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第七讲第七讲 数学思想与方法数学思想与方法 数学思想与方法概述数学思想与方法概述 18世纪前的数学思想方法世纪前的数学思想方法 近现代数学思想方法近现代数学思想方法 公理化公理化 数学机械化数学机械化一、数学思想与方法概述 数学思想：关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识，是对数学本质的认识，对数学自身规律性的认识。 数学方法：数学思想指导下的数学问题解决过程中所运用的具体手段（或途径）。 数学思想方法：人们混用数学思想或数学方法，有时不一定要严格区分，合称数学思想方法。 数学思想方法是数学的灵魂，重大数学成果的取得，往往与数学思想方法的突破分不开。 我们不只是为了了解、理解一些具体的数学思想方法数学思想方法，更着 眼于在认识论、世界观和方法方法论等方面有所提高。数学思想方法比具体的数学知识更重要 数学在其漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一整套行之有效的思想和方法 日本数学家和数学教育家米山国藏米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话： “学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用”。 在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法，而不是具体数学知识蕴含的思想与抽象出来的思想数学思想，包括蕴含在数学知识的发生发展过程中的思想以及从中抽象出来的成为规律性的思想美M克莱因的古今数学思想（Mathematical Thought from Ancient to Modern Time ）（4册）苏联亚历山大洛夫等于1956年发表的著作数学它的内容、方法和意义，当属前一类思想国内，徐利治等一批数学家的工作属后者。数学教学的过度包装 今天，学生们的数学知识，主要是从数学课程中获得的。通常的数学课程给出的是一个系统的逻辑叙述，这些课程经过编纂者的锤炼，成为“完美”的典范。这就使学生们淹没在成串的定理中，并产生一种幻象：数学就是从定义到定理，数学家们都是无坚不克的英雄。历史却恰恰相反“课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦知道这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。实在说，叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎得到他们的成果，应能使搞研究工作的任一新手鼓起勇气。”二、18世纪前的数学思想方法 提出了许多具体的方法，以解决数学中的提出了许多具体的方法，以解决数学中的实际问题实际问题 古希腊的亚里士多德与欧几里得提出了公古希腊的亚里士多德与欧几里得提出了公理方法，将大量的、零散的几何知识系统理方法，将大量的、零散的几何知识系统化，并由欧几里得等人完成了化，并由欧几里得等人完成了几何原几何原本本。 中国古代数学家刘徽提出了中国古代数学家刘徽提出了“割圆术割圆术”，以解决长期存在的、圆周率计算不精确的以解决长期存在的、圆周率计算不精确的问题，其中包含着极限思想方法的萌芽。问题，其中包含着极限思想方法的萌芽。 英国数学家纳皮尔发明了对数方法，以解英国数学家纳皮尔发明了对数方法，以解决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计算问题。算问题。 法国数学家帕斯卡确立了数学归纳法，以解决数学论法国数学家帕斯卡确立了数学归纳法，以解决数学论证中存在的不严密的问题。证中存在的不严密的问题。 法国数学家、哲学家笛卡尔提出了坐标法、用代数方法国数学家、哲学家笛卡尔提出了坐标法、用代数方法研究几何问题，并从而开创了不同数学分支相结合法研究几何问题，并从而开创了不同数学分支相结合的思想方法。的思想方法。 英国的牛顿与德国的莱布尼茨创立了无穷小量方法。英国的牛顿与德国的莱布尼茨创立了无穷小量方法。 瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日共同建立了变瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日共同建立了变分法，以解决分法，以解决“等周问题等周问题”、“最速降线问题最速降线问题”等长等长期解决不了的极大与极小问题等。期解决不了的极大与极小问题等。三、近现代数学思想与方法 创立了一批具有突破性、系统性的思想方创立了一批具有突破性、系统性的思想方法，促使数学的某些分支发生了革命性的法，促使数学的某些分支发生了革命性的变革；变革； 主要体现在代数学、分析学分支以及公理主要体现在代数学、分析学分支以及公理化体系、数学机械化等领域化体系、数学机械化等领域1.代数学中群论的思想方法。代数学中群论的思想方法。 19世纪以来，人们在探求五次和五次以上世纪以来，人们在探求五次和五次以上代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来毫无进展的僵局。毫无进展的僵局。 首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次方程代数解法的不可能性。方程代数解法的不可能性。 其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了“群群”的概念，后发展为一整套群论的思想方的概念，后发展为一整套群论的思想方法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解问题。问题。数学是研究相互关系的学问 不仅如此，群论的思想方法，在代数学的不仅如此，群论的思想方法，在代数学的其他分支、拓扑学、函数论乃至数学以外其他分支、拓扑学、函数论乃至数学以外的许多领域都得到了广泛的应用。由于群的许多领域都得到了广泛的应用。由于群论的诞生，使传统代数学所研究的对象由论的诞生，使传统代数学所研究的对象由具体的具体的“数数”扩充为更加抽象的扩充为更加抽象的“量量”，由量之间的代数运算关系发展为更为一般由量之间的代数运算关系发展为更为一般的关系，从而使代数这门学科发生了转折的关系，从而使代数这门学科发生了转折性的变化。性的变化。2. 分析学中的极限与集合论的思想方法 19世纪30年代至50年代，法国的柯西与德国的魏尔斯特拉斯等人，在给出函数、极限等概念以精确化描述的基础上，又通过严格化了的极限思想方法与实数理论改造了微积分，并使其严密化和标准化。这是微积分学科发展史上的一个重要里程碑。 1874年，德国数学家康托尔提出了集合论思想，建立起无限集的势、序型等概念以及无限集合论和超限数理论，证明了代数集合可以和整数集合一一对应，所有实数集合不可数性，发展了无限集合势的比较原理，引入了连续公理即康托尔公理等，并从而创立了集合论的理论。这一理论的创立，不仅为微积分的理论奠定了稳固的基础，而且对整个数学基础的研究，尤其对现代数学结构的探讨，也具有巨大而深远的促进作用。3.公理化思想 这一时期，还形成了影响广泛的数学公理化方法。到了19世纪末20世纪初，由于非欧几何、无理数理论、集合论的建立，有力地促进了数学公理化方法研究的开展。 1872年，德国数学家克莱因发表了“爱尔兰根纲领”，提出用变换群的观点，给出各种几何学的综合分类，以统一整个几何学。 1899年，德国数学家希尔伯特发表了几何学基础一书，使公理化方法深入到数学的更多分支。 1908年，集合论完成了公理化，本世纪20年代，又实现了代数学的公理化，从而使公理化方法应用于数学各个分支。这场公理化运动，对数学的影响是前所未有的。 4.模糊数学方法 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学。所谓模糊性，主要是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼”的特征。 在社会、自然现象中，确实存在着不少“非此即彼”的现象，一是一、二是二，绝对不能混淆，这也是康托尔集合的特点。但也有一些对立概念之间没有绝对分明的界限，如： 高个子与矮个子，优秀与良好等。也就是说，这些概念都没有绝对明确的外延。没有明确外延的概念，叫做模糊概念。模糊概念不能用康托尔集合论来刻划，于是产生了刻划模糊概念的模糊集合论，产生了模糊数学。模糊数学的实质 模糊数学的实质是以数学的精确性，研究和处理现象的模糊性。