非常重要的二次递推数列求法.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date非常重要的二次递推数列求法非常重要的二次递推数列求法非常重要的二次递推数列求法形如an+1=Aan2+Ban+C (A0, anan+1)的递推数列，难度很大。让人大跌眼镜的是某几个省高考居然考了，所以发上来解法，只针对基础很好的同学。其通解要讨论N多种情况，有点混沌的味道。恕我水平有限，现阶段只想出这些特殊情况。an+1=Aan2+Ban+C (A0,anan+1)基本思路通过线性变换（线性变换是最基本的形式简化方式）xn=an+B/(2A)，即化为完全平方将形式简化为xn+1=Axn2+(4AC-B2+2B)/(4A)即简化形式xn+1=Pxn2+Q (P0)下面只讨论这个形式，暂时只研究P>0的情况。1§Q>0，这个非常难，不幸这个递推数列方程没有解析解（即无法通过初等函数来表达，要用无穷级数来表达，用级数表达难度很大，而其本身失去了简化运算的意义。）2§Q=0，这个形式最简单。两边取对数lnxn+1=lnP+2lnxn (xn>0)lnxn+1+ lnP =ln(Pxn+1)= 2ln(Pxn)注意：若x1<0，要从x2开始，x2肯定大于0。 ln(Pxn)就是等比数列ln(Pxn)=2n-2ln(Px2)xn=(Px2)2n-2/P (n>1)xn=x1 (n=1)3§Q<0，为了方便讨论及记忆先指定其形式为xn+1=Pxn2-Q (P0, Q>0)这种比较难，对于高中生来说能想到线性变换化简都不错了，更后面的变换更难想到。这种题高考是考过的，竞赛更不用说了。(1)两边同时除以Q/2变换为2xn+1/Q=PQ/2(2xn/Q)2-2 (P0, Q>0)于是形式上变成了rn+1=krn2-2 (k>0)，对于这个递推形式，容易证明从某项起，这个数列是递增数列，这儿不再详细证明。代换方法是令rn=bn+1/bn，bn+1=bn2（即bn=b12n-1）注意：rn,bn >0，若rn0，则要从使得rn>0的第m项rm开始，通过rm=bm+1/bm，算出bm，bn=bm2n-m。数学需要严谨。前面的项是摆动的，无法直接求。这个是最简形式了，这个形式是有解的，可以想想为什么要化为-2。下面以一个例子来说明解这种最简形式的具体求解思路。例：an+1=an2-2，a1=-51/2。求an。令an=bn+1/bn。bn+1+1/bn+1+2=(bn+1/bn)2注意右边可化为(bn+11/2+1/bn+11/2)2=(bn+1/bn)2bn+11/2+1/bn+11/2=bn+1/bn注意这里我们只要满足上面那个等式就行了，具体bn有多少种解我们不关心，所以最简单，只要bn+11/2=bn就行了。显然lnbn+1=2lnbn，lnbn是等比数列，注意bn>0，需要an>0来保证，但第二项大于0，所以从第二项起。lnbn=2n-2lnb2a2=3=b2+1/b2，取一个根即可b2=(3+51/2)/2bn=(3+51/2)/22n-2an=bn+1/bn=(3+51/2)/22n-2+(3-51/2)/22n-2 (n2)an=-51/2 (n=1)P<0的情况，只需令yn=-xn就可化为yn=-Pyn2-Q (P<0)，即转化成为xn+1=Pxn2+Q (P>0)的形式综上所述：an+1=Aan2+Ban+C (A0, anan+1)的递推数列都可以通过线性变换将形式化简成xn+1=Pxn2+Q (P >0)的形式若Q<0，则可以进一步化简为xn+1=kxn2-2 (k>0)这样的形式，若m项起xn>0，则通过xn=bn+1/bn，bn=bm2n-m来求nm部分的通项公式（n<m的部分由于数列摆动难以求解）。若是特殊形式，还可以进行降次处理。但是，这只是在实数范围内的解法。如果扩展到复数范围，则完全可以不考虑an的正负，可以让Xn是复数。这样通项公式里就含有了i，但是求出的各项值却都是实数。原因是Xn的幂是2n-1，含i的项都会有平方。这样完全不影响结果。而且还使通项公式n的取值范围增大-