坐标为(n，n23n4)，点G在直线BC上，G(n，n4)，点P在直线BC上方抛物线上运动，PGn23n4(n4)n24n，SPBCSPGCSPGBPGOEPGBEPGOB(n24n)42(n2)28，20，0n4，当n2时，SPBC有最大值为8，此时P点的坐标为(2，6)7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x1和x5对应的函数值相等若点M在直线ly12x16上，点(3，4)在抛物线上(1)求该抛物线的解析式；(2)设yax2bxc对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A(，0)，试比较锐角PCO与ACO的大小(不必证明)，并写出相应的P点横坐标x的取值范围；(3)直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点(点Q不与M重合)设Q点坐标为(t，n)，过Q作QHx轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值自变量x1和x5对应的函数值相等，抛物线的对称轴为x2，点M在直线l：y12x16上，yM8，该抛物线的解析式为ya(x2)28，将(3，4)代入得a84，解得a4，抛物线的解析式为y4(x2)28，整理得y4x216x8；由抛物线的解析式y4x216x8得，点C的坐标为(0，8)，顶点M的坐标为(2，8)，点A(，0)，直线AC的解析式为yx8，设点P的坐标为(x，4x216x8)，令y0，即4x216x80，解得x12，x22(舍去)，x>2， 又PCO为锐角，y<8，令y8，即4x216x88，解得x10(舍去)，x24，2<x<4，若PCOACO，则点P关于y轴的对称点P(x，4x216x8)在直线AC上，x84x216x8，解得x10(舍去)，x2，综上可知，当2<x<时，PCO<ACO；当x时，PCOACO；当<x<4时，PCO>ACO；解方程组，求得B点坐标为(1，28)，直线BM的解析式为y12x16，令y0，解得x，Q为线段BM上一动点，且不与点M重合，Q(t，12t16)(1t<2)，当1t<0时，S(t)(12t168)6t212t6(t1)26，1t<0，当t1时，S最大18；当0<t<时，St(12t168)6t212t6(t1)26，0<t<，当t1时，S最大6；当<t<2时，St8t(12t16)6t24t6(t)2，<t<2，此时S无最大值综上所述，当t1时，S有最大值，最大值为18.8. 如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点B，E两点，与y轴交于点A，OB8，tanABD1，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C，D同时出发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动第8题图(1)求抛物线的解析式；(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于CED的最大面积，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由OB8，tanABD1，OAOB8，A(0，8)，B(8，0)把点A(0，8)，B(8，0)代入yx2bxc，得，解得，抛物线解析式为yx23x8；令y0时，有x23x80，解得x12，x28，E(2，0)，BE10，SCEDDEOC，St(10t)t25t，S与t的函数解析式为St25t(t5)2(0t8)，当t5时，CED的面积最大，最大面积为；存在，P点坐标为(8，0)或(，)或(，)当CED的面积最大时，t5，即BDDE5，此时要使SPCDSCED，CD为公共边，只需求出过点B、或点E且平行于CD的直线即可，如下：第8题解图设直线CD的解析式为ykxb，由(2)可知OC5，OD3，C(0，5)，D(3，0)，把C(0，5)、D(3，0)代入ykxb，得，解得，直线CD的解析式为yx5，DEDB5，过点B且平行于CD的直线为y(x5)5，过点E且平行于CD的直线为y(x5)5，与抛物线解析式联立得方程：x23x8(x5)5，解得x18，x2，方程：x23x8(x5)5，解得x3，x42，分别将x的值代入抛物线的解析式，得y10，y2，y3，y40，又P点不与E点重合，满足题意的P点坐标有3个，分别是P1(8，0)，P2(，)，P3(，)9. 抛物线C1y1x22x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.(1)求点A、点B的坐标；(2)设直线y2xm，若无论x取何值时，都有y2y1，求m的取值范围；(3)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足SPACSABC，且ACP90.