它和概率论同属不确定数学，但概率论的研究对象是事物的偶然现象，模糊数学的研究对象是事物的模糊现象，它们之间有深刻的联系，又有本质的不同。 人脑能很便捷地处理的模糊信息，如对事物的辨识、用力的平衡等。计算机的模糊识别与人工智能是计算机科学的发展方向之一马克思和恩格斯对数学思想的阐发 在这一时期，马克思和恩格斯在自己的著作，尤其是数学手稿和自然辩证法中，阐发了极其丰富的数学思想，从思想方法角度论述了数学发展史上若干重大成果和著名数学家。他们的论述是数学思想方法研究的珍贵财富。 但遗憾的是，这些论述未能在当时发表和发挥其应有的作用。概括：近代数学中的思想与方法 数学思想： 代数、函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然等思想。 数学方法： 待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、数学归纳法等。概括：现代数学基本思想方法 符号化思想：从记号到符号，“惊人的方式缩短思维”（莱布尼茨） 算法化思想：对数学问题进行算法编程-机械化 集合思想：数学思想的现代语言，在精确地认识无限的基础上，重新认 识和解释数学的思想 极限思想：是有限和无限的辩证统一，是从有限进入无限的钥匙 变量思想：解析几何、微积分思想（线性化、 统计思想：以掌握事物总体的数量特征和规律为目标，它所关心的乃是某些规定的总体或集合，而不是构成总体的各别元素或个体。模糊数学思想：以数学的精确性，研究和处理现象的模糊性数学思想与方法研究 数学家们一方面继续创造各种数学思想方法，并用来推进数学的发展，另一方面，他们中的一部分，特别是一些著名数学家，集中精力从事数学思想方法理论的研究，并发表了一大批这方面的论著。形成一个研究方向：数学方法论。 数学思想方法研究最早系统发表见解的要算德国著名数学家希尔伯特于1900年在巴黎国际数学家代表会上的演讲数学问题。在这篇演讲中，他精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展中的作用，并列举了 “希尔伯特23个问题”。他的演讲是一篇重要的数学方法论著作。 法国数学家Poincare于1903年至1908年之间发表了科学与假设，科学之价值、科学与方法等著作(均有中译本)，其中，讨论了数学方法论的问题。 后来，德国数学家赫尔德发表了数学方法论一书，书中对数学中的演绎方法、归纳方法、公理方法与假设方法等进行了系统的论述。 除前面提到过的克莱因的古今数学思想、亚历山大洛夫等数学它的内容、方法和意义外，还有 1954年，美籍匈牙利著名数学家教育家、斯坦福大学教授G波利亚发表了数学与猜想一书。波利亚在自己的教育实践中认识到，数学中的发现常常是从估计、猜想开始的，而这些估计、猜想经过实践检验，再经过严格论证推理，最后获得定理、公式等结论。 之前，他还发表怎样解题、数学的发现等著作米山国藏：数学的精神、思想与方法 1969年，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了数学的精神、思想与方法。本书以数学中一些富有启发性的实例为依据，系统地论述了贯穿于整个数学的数学精神，一些重要数学思想与若干有效的数学方法。它是把着眼点放在培养人们数学能力和创造精神的一本理论专著。国内数学思想与方法研究 近些年来，我国数学家徐利治十分注重数学方法论的研究。他陆续发表了浅谈数学方法论、数学方法论选讲和数学抽象度概念与抽象度分析法等论著。 黄耀枢的数学基础研究的历史与现状，郑毓信的数学直觉浅析、 数学思维与数学方法论等。 解恩泽、赵树智：数学思想方法纵横论、徐本顺、解恩泽：数学猜想它的思想与方法，关于数学猜想的几个问题 朱梧槚、肖奚安的数学方法论ABC， 张奠宙、过伯祥的数学方法论稿， 现代数学思想讲话等四、公理化方法 所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征 几何基础 公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得几何原本的问世 。 大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统 欧几里得把逻辑学的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作几何原本 逻辑学的三段论 三段论是由两个直言判断作为前提和一个直言判断作为结论而构成的推理，其中包含有（而且只有）三个不同的项。 例如： 凡科学都是有用的 凡社会科学都是科学 所以，凡社会科学都是有用的 公理化方法发展3阶段与相应的理论体系典范 公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段： 实质（或实体）公理化阶段： 几何原本 形式公理化阶段： 几何基础 纯形式公理化阶段， ZFC公理系统几何原本的不足 几何原本虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程依赖于图形的直观；(4)第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏说服力，并不自明 公理化与非欧几何 非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间 在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善 德国数学家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)第一次从理论上提出了形式公理学的思想 他通过对射影几何射影几何公理化基础的纯逻辑的探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想 他认为，几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，也必须不以图形为依据 就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的全部特征必须由公理表达出来公理可以说是不定义概念的隐定义有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特征 形式公理系统的形成 1899年希尔伯特几何学基础一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题这本著作成为形式公理学的奠基著作 希尔伯特被认为是形式主义的奠基人。 希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理看成是没有数学内容的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述 公理化方法的渗透 公理化方法在几何方面的成功，促使公理化方法渗透到数学的许多分支，也包括其它科学领域。 数理逻辑、抽象代数、泛函分析、拓扑学等，以及理论力学（Banach,1940）相对论等。 数理逻辑中的典型代表就是ZF公理系统，由策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出。 ZF公理系统再加上选择公理就构成了ZFC公理系统 公理化方法的意义与价值公理化方法的意义与价值 当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段。 公理化方法对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用。 公理化方法对于进一步发展科学理论也有独特的作用例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等代数分支形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立 因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法 泛函分析简介 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）、Hilbert 是泛函分析理论的主要奠基人. 