当k1时，求k的值；y1x22x(x1)2，A(1，)，当y10时，即x22x0，x10，x22，B(2，0)；y1x22x开口向下，顶点坐标为A(1，)，无论x取何值时 ，都有y2y1，直线y2xm与抛物线y1x22x无交点，即xmx22x无实数根，b24ac()24m0.m，m的取值范围是m；如解图，当k1时，抛物线C2经过原点O，(k，k)，(2k，0)三点，抛物线C2的解析式为yx22x，O，A，C三点共线，且顶点C为(k，k)，第9题解图如解图，SPACSABC，且两三角形均以AC为底边，点P和点B到线段AC距离相等，BPAC，过点P作PDx轴于点D，过点B作BEAO于点E，AO2，OB2且sinAOB，AOB为等边三角形，BPAC，PBDAOB60，又ACP90，CEB90，四边形CEBP为矩形，OE1，CEBP2k1，PBD60，BDk，PD(2k1)，P(k，(2k1)，(2k1)(k)22(k)，解得k.10. 如图，抛物线yax2bx3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为直线x1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)(1)直接写出抛物线的解析式；第10题图(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PBNB，且PBNB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由yx22x3；A(1，0)，对称轴l为直线x1，B(3，0)，解得，抛物线的解析式为yx22x3；如解图，过点P作PMx轴于点M，连接BP，过点B作BNPB交直线l于点N，设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，PBNB，PBN90，PBMNBQ90.PMB90，PBMBPM90.BPMNBQ.又PBNB，BPMNBQ.PMBQ.由(1)得yx22x3，Q(1，0)，B(3，0)BQ2，PMBQ2.点P是抛物线yx22x3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为2，将y2代入yx22x3，得2x22x3，解得x11，x21(不合题意，舍去)，点P的坐标为(1，2)；第10题解图存在如解图，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PDy轴交BC于点D，A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，SABC346，直线BC的解析式为yx3.设P(t，t22t3)，则D(t，t3)，SBPC3(t3t22t3)t2t，S四边形PBACt2t6(t)2，当t时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为.此时点P的坐标为(，)第10题解图11. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为ya(xh)2k的形式；第11题图(2)若点H(1，y)在BC上，连接FH，求FHB的面积；(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由抛物线yax2bx2与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，解得，该抛物线的解析式为yx2x2，yx2x2(x2)2；设直线BE的解析式为yk1xb1，B(3，0)，E(0，1)，解得，直线BE的解析式为yx1，点F是抛物线与BE的交点，设点F的坐标为(x，x1)，x1x2x2，整理得2x27x30，解得x1，x23(舍去)，x1，F(，)，如解图，过点A作平行y轴的直线交BC于点H，交BE于点G，第11题解图设直线BC的解析式为yk2xb2，B(3，0)，C(0，2)，解得，直线BC的解析式为yx2，设H为(1，y)，y12，H(1，)，设点G的坐标为(1，y1)，直线BE的解析式为yx1，y111，G(1，)，过点F作FKGH，垂足为点K，FK，GH，SFHBSFHGSGHB，SFHBGH(FKAB)(2)；存在，P(，)当BA平分PBF时，PBAFBA，tanPBAtanFBA，如解图，过点P作PIOB于点I，则tanPBA，设点P的纵坐标为n，则PIn，IB3n，OI33n，P(33n，n)，把点P(33n，n)代入yx2x2，得n(33n)2(33n)2，整理得2n2n0，解得n10(舍去)，n20.5，33n1.5，点P的坐标为(1.5，0.5)12. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mxm1(m>0)与x轴的交点为A，B.(1)求抛物线的顶点坐标；第12题图(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点当m1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围ymx22mxm1m(x1)21，抛物线的顶点坐标为(1，1)；m1，抛物线表达式为yx22x，令y0，解得x0或2，不妨设A(0，0)和B(2，0)，线段AB上的整点的个数为3个第12题解图如解图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，抛物线的顶点坐标为(1，1)，在线段AB之间整点有5个，点A在(1，0)与(2，0)之间(包括(1，0)，当抛物线经过(1，0)时，m，当抛物线经过(2，0)时，m，m的取值范围为<m.