泛函分析的公理化思想方法 泛函分析主要研究定义在Banach空间上的线性映射与线性泛函的性质 Banach空间：完备的赋范线性空间 赋范线性空间 距离空间 完备 Hilbert空间曾远荣，我国泛函分析第一代数学家 关肇直，中国泛函分析领路人田方增，中国科学院数学研究所的筹建者五、数学机械化思想 吴文俊和吴方法吴文俊和吴方法 中国科学院院士中国科学院院士 第三世界科学院院士第三世界科学院院士 首届国家最高科技奖首届国家最高科技奖 国家第一届自然科学奖国家第一届自然科学奖 最高奖一等奖最高奖一等奖 自动推理的最高奖自动推理的最高奖 Herbrand奖奖 2006邵逸夫数学奖邵逸夫数学奖 1997年吴文俊获得“赫布兰自动推理杰出成就奖”， 2006年，获得 “邵逸夫数学科学奖”前者是国际自动推理领域的最高奖，而后者被誉为数学的“东方诺贝尔奖”。我 国 唯一 两 次获 得 国家 科 学最 高 奖的 数 学家谷超豪院士，另一位获得国家最高科技奖的数学家国家最高科技奖2009年 谷超豪（1926-，数学家） 孙家栋（1929年-，运载火箭与卫星技术专家，中国科学院院士，国际宇航科学院院士。）2008年 王忠诚 （1925-，神经外科专家） 徐光宪（1920-，化学家）2007年 闵恩泽（1924 ，石油化工催化剂专家） 吴征镒（1919 ，著名植物学家）2006年 李振声（1931 ，遗传学家，小麦远缘杂交的奠基人）2005年 叶笃正（1916 ，世界著名气象学家） 吴孟超（1922 ，世界著名肝脏外科学家）2003年 刘东生（19172008 ，著名地球环境科学家）王永志（1932 ，著名航天技术专家）2002年 金怡濂（1929 ，高性能计算机领域的著名专家）2001年 王选（19372006，汉字激光照排系统创始人） 黄昆（1919 2005，著名物理学家）2000年 吴文俊（1919 ，世界著名数学家） 袁隆平（1930 ，杂交水稻之父）中央电视台中央电视台大家大家栏目：栏目：吴文俊吴文俊我的不等式我的不等式片断片断 什么是数学机械化什么是数学机械化 所谓机械化，无非是刻板化和规格化。所谓机械化，无非是刻板化和规格化。数数学问题的机械化，就要求在运算或证明过学问题的机械化，就要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。的、刻板的道路，一直达到结论。 使用一种机械化方法证明一类定理，才真使用一种机械化方法证明一类定理，才真正体现了机械化定理证明。正体现了机械化定理证明。1977年，吴文年，吴文俊给出了初等几何一类主要定理的机械化俊给出了初等几何一类主要定理的机械化证明方法证明方法“吴方法吴方法”。数学机械化：从设想到实现数学机械化：从设想到实现 笛卡尔笛卡尔 莱布尼茨莱布尼茨 希尔伯特希尔伯特 数学机械化：从设想到实现数学机械化：从设想到实现 哥德尔哥德尔 塔斯基塔斯基 王浩王浩 吴文俊吴文俊笛卡尔的设想笛卡尔的设想 17 世纪法国的数学家世纪法国的数学家 Descartes 曾有过一个伟大的曾有过一个伟大的设想：设想：“一切问题化为数学问题，一切数学问题化一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题。题。” Descartes 把问题想得太简单了，如果他的设想真把问题想得太简单了，如果他的设想真能实现，那就不仅是数学的机械化，而是全部科学能实现，那就不仅是数学的机械化，而是全部科学的机械化。因为代数方程求解是可以机械化的。的机械化。因为代数方程求解是可以机械化的。 但但 Descartes 没有停留在空想，他所创立的解析几没有停留在空想，他所创立的解析几何，在空间形式和数量关系之间架起了一座桥梁，何，在空间形式和数量关系之间架起了一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化实现了初等几何问题的代数化。莱布尼兹之梦莱布尼兹之梦 德国数学家德国数学家 Leibniz 曾有过曾有过“推理机器推理机器”的设想。他研究过逻辑，设计并制造出能的设想。他研究过逻辑，设计并制造出能做乘法的计算机，进而萌发了做乘法的计算机，进而萌发了设计万能语设计万能语言和造一台通用机器的构想。言和造一台通用机器的构想。 他的努力促进了他的努力促进了 Boole 代数、数理逻辑以代数、数理逻辑以及计算机科学的研究，正是沿着这一方向，及计算机科学的研究，正是沿着这一方向，经后人的努力，形成了机器定理证明的逻经后人的努力，形成了机器定理证明的逻辑方法。辑方法。 希尔伯特的构想希尔伯特的构想 Hilbert在在几何基础几何基础中提出了从公理化走向机中提出了从公理化走向机械化的数学构想。械化的数学构想。Hilbert计划将数学知识纳入严计划将数学知识纳入严格的公理体系中，并着力在公理化基础上寻找机格的公理体系中，并着力在公理化基础上寻找机械化的方法判定命题是否成立。械化的方法判定命题是否成立。Hilbert同时指出，同时指出，定理的判定问题应当是分类解决的，解决方法要定理的判定问题应当是分类解决的，解决方法要同时强调简单性和严格性。同时强调简单性和严格性。 在在 Hilbert 的名著的名著几何基础几何基础一书中就提供了一书中就提供了一条可以对一类几何命题进行判定的定理一条可以对一类几何命题进行判定的定理 当然，当然，在那个时代，不仅在那个时代，不仅 Hilbert 本人，整个数学界都本人，整个数学界都没有意识到这一点。没有意识到这一点。 哥德尔的著名结果哥德尔的著名结果 Gdel著名的不完全性定理指出一个不弱于初等数论的形式系统如果是无矛盾的，则是不完全的 ，即存在形式系统的一个命题，它和它的否定都不能由形式系统证明。 因此， Hilbert 的要求太高了。上述的Gdel不完全性定理断言：即使在初等数论的范围内，对所有命题进行判定的机械化方法也是不存在的！ 塔斯基的判定法塔斯基的判定法 波兰数学家波兰数学家 Tarski 在在 1950 年推广了关于年推广了关于代数方程实根数目的代数方程实根数目的 Sturm 法则，由此证法则，由此证明了一个引人注目的定理：明了一个引人注目的定理：“一切初等几一切初等几何和初等代数范围的命题，都可以用机械何和初等代数范围的命题，都可以用机械方法判定方法判定。” Tarski得出的结论给定理证明机械化的研究得出的结论给定理证明机械化的研究带来了曙光。可惜他的方法太复杂，即使带来了曙光。可惜他的方法太复杂，即使用高速计算机也证明不了稍难的几何定理。用高速计算机也证明不了稍难的几何定理。 王浩：迈向数学机械化王浩：迈向数学机械化 1959 年，王浩设计了一个程序，用计算机年，王浩设计了一个程序，用计算机证明了证明了 Russell 、 Whitehead 的巨著的巨著数数学原理学原理中的几百条有关命题逻辑的定理，中的几百条有关命题逻辑的定理，仅用了仅用了 9 分钟。分钟。王浩工作的意义在于宣告王浩工作的意义在于宣告了用计算机进行定理证明的可能性了用计算机进行定理证明的可能性。 在在1960年的年的IBM研究与发展年报研究与发展年报（IBM Journal），王浩发表了），王浩发表了迈向数学机械化迈向数学机械化（Toward Mechanical Mathematics），），“数学机械化数学机械化”一词即出自此处。一词即出自此处。吴文俊：吴文俊：机器证明领域的新的一页机器证明领域的新的一页 1977 年，吴文俊在年，吴文俊在中国科学中国科学上发表论文上发表论文初初 等几何判定问题与机械化问题等几何判定问题与机械化问题。 1984 年，吴年，吴文俊的学术专著文俊的学术专著几何定理机器证明的基本原理几何定理机器证明的基本原理由科学出版社出版，这部专著着重阐明几何定理由科学出版社出版，这部专著着重阐明几何定理机械化证明的基本原理。机械化证明的基本原理。 1985 年，吴文俊的论年，吴文俊的论文文关于代数方程组的零点关于代数方程组的零点发表，具体讨论了发表，具体讨论了多项式方程组所确定的零点集。与国际上流行的多项式方程组所确定的零点集。与国际上流行的代数理想论不同，明确提出了具有中国自己特色代数理想论不同，明确提出了具有中国自己特色的、以多项式零点集为基本点的机械化方法。自的、以多项式零点集为基本点的机械化方法。自此，此，“吴方法吴方法”宣告诞生，数学机械化研究揭开宣告诞生，数学机械化研究揭开了新的一幕。了新的一幕。 对吴方法的评价 吴方法遵循中国传统数学中几何代数化的思想，与通常基于数理逻辑的方法根本不同，首次实现了高效的几何定理自动证明，显现了无比的优越性。他的工作被称为自动推理领域的先驱性工作，并于1997年获得“Herbrand自动推理杰出成就奖”。在授奖辞中对他的工作给了这样的介绍与评价: “几何定理自动证明首先由赫伯特格兰特(Herbert Gerlenter)于50年代开始研究。虽然得到一些有意义的结果，但在吴方法出现之前的20年里，这一领域进展甚微。在不多的自动推理领域中，这种被动局面是由一个人完全扭转的。吴文俊很明显是这样一个人。他将几何定理证明从一个不太成功的领域变为最成功的领域之一。” 20062006年，著名数学家吴文俊荣获邵逸年，著名数学家吴文俊荣获邵逸夫数学科学奖。邵逸夫数学科学奖是一项国夫数学科学奖。邵逸夫数学科学奖是一项国际性大奖，它的评委是来自国际数学界的知际性大奖，它的评委是来自国际数学界的知名权威。吴文俊说：这次邵逸夫奖的评委都名权威。吴文俊说：这次邵逸夫奖的评委都是国际上有影响的大家，他们宣布是国际上有影响的大家，他们宣布我获得邵我获得邵逸夫奖，是因为我的数学机械化问题的研究，逸夫奖，是因为我的数学机械化问题的研究，这实际上是国际数学界对数学机械化研究的这实际上是国际数学界对数学机械化研究的承认与肯定，它比奖金重要得多。承认与肯定，它比奖金重要得多。 数学机械化得到国际数学界承认数学机械化得到国际数学界承认 吴文俊吴文俊我的不等式我的不等式片断片断 http:/ D是是BC和和CA上高线交点上高线交点 0)(14253xxxxxBCAD0)(24153xxxxxACBD0)(213 xxx04 x定理的假设部分是定理的假设部分是,由吴方法，可得非退化条件由吴方法，可得非退化条件是是.定理的结论是定理的结论是CO经过经过D点点.显然在非退化条件下定理成立显然在非退化条件下定理成立。Morley定理定理 任意三角形中，一个角的三等分线，与和任意三角形中，一个角的三等分线，与和它相邻的角的三等分线相交，交点组成正它相邻的角的三等分线相交，交点组成正三角形。三角形。机器方法容易证明机器方法容易证明Morley定理定理 任意三角形中，一个角的三等分线，与和任意三角形中，一个角的三等分线，与和它相邻的角的三等分线相交，按一定的规它相邻的角的三等分线相交，按一定的规则选取交点，共可组成则选取交点，共可组成27个三角形，在这个三角形，在这27个三角形中，一定有个三角形中，一定有18个是正三角形。个是正三角形。用机器方法容易证明这个更一般的用机器方法容易证明这个更一般的Morley定理。在证明过程中，多次出现关于定理。在证明过程中，多次出现关于12个个变量的含有一千多项的多项式。变量的含有一千多项的多项式。吴方法概要 定理的假设相当于一组多项式方程 定理的结论相当于一个多项式方程 上面的诸Fi称为假设多项式，G称为终结多项式。0, 01sFF0G吴方法概要（续） 吴方法是给出了一个机械化方法，在有限步内给出一组非退化条件多项式D1, , Dr 又根据这一机械化方法足以在有限步内，判定在非退化条件 D10, , Dr 0 下，G=0是否可从F1=0, , Fs=0推出。 平行四边形对角线互相平分题设和结论表成代数形式0)(:/31123uxuuuBCAD0)()(123113uxuuxxBDE上：在03223uxuxACE上：在022:33232222xuuxuuECEA结论吴方法的处理题设部分三角化，得到三个多项式： 再把结论左边的多项式除以f3，所得的余式除以f2，所得的余式除以f1，看最后所得的余式是不是恒等于零。1121xuuf3121132)(uuuuxxf32233uxuxf中国古代数学的贡献 70 年代初，吴文俊开始研读中国数学史。1975 年，他撰写了中国古代数学对世界文化的伟大贡献，文中详细列举在代数、几何、三角、解析几何和微积分等学科的发现和创立过程中，中国传统数学所起的重大作用。 吴文俊指出，中国传统数学注意解方程，在代数学、几何学、极限概念等方面既有丰硕的成果，又有系统的理论。中国古代数学的特色 中国传统数学强调构造性和算法化，注意解决科学实验和生产实践中提出的各类问题，往往把所得到的结论以各种原理的形式予以表述。 在中国古代，求两数最大公约数即等数用更相减损之术。如求24与15的等数，其逐步减损如下： （24，15）（9，15）（9，6）（3，6）（3，3） 其理由不证自明。 中国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系， 九章算术与刘徽的九章算术注是这一机械化体系的代表作，这与西方数学以欧几里得几何原本为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。 机械化思想是中国古代数学的精髓 吴文俊把中国传统数学的思想概括为机械化思想，指出它是贯穿于中国古代数学的精髓。他列举大量事实说明，中国传统数学的机械化思想为近代数学的建立和发展做出了不可磨灭的贡献。 这种机械化思想，不仅曾深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。 数学机械化的广泛应用 吴文俊特别重视数学机械化方法的应用，明确提出“数学机械化方法的成功应用，是数学机械化研究的生命线”。他不断开拓新的应用领域，如控制论、曲面拼接问题、机构设计、化学平衡问题、平面天体运行的中心构形等，还建立了解决全局优化问题的新方法。 吴方法还被用于若干高科技领域，得到一系列国际领先的成果，包括曲面造型、机器人结构的位置分析、智能计算机辅助设计(CAD)、信息传输中的图像压缩等。从开普勒定律到牛顿定律 开普勒定律为（1）行星绕太阳以椭圆轨道运行，太阳为一焦点（2）太阳到行星的向量在相同的时间扫过相同的 面积 牛顿定律为（3）行星的加速度与太阳到行星的距离的平方成反比 利用吴方法在微分域上的推广，可以从开普勒经验公式自动推导出牛顿定律。机器人与连杆机构的运动分析 如图，绿色的平台是活动平台，下面的平台是固定的，六根连杆长度可变，求连杆长度变化时平台上一点的 轨迹。机器人与连杆机构的运动分析 已知连杆机构的构成，求该机构上某一点的轨迹及该点的位置与连杆机构的关系，这类问题称为机械设计中的正解问题。前面的例子就是一个正解问题。 反过来，求解连杆机构的参数使得连杆机构上一点恰好位于空间指定位置的问题称为机械设计中的逆解问题。 这两类问题都可以看成方程求解问题。 吴文俊用特征集方法解决了一般PUMA型机器人的逆解问题，研究了四连杆的设计问题。曲面连接问题 在几何设计中，有一大类问题要确定一给定次数的 代数曲面按一定要求连接已给的若干代数曲面。 这类问题可以用吴方法解决。左图是一个连接左图是一个连接三根管道的例子。三根管道的例子。脑力劳动的机械化 在在新的正在到来的工业革命新的正在到来的工业革命中，可以认为是以某中，可以认为是以某种设备代替人脑。这将使人类艰苦思考的价值为种设备代替人脑。这将使人类艰苦思考的价值为之降低，之降低，是一种脑力劳动的机械化是一种脑力劳动的机械化。这种机械化。这种机械化由于上世纪中叶计算机的发明而有某种可能。由于上世纪中叶计算机的发明而有某种可能。数学是一种典型的脑力劳动。由于数学思维具有数学是一种典型的脑力劳动。由于数学思维具有其它思维方式所没有的简洁、明确、严密、清晰其它思维方式所没有的简洁、明确、严密、清晰等优点，因而数学的机械化比之其它思维的机械等优点，因而数学的机械化比之其它思维的机械化，应有它的优越性与优先性，而且应更为容易。化，应有它的优越性与优先性，而且应更为容易。吴方法在几何定理证明方面机械化的成功，正好吴方法在几何定理证明方面机械化的成功，正好说明确是如此。说明确是如此。 机械化思想促进数学发展 线性方程组求解中的消去法是机械化思想的杰作。线性方程组求解中的消去法是机械化思想的杰作。即使是现代纯粹数学研究中，机械化思想也一直即使是现代纯粹数学研究中，机械化思想也一直发挥重大的作用。例如，希尔伯特倡导的数理逻发挥重大的作用。例如，希尔伯特倡导的数理逻辑为计算机的设计原理作了准备。辑为计算机的设计原理作了准备。H. Cartan关于关于代数拓扑学同调群计算的工作可以看作是机械化代数拓扑学同调群计算的工作可以看作是机械化思想的成功范例。思想的成功范例。运用机械化思想考察数学，将会发现数学的不同运用机械化思想考察数学，将会发现数学的不同侧面，建立新的模式，活跃和启迪数学家的思维，侧面，建立新的模式，活跃和启迪数学家的思维，从而产生大量的原始创新。从而产生大量的原始创新。机械化可以使得大量繁复的事情交给计算机去做，机械化可以使得大量繁复的事情交给计算机去做，而数学家将从事富有创造性的劳动。而数学家将从事富有创造性的劳动。展望数学机械化的未来 1981 年吴文俊在年吴文俊在数学的机械化与机械化的数数学的机械化与机械化的数学学一文中指出：一文中指出：“我们的研究工作还只是一个我们的研究工作还只是一个开端。如何继续发扬中国古代传统数学的机械特开端。如何继续发扬中国古代传统数学的机械特色，色，对数学各个不同领域探索实现机械化的数学，对数学各个不同领域探索实现机械化的数学，则是本世纪以致可能绵亘整个则是本世纪以致可能绵亘整个 21 世纪才能大体世纪才能大体趋于完善的事趋于完善的事。” 近近 20多年来多年来 , 在吴文俊的积极倡导下，中国的数在吴文俊的积极倡导下，中国的数学机械化研究已初现丰富多彩之势。展望学机械化研究已初现丰富多彩之势。展望 21 世世纪，我们有理由相信，机械化数学和数学机械化纪，我们有理由相信，机械化数学和数学机械化必将为数学以致整个科学注入新的活力。必将为数学以致整个科学注入新的活力。